Скачать 162.6 Kb.
|
УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ Валуйский педагогический колледж Школьное отделение Предметно-цикловая комиссия физики, математики и информатики Владимирова Наталья Анатольевна Студентка 23 группы УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Реферат по методике преподавания математики Научный руководитель: Старокожева Е. И. Валуйки, 2007 Оглавление Введение……………………………………………………………….……. 3
6.1 Теорема Виета………………………………………………………..…18 Заключение………………………………………………………………….21 8.Список используемой литературы……………………………………...22 Введение Истоки алгебраических методов решения практических задач связан с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения. Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий. Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования: a) уравнение как средство решения текстовых задач; b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения; c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением. Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным. Таким образом, уравнение как общематематическое понятие много аспектное, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования. 1. Понятие уравнения Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом алгебры. Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно - методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. 2. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля, могут решаться несколькими способами. Способ выбирается в зависимости от вида уравнения. Основные способы: метод отрезков, возведение в квадрат, могут применяться и нестандартные способы. При решении уравнений может одновременно использоваться несколько способов. 1. Возведением в квадрат |2х-5|=х возведем в квадрат это уравнение: (|2х-5|)2=(x)2 4х2-20х+25=х2 3х2-20х+25=0 D=k2-ac= (-10)2-3∙25=100-75=25 D>0 Возведение в четную не является равносильным преобразованием, т.к., ОДЗ не задавалось, поэтому произведем проверку. Проверка. Для х1: верно Для х2 |2∙5-5|=5 |10-5|=5 |5|=5 5=5 верно 2. методом отрезков: а) |2х +3|=|х-2| 2х +3=0 → x = -1,5 х-2=0 → x=2 Третий корень является посторонним, т. к. все преобразования были равносильными то проверка не нужна. Ответ: б)x+ | x -1|=1 Ответ: 3. Иногда применяется несколько методов одновременно. Например. ||x|+5|=6 Возведем уравнение в квадрат. (|x|+5)2=36 х2+10|x|+25=36 Применим метод отрезков. x2+10x-11=0 D=k2-ac=25+11=36 D>0 x1=-5+6=1 x2=-5-6=-11 x2-10x-11=0 D=k2-ac=25+11=36 D>0 x3=5+6=11 х4=5-6=-1 Проверка. Для x1: ||1|+5|=6 6=6 верно Для x4: ||-1|+5|=6 6=6 верно Ответ: x1=1, x4=-1 4. Нестандартным способом. |x-8|=x-8 Выражения, стоящие в левой и правой части уравнения различаются только знаком модуля, поэтому решением уравнения будет его область определения. Найдем область определения: так-так левая часть уравнения больше нуля, то и правая часть тоже больше нуля, тогда х-8≥0 ð х≥8 т. к. х-8>0 то х-8=х-8 0=0 равенство, верно, значит x ≥8 ,будет решением данного уравнения. Ответ: xÎ(8,+∞) 4. Иррациональные уравнения Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется. Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить, пользуясь следующим правилом: 4.1 Решение иррациональных уравнений стандартного вида: а) Решить уравнение = x + 4, Решение. = x + 4, Ответ: -1 б) Решить уравнение x– 1 = Решение. x – 1 = х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – x– 1, х3 – 4х2 + 4х = 0, x (х2 – 4х + 4) = 0, x= 0 или х2 – 4х + 4 = 0, (x – 2)2 = 0, x = 2 Ответ: 0; 2. в) Решить уравнение = x – 2, Решение. = x – 2, 2x – 1 = x2 – 4x + 4, Проверка: x2 – 6x + 5 = 0, x = 5, = 5 – 2, x1 = 5, 3 = 3 x2 = 1 – посторонний корень x = 1, 1 – 2, Ответ: 5 пост, к. 1 -1. г) Решить уравнение x – + 4 = 0, Решение. x – + 4 = 0, x + 4 =, Проверка: х2 + 8х + 16 = 25х – 50, x = 11, 11 – + 4 = 0, х2 – 17х + 66 = 0, 0 = 0 х1 = 11, x = 6, 6 – + 4 = 0, Ответ: 6; 11.
а) Решить уравнение Решение. Пусть = t, тогда = , где t > 0 t – Сделаем обратную замену: = 2, возведем обе части в квадрат Проверка: x = 2,5 Ответ: 2,5. б) Решить уравнение Решение. Пусть = t, где t > 0 Сделаем обратную замену: = 2, возведем обе части уравнения в квадрат Проверка: , Ответ: –5; 2. 5. Иррациональные неравенства Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала). Иррациональное неравенство вида равносильно системе неравенств: Иррациональное неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств: и 5.1 Решение иррациональных неравенств стандартного вида: а) Решить неравенство Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств: + – + Ответ: [1; 2). 1 3 x б) Решить неравенство Решение. Данное неравенство равносильно двум системам неравенств: Ответ: 6. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним Уравнение вида ax²+bx+c=0,где a,b и c-некоторые числа (а≠0),где x-переменная, называется квадратным уравнением. Формула решения квадратного уравнения. Сначала разделим, обе части уравнения ax²+bx+c=0 на a-от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения x² = (b / a) x + (c / a) = 0 выделим в левой части полный квадрат x ²+ ( b / a ) = ( c / a ) = ( x² + 2 ( b / 2a ) x + ( b / 2a )²) + ( c / a ) = = ( x + ( b / 2a ) )² - ( b² ) / ( 4a² ) = ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ))² - ( ( b² - 4ac ) / 4a² ) ). Для квадратности обозначим выражение (b² - 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ) )² - ( D / ( 4a² ) ). Возможны три случая:
x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ))²- ( √D / 2a )². По формуле разности квадратов выводим отсюда: x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ) – ( √D / 2a )) (x + ( b / 2a )) = ( x – ((- b + √D ) / 2a )) ( x – (( - b - √D ) / 2a )). Теорема: Если выполняется тождество ax² + bx + c = a (x – x) (x – x2), то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 при X ≠ X2 имеет два корня X и X2 , а при X + X2 - лишь один корень X. В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождество следует, что уравнение x² + (b / a) x + (c / a)=0, а тем самым и уравнение ax² + bx + c = 0, имеет два корня: X = (- b + √D) / 2a; X2 = (- b - √D) / 2a. Таким образом, x² + (b / a) x + (c / a) = (x - x) (x - x2). Обычно эти корни записывают одной формулой: X, 2 = -b ±√b² - 4ac / 2a где b² - 4ac = D. 2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ) )² - ( D / ( 4a² ) ). принимает вид x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ) )². Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax² + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X = - b / 2a; 3) если число D отрицательно (D < 0),то и поэтому выражение x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ) )² - ( D / ( 4a² ) ). является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение x² + (b / a) x + (c / a) = 0 не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax² + bx + с = 0. Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант D = b² - 4ac. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение: X = - b / (2a). Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня: X = (- b + √D) / 2a; X2 = (- b - √D) / 2a. Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. Если один из коэффициентов b или c равен пулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1, называются приведенным. Обычно приведенное квадратное уравнение обозначают так: x² + px +q =0. Корни приведенного квадратного уравнения обычно находятся по формуле X, 2 = -p/2 ± √ (p / 2)²- q 6.1 Теорема Виета Мы вывели тождество x² + (b / a) x + (c / a) = (x - x) (x - x2), где – корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. раскроем скобки в первой части этого тождества. x² + (b / a) x + (c / a) = x² - xx – x2x + xx2 = x² - (x + x) x + x x2. отсюда следует, что Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 2603): Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при X²; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, деленному на коэффициент при X². Теорема 2 (обратная). Если выполняется равенства X + X2 = -b / a и XX2 = c / a, то числа X и X2 являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + с = 0. Замечание. Формулы X + X2 = -b / a и XX2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax² + bx + с = 0 имеет один корень X кратности 2, если положить в указанных формулах X2 = X. Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax² + bx + с = 0 имеет совпадающих друг с другом корня. При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения (1 / X) + (1 / X2) = (X + X2) / XX2; X² + X2² = (X + X2) – 2XX2; X / X2 + X / X2 = (X² + X2²) / XX2 = ((X + X2)² - 2XX2 / XX2; X³ + X2³ = (X + X2) (X² – XX2 + X2²) = (X +X2) ((X + X2)² - 3XX2). Пример 1. Решить уравнение 2x² + 5x – 1 = 0 Решение.D = 25 – 42(-1) = 33 > 0; X = (-5 + √33) / 4; X2 = (-5 - √33) / 4. Пример 2. решить уравнение x³ -5x² + 6x = 0 Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x (x² – 5x +6) = 0,отсюда x = 0 или x² – 5x + 6 = 0. Решая квадратное уравнение, получаем X = 2, X2 = 3. Ответ: 0; 2; 3 Заключение Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики. а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики. В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании. б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений. Список используемой литературы
Перейти к оглавлению |
Методические разработки разделов и тем курса математики «Новое в методике математике», в котором помещать статьи по методике преподавания математики, обобщению передового опыта, о новой... | Кафедра математического анализа и методики преподавания математики Сборник тем курсовых работ по методике обучения математике. Рекомендации по написанию | ||
Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... В. А. Бубнов, Н. Н. Скрыпник Применение информационных технологий в методике преподавания высшей математики | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Контрольные работы по «Методике преподавания математики» включаю в себя два задания | ||
Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Сборник методических рекомендаций по подготовке дипломных работ по методике преподавания математики | План введение глава общее понятие об интегрированном уроке в методике... Общее понятие об интегрированном уроке в методике преподавания | ||
И. К. Кондаурова, С. В. Лебедева Научно-исследовательская деятельность... Образовательная дать знания о Кибертерроризме, путях их распространения, об антивирусных программах и способах их использования на... | Положение о Всероссийской студенческой олимпиаде по методике преподавания... Настоящее Положение определяет статус, цели и задачи Всероссийской студенческой олимпиады по методике преподавания иностранных языков... | ||
Инновационные технологии в методике преподавания иностранного языка: метод проектов Инновационные технологии в методике преподавания иностранного языка: метод проектов: материалы первого регионального семинара/ Урал... | Программа государственного квалификационного экзамена по методике... «Методика преподавания философии». Цели, предмет и задачи курса «Методика преподавания философии». Методика, дидактика, психология... | ||
Методические рекомендации по изучению дисциплины Подготовка будущих учителей математики тесно связана с творческим осмыслением ими теоретических знаний по методике обучения математике,... | Методические разработки разделов и тем курса немецкого языка «Новое в методике немецкого языка», в котором помещать статьи по методике преподавания немецкого языка, обобщению передового опыта,... | ||
Реферат сдается в приемную комиссию вместе с необходимыми для поступления... К вступительному испытанию по специальности поступающий готовит научный реферат. Научный реферат по специальности должен носить исследовательский... | Методические рекомендации для студентов фак нач образ. Пенза, 2004;... Основные учебники, учебные, учебно-методические пособия, опубликованные сотрудниками кафедры | ||
Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Учебно-методическое пособие предназначено для студентов очного и заочного отделений факультета начального и специального образования... | Реферат на тему: методики обучения игре на музыкальных инструментах Попытки «развить» какую-либо частную методику, как правило, происходят за счет переписывания основных идей или фрагментов из методических... |