Тематический план курса I. Целые рациональные уравнения. 21 Лекция «Целые рациональные уравнения»
Скачать 0.77 Mb.
|
Теперь рассмотрим возвратное уравнение четвертой степениax4+bx3+cx2+bx+a=o. Так как a≠0, то x=0 не является корнем этого уравнения. Поэтому, если разделить обе части уравнения на x2, то получим равносильное уравнение: a(x2+ 2)+b(x+ )+c=0.Введем новую переменную y, положив y=x+ .Так как y2=(x+ )2=x2+ 2+2, то x2+ 2=y2-2. Следовательно, уравнение четвертой степени сводится к квадратному относительно y: a(y2-2)+bx+c=0. Решив уравнение, найдем его корни y1 и y2. Чтобы найти x, необходимо решить уравнение x+ =y1 и x+ =y2, после чего объединить их корни. Пример 3. Решить уравнение 6x4-35x3+62x2-35x+6=0. Так как мы имеем возвратное уравнение четвертой степени, то разделим левую и правую его части на x2 почленно, получим 6x2-35x+62- + 2=0, 6·(x2+ 2)-35·(x+ )+62=0. Введем новую переменную, обозначив x+ =y, тогда y2=(x+ )2=x2+2+ 2, x2+ 2=y2-2. Сделав замену, получим уравнение 6(y2-2)-35y+62=0, 6y2-35y+50=0, D=1225-1200=25, D>0, y1= и y2= . Чтобы найти корни исходного уравнения, надо решить уравнения x+ = и x+ = . После преобразований получим два квадратных уравнения 2x2-5x+2=0 и 3x2-10x+3=0. D=25-16=9, D>0, D=100-36=64, D>0, x1= , x1= , x2=2. x2=3. Ответ: 2; ; 3; . Пример 4. Решить уравнение x4-5x3+4x2+5x+1=0. Нам дано возвратное уравнение четвертой степени, поделим почленно на x2, получим x2-5x+4+ + 2=0, (x2- 2)-5·(x- )+4=0. Обозначим y= x- , тогда y2=(x- )2= x2+ 2-2, поэтому x2+ 2=y2+2. Введя в данное уравнение подстановку, получим квадратное уравнение y2+2-5y+4=0, y2-5y+6=0, D=25-24=1, D>0, y1=2, y2=3. Осталось решить два уравнения x- =2 и x- =3. x2-2x-1=0 и x2-3x-1=0, D=4+4=8, D>0, D=9+8=17, D>0, x1=1- , x3=1,5+0,5 , x2=1+ . x4=1,5-0,5 . Ответ: x1=1- ; x2=1+ ; x3=1,5+0,5 ; x4=1,5-0,5 . Пример 5. Решить уравнение. 2x5+3x4-5x3-5x2+3x+2=0. Данное уравнение является возвратным уравнением пятой степени, а значит, как и уравнение третьей степени имеет корень x=-1.
23-5-532 -121-6120 Тогда числа из второй строки являются коэффициентами уравнения четвертой степени 2x4+x3-6x2+x+2=0, а оно является возвратным, поэтому решаем его по известному алгоритму для возвратных уравнений четвертой степени: Поделим почленно на x2 и сгруппируем: 2x2+x-6+ + 2=0, 2(x2+ 2)+(x+ )-6=0. Пусть y=x+ , тогда x2+ 2=y2-2. Введем новую перемену в уравнение 2(y2-2)+y-6=0, 2y2+y-10=0, D=1+80=81, D>0, y1=- и y2=2. Возвращаясь к подстановке, получим два уравнения x+ =- и x+ =2, 2x2+5x+2=0, x2-2x+1=0, D=25-16=9, D>0, (x-1)2=0, x1=-2 и x2=- x3=1. Ответ: x1=-2, x2=- , x3=1, x4=-1. Аналогичным способом можно решить уравнение вида ax4+bx3+cx2+kbx+k2a=0, где k≠0 число. Такие уравнения называют обобщенными возвратными уравнениями четвертой степени. Упрощается такое уравнение с помощью подстановки y=x+ . Пример 6. Решить уравнение 3x4-5x3-30x2-10x+12=0. Это уравнение является обобщенным возвратным, так как оно имеет вид 3x4-5x3-30x2+2·(-5x)+22·3=0, где k=2. Разделим обе части уравнения на x2. Это можно сделать, не нарушая равносильности уравнения, так как x=0 не является корнем уравнения. Получим 3x2-5x-30- + 2=0, 3(x2+ 2)-5(x+ )-30=0. Введем новую переменную, обозначив за y= x+ . Тогда y2=( x+ )2= x2+ 2+4, x2+ 2=y2-4. Проведя замену переменной, получим уравнение 3(y2-4)-5y-30=0, 3y2-5y-42=0, D=25+504=529, D>0, y1=-3 и y2= . В результате получили совокупность двух уравнений x+ =-3 x+ = . Решив эти уравнения, получим x2+3x+2=0, и 3x2-14x+6=0, D=9-8=1, D>0, D=196-72=124, D>0, x1=-2 и x2=-1 x3= и Ответ: -2, -1, , x4= Пример 7. Решить уравнение 3x4-2x3-31x2+10x+75=0. Это уравнение является обобщенным возвратным уравнением четвертой степени с k=5, поэтому, поделив на x2 получим 3x2-2x-31+ + 2=0, 3(x2+ 2)-2(x- )-31=0. Обозначим через y= x- , тогда y2= x2+ 2-10, x2+ 2=y2+10. Подставив новую переменную, получим 3(y2+10)-2y-31=0, 3y2-2y-1=0, D=4+12=16, D>0, y1=- , y2=1. Таким образом, осталось решить два уравнения x- =- и x- =1. Находим, что 3x2+x-15=0, D=1+120=121, D>0, x1=-2 и x2= x2-x-5=0, D=1+20=21, D>0, x3,4=0,5 0,5 Ответ: x1=-2, x2= x3,4=0,5 0,5 . Пример 8. Решить уравнение 5x+ =2x2+ 2+4. Преобразуем уравнение 5(x+ )-2(x2+ 2)-4=0. Теперь видно, что если обозначить за y= x+ , то y2=(x+ )2= x2+ 2+2x = x2+ 2+1, поэтому x2+ 2=y2-1. Получим 5y-2(y2-1)-4=0, 2y2-5y+2=0, D=25-16=9, D>0, y1= и y2=2. Остается решить совокупность двух уравнений 2x2-x+1=0 D=1-8=-7, D<0, нет корней и 2x2-4x+1=0, D=16-8=8, D>0, x1=1-0,5 ; x2=1+0,5 . Пример 9. Решить уравнение. 2x8-9x7+20x6-33x5+46x4-66x3+80x2-72x+32=0. Перепишем это уравнение в следующем виде: 2x8-9x7+20x6-33x5+46x4-33·2x3+20·22x2-9·23x+2·24=0. Отсюда видно, что оно является возвратным. Разделим почленно на x4. Получим следующее уравнение: 2(x4- 4)-9(x3+ 3)+20(x2+ 2)-33(x+ )+46=0. Пусть y= x+ , тогда y2= x2+ 2+4, x2+ 2=y2-4; y3=x3+ 3+3x2· +3·x· 2=x3+ 3+6x+ = x3+ 3+6(x+ ), x3+ 3=y3-6y; y4=x4+4x3· +6x2· 2+4x· 3+ 4=x4+ 4+8x2+ 2+24= =x4+ 4+8(x2+ 2)+24, x4+ 4=y4-24-8(y2-4)=y4-8y2+8. Ведем в уравнение новую переменную: 2(y4-8y2+8)-9(y3-6y)+20(y2-4)-33y+46=0, 2y4-16y2+16-9y3+54y+20y2-80-33y+46=0, 2y4-9y3+4y2+21y-18=0. Согласно теоремы Безу, если это уравнение имеет рациональные корни, то их надо искать среди чисел 1, 2, 3, 6, 9, 18, , , . Воспользуемся схемой Горнера: 2-9421-18 12-7-3180 22-3-90 т. о., мы нашли число y1=1, y2=2. Остается решить квадратное уравнение 2y2-3y-9=0, D=9+72=81, y1= и y2=3. Возвращаемся к подстановке и решаем четыре уравнения: x+ =1, x+ =2, x+ = , x+ =3. Находим, что первое, второе и четвертое уравнения не имеют корней, а из третьего x1=1, x2=2. Ответ: x1=1, x2=2. Задачи для самостоятельного решения: Решить уравнения:
Найти наибольший корень уравнения
3.3. Решение однородных уравнений. Уравнение вида p(x; y)=0 называется однородным уравнением степени x и y, если p(x; y)-однородный многочлен степени n, т.е. степень каждого его члена равна одному и тому же числу n. Например, однородное уравнение третьей степени относительно x и y имеет вид: a0x3+a1x2y+a2xy2+a3y3=0. Аналогичный вид имеет однородное уравнение четвертой степени a0x4+a1x3y+a2x2y2+a3xy3+a4y4=0. Пример 1. Рассмотрим уравнение (x2-x+1)3+2x4(x2-x+1)-3x6=0. Если разбить скобки и привести подобные, то получим уравнение пятой степени стандартного вида. Но если ввести новые переменные u=(x2-x+1) и v=x2, то получим уравнение u3+2v2u-3v3=0, являющееся однородным уравнением третьей степени относительно переменных u, v. Однородное уравнение относительно u и v обладает тем свойством, что если разделить все члены уравнения на наивысшую степень одной из переменных, например v (если v=0 не является корнем уравнения), то оно превратится в уравнение с одной переменной y= . Например, уравнение a0u3+a1u2v+a2uv2+a3v3=0 после деления на v3 принимает вид: a0( )3+a1( )2+a2( )+a3=0, или при условии что y= , a0y3+a1y2+a2y+a3=0. Решим уравнение (x2-x+1)3+2x4(x2-x+1)-3x6=0. Видим, что это уравнение однородное относительно переменных u=(x2-x+1) и v=x2 третьей степени. Проверив, что x=0 не является корнем данного уравнения, разделим его почленно на v3=x6. Получим уравнение . Положив решим уравнение y-1=0 или y2+y+3=0, y=1 D=1-12=-11, D<0, нет корней. Поэтому уравнение имеет единственный корень y=1. Значит Пример 2. Решить уравнение (x-1)4+9(x+1)4=10(x2-1)2. Если раскрыть скобки и привести подобные, то получится уравнение четвертой степени. Попробуем решить его способом введения новых переменных. Пусть u=(x-1)2, v=(x+1)2. Уравнение примет вид u2+9v2=10uv. Это уравнение однородное второй степени и после деления на v2 оно примет вид Если обозначить то получим уравнение его корни y1=1 и y2=9. Осталось решить уравнения: и а это значит и или и или первое уравнение не имеет корней, а из остальных получаем, что Ответ: x1=0, x2=-2, x3=-0,5. Пример 3. Решить уравнение . Это однородное уравнение относительно переменных u=x2+6x+1 и v=x2+1, тогда после замены получим уравнение 2u2+5uv+2v2=0. Так как v=0 не является корнем этого уравнения, то можно почленно поделить на v2, тогда и обозначив за получим квадратное уравнение 2y2+5y+2=0. Его корнями являются и Осталось решить совокупность уравнений: или Ответ: Пример 4. Решить уравнение 2(x2+x+1)2-7(x-1)2=13(x3-1). Это однородное уравнение второй степени относительно переменных u=(x2+x+1) и v=(x-1), так как 2(x2+x+1)2-7(x-1)2-13(x-1)(x2+x+1)=0. Тогда получаем 2u2-7v2-13uv=0. Выполнив почленное деление на v2 и введя обозначение для , получим уравнение 2y2-13y-7=0, D=169+56=225, y1=7, Вернемся к подстановке и решим уравнения и и , а значит и уравнения x2+x+1=7 и x-1=7 или x2+x+1=-0,5 и x-1=-0,5. Получаем Ответ: -3; 2; 8 и Пример 5. Решить уравнение (x2-x+1)4-6x2(x2-x+1)2+5x4=0. Это уравнение является однородным относительно функций u=x2-x+1 и v=x. Так как ноль не является корнем уравнения, то разделим на x4 и введем подстановку, получим и получим уравнение t2-6t+5=0, D=36-20=16, D>0, t1=1 и t2=5. Отсюда получим и Поэтому или и или Решив эти уравнения, найдем Ответ: и . Задачи для самостоятельного решения Решить уравнение:
Темы рефератов:
|
Похожие:
 | I. Целые рациональные уравнения и их корни Уравнение f(X)=φ(X), где функции f(X) и φ(X) заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Учитель: Расположите карточки в той последовательности, в которой изучались эти темы: дробные рациональные уравнения, квадратные... |
| 1Натуральные числа 1,2,3,4, счёт предметов, указание порядкового... Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N 0) m и n- взаимно простые целые числа. Иррациональные... |  | 1. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (6 ч) Представление... Курс рассчитан на учащихся 11 классов общеобразовательной школы и предполагает совершенствование подготов ки школьников по освоению... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Целые и рациональные выражения; все арифметические действия с дробями; формулы сокращенного умножения | | Учебные и образовательные программы на cd и dvd дисках Математика. Часть Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические уравнения и неравенства. Прогрессия, планиметрия,... |
| Тема: «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы» Элективный курс профильного обучения посвящен одному из традиционных разделов элементарной математики: решению рациональных и иррациональных... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... За основу программы курса взята программа «Дробно-рациональные уравнения: основные методы и приемы решения» авторов И. А. Макарьиной,... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Здравствуйте, дети! Тема нашего сегодняшнего занятия «Рациональные уравнения». Сегодня мы узнаем, чем они отличаются от уже знакомых... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: сформировать у учащихся понятия: «уравнение», «линейное уравнение», «корень уравнения», «равносильные уравнения», «одз уравнения»;... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения», урок №1 темы «Квадратные уравнения» | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Рациональные числа и действия над ними». В программе вечера спектакль «Рациональные числа в театре Буратино», состоящий из 6 сцен.... |
| "Ионные уравнения" Основные понятия темы: реакции ионного обмена, ионные реакции, ионные уравнения, молекулярные уравнения реакций, полные и сокращённые... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях линейные однородные уравнения n-го порядка Линейные неоднородные уравнения... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Обучающая – ввести понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; показать решения квадратных уравнений; формировать... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: ввести понятия квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения; познакомить учащихся с неполными квадратными... |
