1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13
14
15
16
|
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
|
Эмпирические основы теории вероятности. Основные понятия и задачи математической статистики.
Классическое определение вероятности события (конечное число равновероятных элементарных исходов).
Общее определение вероятности события.
Основные вычислительные формулы теории вероятности.
Одномерная случайная величина.
Основные одномерные распределения случайных величин и связи между ними.
Определение вероятности события по частоте его появления (определение доли объектов в генеральной совокупности по их доле в выборке).
Многомерная случайная величина.
Предельные теоремы теории вероятности.
Основные распределения, используемые в статистике.
Точечные и интервальные оценки параметров распределений. Проверка гипотез о значении параметров распределений.
Проверка гипотез о виде закона распределения.
Общая задача оценки параметров модели.
Теория общих линейных моделей.
Последовательный анализ.
Задачи классификации медико-биологических данных.
|
1.1 Понятие статистического эксперимента. Элементарные исходы (элементарные события). Сложные события. Частота события. События невозможные, случайные, достоверные.
1.2 Операции над событиями.
Объединение, пересечение дополнение. Свойства операций над событиями. Принцип двойственности.
1.3 Свойства частот. Частота объединения и пересечения событий. Понятие условной частоты события. Независимые события (интуитивное определение). Явление статистической устойчивости частот. Введение понятия вероятности события как идеализированной "неслучайной" частоты события.
1.4 Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность, выборка, случайный выбор. Задача индуктивного статистического вывода – формулирование суждений о генеральной совокупности на основе выборки, извлеченной из нее случайным образом.
2.1 Определение вероятности события для конечного числа равновозможных (симметричных) элементарных исходов. Условная вероятность. Примеры подсчета общего числа элементарных исходов и "благоприятного" числа элементарных исходов.
2.2 Простейшие понятия комбинаторики. Принцип сложения и принцип умножения. Сочетания и размещения. Перестановки. Выбор объектов с возвращением и без. Подсчет числа сочетаний и размещений для выбора с возвращением и без возвращения.
3.1 Структура вероятностного пространства – элементарные исходы, алгебра событий, вероятность – как функция, заданная для каждого события. Свойства вероятности. Примеры: конечное число не равновозможных элементарных исходов, бесконечное число элементарных исходов при геометрическом определении вероятности.
4.1 Вероятность объединения событий в общем случае. Частные случаи: несовместные события, независимые события.
4.2 Вероятность произведения событий.
Частные случаи – независимые события, события образующие Марковскую цепь.
4.3 Формула полной вероятности.
4.4.Формула Байеса.
5.1 Три основных вида случайных величин – дискретные, непрерывные, смешанные. Индикатор события. Аналогия с распределением единичной массы по вещественной прямой. Атом вероятности. Способы задания одномерной случайной величины: ряд распределения (для дискретной с.в.), функция распределения (для любой с.в.), плотность вероятности (для непрерывной с.в.). Связь плотности вероятности и функции распределения ("накопленной вероятности"). Их свойства. Эмпирические аналоги функции распределения ("накопленная частота") и плотности вероятности (гистограмма).
5.2 Среднее значение случайной величины и функции от нее – математическое ожидание.
5.3 Моменты одномерной случайной величины – начальные и центральные. Связи между ними. Дисперсия (вариация). Безразмерные величины – коэффициенты вариации, асимметрии, эксцесса.
5.4. Квантили. Медиана, квартили. Межквартильный разброс.
5.5 Характеристики положения и рассеяния. Преимущества и недостатки использования пар - математического ожидания и среднего-квадратичного отклонения по сравнению с медианой и межквартильным разбросом.
5.6 Производящая и характеристические функции.
6.1 Схема независимых испытаний Бернулли и связанные с ней распределения: биномиальное, геометрическое, отрицательное биномиальное.
6.2 Пуассоновское распределение как предельный случай биномиального распределения.
6.3 Нормальное распределение. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа – аппроксимация биномиального распределения с помощью нормального.
6.4 Связи между биномиальным, пуассоновским и нормальным распределением.
6.5 Связи между геометрическим и экспоненциальным, отрицательным биномиальным и гамма, экспоненциальным, равномерным и пуассоновским распределениями.
7.1 Оценка вероятности по частоте появления события, или оценка доли объектов в генеральной совокупности по их доле в выборке, или оценка параметра биномиального распределения. Интервал рассеяния и доверительный интервал. Приближенные и точные формулы для границ доверительного интервала.
7.2 Планирование объема выборки для оценки вероятности
при заданных значениях точности и надежности.
7.3 Понятие о принципе максимального правдоподобия на примере оценки параметра биномиального распределения.
8.1 Функция распределения и плотность вероятности системы двух и более случайных величин (случайного вектора).
8.2 Числовые характеристики случайных векторов: вектор математических ожиданий и матрица ковариаций.
8.3 Теоремы о математическом ожидании и дисперсии.
8.4 Полиномиальное распределние.
8.5 Нормальное распределение для случайного вектора (на примере двумерного нормального распределения). Эллипсы рассеяния, расстояние Махаланобиса, условные плотность вероятности, математическое ожидание и дисперсия.
9.1 Неравенство Чебышева.
9.2 Закон больших чисел.
9.3 Центральная предельная теорема Ляпунова (для частного случая: одинаково распределенных слагаемых).
10.1 Распределение хи-квадрат для разных чисел степеней свободы.
10.2 Распределение Стьюдента.
10.3 Распределение Фишера.
11.1 Основные методы построения точечных оценок – метод моментов, метод максимального правдоподобия.
11.2 Примеры построения оценок параметров для биномиального, пуассоновского, экспоненциального распределений. Интервалы рассеяния и доверительные интервалы. Понятие опорной случайной величины и метод "стьюдентизации".
11.3Точные методы оценок параметров для нормального распределения ("теория малых выборок Стьюдента").
11.4 Примеры проверки гипотез о параметрах распределений. Сравнение средних и дисперсий для параметров нормального распределения.
12.1 Простые и сложные гипотезы.
12.2 Расстояние Пирсона и критерий хи-квадрат для проверки простых и сложных гипотез.
12.3 Критерий Колмогорова для проверки простой гипотезы о виде распределения одномерной непрерывной случайной величины.
12.4 Выбор между двумя альтернативными гипотезами. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Случай простых гипотез – лемма Неймана-Пирсона. Критерий отношения правдоподобия.
13.1 Классификация оценок.
13.2 Неравенство Рао-Крамера.
13.3 Понятие достаточной статистики.
13.3 Робастное оценивание. Оценки Мешалкина параметров нормального распределения.
14.1 Понятие о дисперсионном, регрессионном и ковариационном анализе. Примеры – анализ таблиц сопряженности, кривых доза-эффект. Общая теория линейных моделей (GLIM) - единая точка зрения на все перечисленные задачи.
14.2 Спецификация линейной модели. Переменные отклика и объясняющие переменные. Линейный предиктор и функция связи.
14.3 Экспоненциальное семейство распределений. Функция правдоподобия для экспоненциального семейства.
14.4 Подгонка моделей по данным. Девиация и ее анализ. Разложение девиации.
14.5 Метод наименьших квадратов и его геометрическая интерпретация.
14.5 Однофакторный дисперсионный анализ. Основное тождество дисперсионного анализа. Критерий Фишера.
14.6 Проблема множественных сравнений. Использование неравенств Бонферони. Метод множественных сравнений Шеффе.
14.6 Двухфакторный дисперсионный анализ.
14.7 Теория линейной регрессии.
14.8 Анализ таблиц сопряженности.
15.1 Сопоставление методов с фиксированным заранее числом опытов и последовательных методов.
15.2 Последовательный критерий отношения вероятностей (ПКОВ).
15.3 Примеры использования ПКОВ для проверки гипотез.
15.4 Оперативная характеристика ПКОВ.
15.5 Ожидаемый объем выборки.
15.6 Последовательные медицинские испытания (метод Армитейджа).
15.7 Задача о разладке.
16.1 Понятие о задаче классификации с учителем и без.
16.2 Анализ главных компонент.
16.3 Задача классификации. Линейный дискриминант Фишера. Метод опорных векторов (SVM).
16.3 Методы сокращения числа переменных - поиск биомаркеров.
16.4 Методы сравнения классификаторов – ROC кривые и кроссвалидация.
16.5 Примеры использования в транскриптомике и протеомике – анализ данных биочипов и масс-спектров.
|
