7 Тематический план практических занятий
№
|
Наименование модулей и тем
|
Краткое содержание практического занятия
|
Кол-
во
час
|
1
|
Теория вероятностей
|
Цель: Изучить новые понятия, отработать навыки вычисления суммы и произведения вероятностей случайных событий.
Изучить: [1] п.1.1-1.6. Определение вероятности: классическое, статистическое и геометрическое. Теоремы сложения вероятностей. Теоремы умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.
Решение задач: [1] стр. 9 № 1, 3, 5; стр.10 № 1, 2;; стр. 17 № 1, 3, стр.27 № 1, 3; стр. 29 № 1, 3; стр. 32 № 1, 3
Литература
[1] Кузнецов В.А., Поличка А.Е. Элементы теории вероятностей и математической статистики: учебное пособие – Хабаровск: ДВАГС, 2010.
|
2
|
2
|
Математическая статистика. Основные понятия.
|
Цель: Изучение основных понятий математической статистики.
Изучить: [1] п. 5.1 Введение в математическую статистику. Основные понятия: генеральная совокупность и ее характеристики, выборка и ее характеристики.
Решение задач: [1] стр. 92, №. 1, 3, 5; [2] № 23.1, 23.3. п. 5.2.. Несмещенные и состоятельные оценки. Доверительный интервал. Объем выборки по заданной надежности.
Решение задач: [1] стр. 84 № 1, 3;
[1] Кузнецов В.А., Поличка А.Е. Элементы теории вероятностей и математической статистики: учебное пособие – Хабаровск: ДВАГС, 2010.
|
2
|
3
|
Системы линейных уравнений
|
Цель: Выработать навыки решения систем линейных уравнений.
Изучить: [1] п. 4.1, 4.2 Системы линейных уравнений с n неизвестными, определенные, неопределенные, совместные, несовместные системы. Основная и расширенная матрицы системы. Системы линейных уравнений с тремя и двумя неизвестными. Метод Гаусса и Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений. Понятие о симплекс – методе. Теорема о совместности системы уравнений. п. 5.1 – 5.3 Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем матричным методом. Решение систем с помощью определителей (правило Крамера).
Решение задач: [1] стр. 37 № 1, 5, 7, , стр. 48 № 1, 3, 11.
Литература
[1] Кузнецов А.А. Линейная алгебра и линейное программирование: учебное пособие / Хабаровск: ДВАГС, 2011.
|
1
|
4
|
Линейное программирование
|
Цель: Изучить методы решения задач линейного программирования.
Изучить: [1] п. 11.1, 11.2 Системы линейных уравнений и линейных неравенств. Выпуклые множества, теорема о пересечении выпуклых множеств, выпуклые множества как множество решений системы линейных неравенств. Графическое решение задач линейного программирования с двумя неизвестными.
Решение задач: [1] стр. 93 № 1, 3.
Литература
[1] Кузнецов А.А. Линейная алгебра и линейное программирование: учебное пособие / Хабаровск: ДВАГС, 2011.
|
1
|
|
Всего часов
|
|
6
|
8 Самостоятельная работа студентов
1
|
Теоремы сложения вероятностей. Теоремы умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.
|
|
2
|
Формула полной вероятности.
Формула Бейеса.
|
|
3
|
Элементы комбинаторики Формула Бернулли.
|
|
4
|
Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
|
|
5
|
Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях.
|
|
6
|
Законы распределения вероятностей дискретной случайной величины: биномиальный, Пуассона.
|
|
7
|
Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, ковариация, коэффициент корреляции. Доказательство свойств
М(с)=с
М(сX)=сМ(X).
M(X+Y)=M(X)+M(Y)
M(XY)=M(X)*M(Y) для независимых X, Y
D(c)=0
D(cX)=c*c*M(X)
D(X+Y)=D(X)+D(Y) для независимых X, Y
X, Y независимы, то cov(X,Y)=0
1<=r(X,Y))<=1
r(X,Y)=1 тогда и только тогда , когда Y=aX+b
|
|
8
|
Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
|
|
9
|
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Доказательство свойств.
|
|
10
|
Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
|
|
11
|
Равномерное распределение. Показательное распределение.
|
|
12
|
Нормальное распределение. Вероятность попадания в заданный интервал. Вероятность заданного отклонения от математического ожидания.
|
|
13
|
Введение в математическую статистику. Основные понятия: генеральная совокупность и ее характеристики, выборка и ее характеристики. Несмещенные и состоятельные оценки (доказательства).
|
|
14
|
Доверительный интервал. Объем выборки по заданной надежности.
|
|
15
|
Проверка гипотез. Статистические критерии. Проверка гипотезы о законе распределения Пуассона.
|
|
16
|
Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по нормальному закону.
|
|
|
17
|
Элементы линейной алгебры. Арифметические векторы. Понятие о векторном пространстве. Аксиоматический метод в математике.
Свойства сложения векторов
Свойства умножения векторов на число
Свойства скалярного умножения
|
|
18
|
Линейная зависимость векторов, теоремы:
подсистема линейно независимой системы линейно независима;
если подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Базис, ранг системы, разложение вектора по базису, ортонормированный базис, теорема об ортогонализации произвольного базиса.
|
|
19
|
Матрицы, операции над матрицами.
Ранг матрицы. Независимость ранга от элементарных преобразований.
|
|
20
|
Определители. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении матрицы по строке или столбцу.
Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.
|
|
21
|
Системы линейных уравнений с n неизвестными. Теорема о совместности системы уравнений.
|
|
22
|
Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем матричным методом.
Решение систем с помощью определителей (правило Крамра).
|
|
23
|
Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Свойства собственных векторов
Характеристическое уравнение квадратной матрицы.
Типовой расчет «Собственные векторы».
|
|
24
|
Линейные и ортогональные преобразования. Квадратичные формы, матрица квадратичной формы. Ранг и индекс квадратичной формы, их независимость от выбора базиса. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы.
|
|
25
|
Приведение матрицы квадратичной формы к диагональному виду с помощью ортогональных преобразований.
|
|
26
|
Условный экстремум функции нескольких переменных. Второй дифференциал функции нескольких переменных в точке, подозрительной на экстремум. Метод множителей Лагранжа.
|
|
27
|
Модель межотраслевого баланса (МОБ) (модель Леонтьева «затраты-выпуск»). Типовой расчет .
|
|
28
|
Элементы линейного программирования
Выпуклые множества, теорема о пересечении выпуклых множеств, выпуклые множества как множество решений системы линейных неравенств.
|
|
29
|
Двойственность в линейном программировании; связь решений прямой и двойственной задачи.
|
|
30
|
Метод искусственного базиса, случаи его применения.
|
|
31
|
Дискретное программирование.
|
|
32
|
Типовой расчет «Двойственность в линейном программировании»
|
|
33
|
Динамическое программирование, нелинейное программирование.
|
Контрольная работа №2
Определение варианта контрольной работы
Первым буквам фамилии, имени и отчества поставим в соответствие числа:
А, Ц, К, Б, Ы, Х, Я --1,
В, П, Ш, Г, И, У, О, М --2
Д, , Л, Е, Ж, С, З, Ч, --3,
Ф, Щ, Э, Н, Р, Т, Ю,--4.
Число, соответствующее фамилии обозначим буквой Ф, имени -буквой И, отчеству - буквой О. Числа Ф, И, О подставляются в задачах вашего варианта. Прежде, чем записывать решение задачи в контрольной работе, необходимо записать условие задачи с подставленными числовыми значениями своего варианта.
Задание 1 (теория вероятностей)
1) В первой коробке содержится Ф+5 шаров, из них Ф белых; во второй коробке содержится И+4 шара, из них И+1 белых. Из каждой коробки случайным образом извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взятый шар белый.
2) При обследовании 100Ф человек было установлено, что 40Ф из них страдает болезнью легких, 60Ф курит и 7И не курит и не страдает болезнью легких.
а) Найти вероятность того, что человек старше 50 лет курит и страдает болезнью легких;
б) Человек старше 50 лет курит. Найти вероятность того, что он страдает болезнью легких.
3) Вероятность появления события A в одном испытании равна 0,1(Ф+1).
Найти вероятность того , что:
a) при Ф+4 испытаниях событие A появится И раз;
b) при 100 Ф испытаниях событие A появится не более 90Ф раз и не менее 20И раз.
4) Случайная величина задана функцией распределения
a) найти с;
b) математическое ожидание M(X) и среднее квадратичное отклонение (X);
с) вероятность попадания случайной величины X в интервал (Ф+1,И+5).
5) Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием M(X)=2Ф и средним квадратичным отклонением (X)=0.5И. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (Ф, 2Ф+И).
6) Профсоюзный комитет по выборке из Ф+4 предприятий отрасли подсчитал, что в среднем И% рабочего времени оплачивается по листам нетрудоспособности со среднеквадратическим отклонением в 0.5%. Найти доверительный интервал для среднего процента рабочего времени, оплачиваемого по листам нетрудоспособности с надежностью 0.95; 0.98.
Время, необходимое специалисту отдела N для обработки поступившего документа дано в таблице: (a=Ф+1, b= Ф+И+2, a1=Ф+И+1, b1=Ф+О+И+1 )
-
Время (дней)
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
Кол-во док.
|
a
|
a1
|
b
|
2b
|
3b
|
2b1
|
2a1
|
a1
|
a
|
С надежностью 95% проверить гипотезу о том, что распределение времени обработки документов подчинено нормальному закону.
Задание 2 (линейная алгебра)
Если Ф=И=О, то примем И=Истаарое+1; все коэффициенты вычисляются по формулам:
a11=Ф; a12=О-Ф; a13=Ф-О;
a21=Ф-И; a22=2И-Ф; a23=Ф-И;
a31=Ф-И; a32=2И-Ф-О; a33=О+Ф-И;
a14=2Ф; a24=3И; a34=2О;
d1=ФФ+ОО-ФО;
d2=ФФ-ФИ+2ИО-ФО;
d3=ФФ-ИФ+2ИО-ФО-ОО.
1.Решить систему а)методом Жордана - Гауcса
матричным методом 
2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
3. Найти базисные решения системы
Исследовать на условный экстремум функцию
z=a11x2+a12xy+a22y2+a21x+a32y+a33 при условии a14x+a24y=0 
Решить задачу симплекс-методом; найти решение двойственной задачи:
Сколько единиц продукции каждого из трех видов следует производить, чтобы получить максимальную прибыль при следующих ограничениях :
на единицу продукции первого типа затрачивается  единиц ресурса А,  единиц ресурса В,  единиц ресурса С; на единицу продукции второго типа затрачивается  единиц ресурса А,  единиц ресурса В,  единиц ресурса С; на единицу продукции третьего типа затрачивается  единиц ресурса А,  единиц ресурса В,  единиц ресурса С;
имеется в наличии всего единиц ресурса А,  единиц ресурса В и  единиц ресурса С
чистая прибыль от продажи продукции первого типа составляет  денежных единиц, второго типа  денежных единиц, и третьего типа  денежных единиц.
Вертикальные черточки в условии задачи означают значения по модулю.
9 Программа экзамена
Теория вероятности
Сущность и условия применимости теории вероятностей. Серии опытов со случайными исходами. Классическое и частотное определение вероятности. Вероятностное пространство. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Условная вероятность. Формула полной вероятности. Теорема Бейеса.
Элементы комбинаторики. Перестановки, сочетания, размещения.
Повторение испытаний, схема Бернулли, формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие.
Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях. Определение случайной величины. Дискретное распределение случайной величины, математическое ожидание, дисперсия случайной величины и среднее квадратичное отклонение, их свойства.
Непрерывное распределение вероятности (непрерывная случайная величина); математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение и дисперсия непрерывной случайной величины.
Равномерное, нормальное, пуассоновское, показательное (экспоненциальное) распределения случайных величин, их числовые характеристики: математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, дисперсия.
Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема.
Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов.
Введение в математическую статистику. Основные понятия: генеральная совокупность, выборки, выборочная средняя, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
Доверительный интервал.
Проверка статистических гипотез.
Линейная алгебра
Векторы, сложение векторов и их свойства.
Умножение вектора на число, свойства.
Скалярное произведение векторов, свойства.
Понятие о векторном пространстве. Примеры векторных пространств.
Линейная зависимость векторов. Базис
Матрицы, операции над матрицами.
Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы
Определители, свойства определителей.
Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Системы линейных уравнений с тремя и двумя неизвестными. Матричная запись системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Теорема о совместности системы линейных уравнений (Кронекера-Капелли)
Решение систем матричным методом.
Решения систем с помощью определителей.
Линейные операторы и их свойства; матрица линейного оператора.
Связь матриц линейного оператора в разных базисах. Подобные матрицы.
Квадратичные формы, матрица квадратичной формы. Ранг и индекс квадратичной формы.
Положительно (отрицательно)-определенные квадратичные формы.
Линейные преобразования, матрица линейного преобразования.
Собственные числа и собственные векторы. Характеристическое уравнение квадратной матрицы.
Приведение матрицы к диагональному виду. Неотрицательно-определенные квадратные матрицы. Модель межотраслевого баланса(МОБ).
Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и линейных неравенств.
Выпуклые множества, их свойства.
Понятие о симплекс - методе
Общая задача линейного программирования. Решение экономических задач.
Двойственность в линейном программировании.
Метод искусственного базиса.
Целочисленное программирование.
10 уЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Обязательные учебники и учебные пособия
Общий курс высшей математики для эономистов / под общ. ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА – М, 2010. – 656с.
Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА – М., 2001. – 575с.
Красс, М.С. Математика для экономистов. Спб.: Питер, 2005. –464сч.
Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов / под ред. Кремера Н.Ш. М. : ЮНИТИ–ДАНА, 2010. –479с.
Кузнецов, В.А. Элементы теории вероятностей и математической статистики: учебное пособие для студентов / В.А. Кузнецов, А.Е. Поличка. -Хабаровск: ДВАГС, 2010. – 102с
Кузнецов, В.А. Линейная алгебра и линейное программирование: учебное пособие / В.А. Кузнецов. –Хабаровск,: ДВАГС, 2011. – 138с.
Дополнительная литература
Акулич, И.А., Математическое программирование в примерах и задачах / И.А. Акулич. -М: ,1993.
|
