Программа факультативного курса по теме «Векторы»

Программа факультативного курса по теме «Векторы» Автор: учитель математики МОУ лицея №41 города Костромы Геннадьева Марина Владимировна Пояснительная записка В современном мире все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связанных непосредственным применением математики. Поэтому широк круг школьников, для которых математика – профессионально значимый предмет. Данный факультативный курс призван удовлетворить потребности и запросы этих учащихся на начальном уровне. Курс также способствует развитию склонностей и способностей, интересующихся математикой. На изучение темы отводится двенадцать уроков. Успешному усвоению темы способствует тот факт, что понятие вектора и действия над ними были введены в курсе планиметрии и уже известны учащимся. Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Векторный анализ, построенный как математический аппарат для изучения электричества и магнетизма, стал научной базой для развития физических теорий, что впоследствии привело к созданию тех благ цивилизации, которыми пользуется человечество сейчас. Поэтому одной из задач изучения векторов является формирование аппарата необходимого для изучения ряда вопросов физики. Цели курса: расширить знания по теме «Векторы»; составить целостное представление о понятии вектора, его свойствах; научиться использовать данное понятие при решении нестандартных задач. Задачи. Предлагаемый курс должен обеспечить реализацию следующих задач: дополнить представление о векторе, рассматриваемое в курсе геометрии; подвести учащихся к осознанию свойств вектора; научить учащихся использовать векторный метод при решении задач. содействовать формированию у учащихся творческого мышления; сформировать критическое мышление и представление. Принципы: Общими принципами отбора содержания материала программы является: актуальность; доступность; научность; наглядность; целостность; системность содержания вопросов и задач; реалистичность с точки зрения возможности усвоения содержания программы за 15 часов. Предполагаемые результаты обучения: Предлагаемый факультатив должен помочь учащимся усвоить понятие вектора, расширить знания о нем. Учащиеся должны научиться переводить геометрические соотношения между фигурами на векторный язык, а также, наоборот, полученные векторные соотношения истолковывать геометрически. Место курса в учебном плане для профильного класса: углубляет знания в области векторной алгебры; способствует расширению кругозора и включает материал, выходящий за рамки школьной программы. Учебно-тематическое планирование курса № Тема занятия Количество часов Форма проведения 1 Из истории векторного исчисления. Векторы, основные понятия 1 лекция 2 Задачи на разложение вектора по двум заданным неколлинеарным векторам 1 практикум 3 Компланарные векторы 1 лекция 4 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам 1 исследование работа в группах 5 Длина вектора. Поворот вектора на 90 градусов 1 лекция тест 6 Примеры применения скалярного произведения векторов 2 практикум 7 Два решения одной векторной задачи 1 семинар 8 Задачи по теме «Многогранники» 2 групповая работа 9 Геометрия скользящих векторов 1 семинар 10 Экспертиза решения задач 2 деловая игра 11 Зачёт «Типовой расчёт» 2 зачёт Формы аттестации учащихся: текущая – ролевая игра; итоговая – зачёт в форме типового расчёта. Предлагаю вашему вниманию разработку некоторых уроков курса. Тема урока: «Примеры применения скалярного произведения векторов». (1 урок) Определение: углом между ненулевыми векторами и называют угол между направлениями этих векторов. Определение: Скалярным произведением ненулевых векторов и называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними где . Свойства скалярного произведения векторов: Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: . Два вектора, отличные от нулевого перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: Для любых векторов и выполняются равенства: (переместительный закон) (сочетательный закон) (распределительный закон) Для любых векторов и : Для любых векторов и : Для любых трех векторов ,,: Для любых трех векторов ,,: Для любых трех точек : Для любых четырех точек : Задача №1 В тетраэдре ребро перпендикулярно к ребрам и , и имеет длину , ,.Найти угол между прямыми и , вычислить величину этого угла при . Решение: Если прямые скрещивающиеся, то угол между ними всегда острый. D Найдем косинус угла между направляющими векторами прямых и . В данной задаче надо векторы и B разложить по трем некомпланарным векторам, у которых мы знаем их длины 45º и углы между ними, А если берем векторы попарно. C - базис. ; . Если , то , , . Ответ: . Задача №2 В параллелепипеде грань – квадрат со стороной ; ребро также равно и образует с ребрами и углы, равные . Найти длину диагонали и угол между прямыми и . Решение: D1 A1 Найдем длину диагонали . Разложим вектор по базисным векторам . → r B1 C1 Имеем: . → q Тогда → p A D C B Отсюда . Угол между прямыми и найдем, вычислив предварительно косинус угла между векторами и . Из определения скалярного произведения следует: . Находим: . Тогда . Угол между прямыми принадлежит промежутку , поэтому для нахождения искомого угла следует пользоваться модулем найденного результата. Ответ: / Задача №3 Даны три луча , не лежащие в одной плоскости. Известно, что . Докажите, что луч перпендикулярен биссектрисе угла . Решение: D Отложим от точки на данных лучах единичные векторы . → e3 → e2 Имеем:, → e1 . B C Из данного равенства вытекает, что . D1 A Отсюда или . Направления вектора и биссектрисы совпадают, поэтому из последнего равенства следует, что . Домашнее задание: 1.В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника. 2.а) Точка – центр окружности, описанной около треугольника , точка – его ортоцентр. Докажите, что . б) Известны стороны треугольника и радиус окружности, описанной около него. Вычислите расстояние от центра окружности до ортоцентра треугольника. Домашняя работа: 1.В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника. Решение: Пусть в треугольнике . Медианы и по условию перпендикулярны, поэтому . (1) Разложим векторы и по базисным векторам и . A Имеем: , φ → p C1 B1 Согласно равенству (1): → q C B Обозначив , воспользуемся определением скалярного произведения векторов. Тогда получим:, отсюда . Ответ: . 2.а) Точка – центр окружности, описанной около треугольника , точка – его ортоцентр. Докажите, что . б) Известны стороны треугольника и радиус окружности, описанной около него. Вычислите расстояние от центра окружности до ортоцентра треугольника. а) Решение 1: Рассмотрим треугольник . Построим точку , симметричную точке относительно стороны . Тогда Затем построим точку , такую, что . Докажем, что точка и есть ортоцентр треугольника . Действительно, по построению, - серединный перпендикуляр к отрезку и . Если повторить построение, начиная с векторов и , то получим, что та же точка принадлежит высоте треугольника, проведенной из вершины . Аналогично докажем, что точка принадлежит высоте, проведенной из вершины . Значит, высоты треугольника пересекаются в одной точке , причем . Решение 2: Согласно условию задачи имеем: или , . Вычтем из первого равенства второе и получим: C . Аналогично докажем, что . H А т.к. векторы и коллинеарны, то .O . B A б). Что и требовалось доказать. Тема урока: «Примеры применения скалярного произведения векторов». (2 урок) Скалярное произведение векторов часто применяют в геометрии – для решения задач, связанных с определением величины угла между прямыми; в алгебре – для доказательства некоторых видов неравенств, решения уравнений и их систем. Изложение данного материала всегда вызывает большой интерес у учителей, его можно использовать при проведении внеклассных занятий. В общем случае скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними. Так как , а 1, то (1). Поэтому, если даны векторы =() и , то и , и следовательно, (2). Аналогично для трёхмерного пространства: (3). Задача №1. Доказать, что если , то . Доказательство. Обозначим координаты соответствующих векторов и следующим образом: Согласно формуле (3), имеем: Встречаются неравенства, которые трудно решить традиционными методами. Применение рассматриваемого метода позволяет значительно облегчить и ускорить их решение. Задача №2. Доказать, что неравенство Выполняется при всех значениях , при которых определена его левая часть. Доказательство. Рассмотрим векторы и . Из формулы (3) следует, что . Задача №3. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с катетами и и гипотенузой имеет место следующее неравенство: . Доказательство. Обозначим координаты соответствующих векторов и так: . Согласно формуле (2), имеем: . Задача №4. Доказать истинность неравенства . Доказательство. Рассмотрим векторы , . Получим: , . Согласно неравенству (3), имеем: . Пусть , . Применим формулу (3) к правой части данного неравенства: . Рассмотрим примеры применения скалярного произведения векторов к решению уравнений и систем уравнений. Задача №5. Решить уравнение . Решение. Перепишем данное уравнение в виде . Рассмотрим векторы: и . Длины этих векторов соответственно равны: и =. В соответствии с формулой (2): >. Мы получили, что . Ответ: уравнение не имеет решений. Задача №6. Решить систему уравнений: Решение. Рассмотрим векторы: и . Найдем длины этих векторов: Их скалярное произведение: . Получим: =. Но нам известно, что . Ответ: система решений не имеет. В работе приведены разработки уроков с №1 по №10. Список используемой литературы: Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии: Пособие для учащихся.- М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.-240 с.:ил. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9 и 10 кл.- М.: Просвещение, 1979.- 128 с. Гусев В.А., Медяник А.И. Задачи по геометрии для 9 класса: Дидактические материалы: Пособие для учителя.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1990.- 79 с.:ил. Алтынов П.И. Геометрия. Тесты. 7-9 кл.: Учебно-метод. Пособие.- 4-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2000. Журнал «Математика в школе» №5-1976г. Журнал «Математика в школе» №7-1976г. Журнал «Математика в школе» №1.-1995г. Журнал «Математика в школе» №5-1995г. Журнал «Математика в школе» №2-1998г. Журнал «Математика в школе» №3-2000г.

Похожие:

	Программа факультативного курса «История в лицах» Программа факультативного курса "История в лицах" ориентирована на расширение знаний обучающихся о важнейших деятелях российской...		Конспект факультативного занятия курса «экономика» по теме Наименование оу муниципальное дошкольное образовательное учреждение
	Рабочая программа факультативного курса в 8 классе «Технологии компьютерной анимации» Рабочая программа факультативного курса «Технологии компьютерной анимации» составлена на основе авторской программы В. Л. Кудрявцева,...		Рабочая программа факультативного курса в 6 классе «Изучаем текстовые редакторы» Рабочая программа факультативного курса «Изучаем текстовые редакторы» составлена на основе авторской программы Л. А. Залоговой, канд...
	Пояснительная записка. Факультативный курс «Мир комнатных растений»... Цель факультативного курса углубить и расширить знания учащихся, интересующихся биологией, выращиванием и разведением комнатных растений;...		Конспект по теме «Векторы в пространстве» Определение вектора: Вектор это
	Программа факультативного курса «Углубление основного курса математики» Бюджетное образовательное учреждение Кичменгско-Городецкого муниципального района		Приложение 1 Дифференцированные задания для учащихся по теме «Векторы в пространстве» Педагог: Аширбекова Лариса Александровна, заместитель директора по воспитательной работе, учитель математики и информатики
	Программа факультативного курса по географии «Путешествие по материкам и океанам» Факультатив предназначен для более углубленного изучения курса географии «Материки, океаны, народы и страны». В содержании курса...		Рабочая программа Факультативного курса для 10 класса «Традиции и обычаи народов мира»
	Учебно-методический комплекс Рекомендовано Смоленским областным экспертным... Рекомендовано Смоленским областным экспертным советом к использованию в качестве факультативного курса в общеобразовательных учреждениях...		Программа факультативного курса по биологии «Флора и фауна Иркутской области» Учебно – методическое обеспечение
	Обществознание 11 класс Рабочая программа факультативного курса «Такие удивительные имена» составлена для 6 класса		Тема класс Рабочая программа факультативного курса «Такие удивительные имена» составлена для 6 класса
	Программа факультативного курса «Антропология» Это явление вполне закономерно: антропологические знания составляют необходимый фундамент для современного специалиста в любой сфере...		Феномен креативности в наукоискусстве Рабочая программа факультативного курса «Такие удивительные имена» составлена для 6 класса