Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 2.51 Mb.
|
3 Системы счисления, используемые в компьютере3.1 Непозиционные и позиционные системы счисленияСистема счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения 700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•102 + 5•101 + 7•100 + 7•10-1 = 757,7. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения an-1 qn-1 + an-2 qn-2+ ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m, где ai - цифры системы счисления; n и m - число целых и дробных разрядов, соответственно. Например:  3.2. Системы счисления, используемые для общения с компьютеромКроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно: двоичная (используются цифры 0, 1); восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7); шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F). Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:
ÿИз всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления. компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 - соответственно, третья и четвертая степени числа 2). 3.3 Перевод чисел в позиционных системах
Например: 
Например,  Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?
Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:   Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16. Как перевести правильную десятичную дробь в любую другую позиционную систему счисления?
Умножение производится до тех поp, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в результате, которое поместится в ячейку. Как перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную?
 3.4 Арифметические операции в позиционных системах счисленияРассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы. Сложение Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета. Сложение в двоичной системе Сложение в восьмеричной системе   Сложение в шестнадцатеричной системе  При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево. Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления   Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516 Шестнадцатеричная: F16+616  Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21. Пример: Сложим числа 141,5 и 59,75.     Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416 Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25 311,28 = 3*82 + 1•81 + 1*80 + 2*8-1 = 201,25 C9,416 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 201,25 Вычитание     Ответ: 201,2510 - 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816. Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду: 10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5; 215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8-1 = 141,5; 8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16-1 = 141,5. Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
  Примеp: Перемножим числа 115 и 51.   Ответ: 115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518. Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду: 10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865; 133518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865. Деление Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей. Пример Разделим число 5865 на число 115.    Восьмеричная: 133518 :1638 Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638. Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду: 1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6*81 + 3*80 = 51. В двоичную из восьмеричной и наоборот переводят триадами. Недостающие позиции считаются нулями. Триады отсчитываются от запятой: целая часть – влево, дробная – вправо. (43, 372)8=(1000111,011111010)2 В двоичную из шестнадцатеричной и наоборот переводят тетрадями, аналогично предыдущему.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
