Тематический план курса I. Целые рациональные уравнения. 21 Лекция «Целые рациональные уравнения»
Скачать 0.77 Mb.
|
| IV. Решение дробных рациональных уравнений. Рациональным уравнением называют уравнение, у которого левая и правая части являются рациональными выражениями. Если левая и правая части рационального уравнения являются дробными выражениями, то такое уравнение называется дробно-рациональным уравнением. Дробно-рациональное уравнение можно представить в виде , где P(x) и Q(x) многочлены. Уравнению удовлетворяют те и только те значения x, при которых P(x)=0 и Q(x)≠0. Поэтому уравнение равносильно системе Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно привести его к виду , затем решить уравнение P(x)=0 и из его корней исключить те, при которых Q(x)=0. При решении дробно-рациональных уравнений мы используем также оба метода: и разложения на множители, и метод введения новой переменной. Пример 1. Решим уравнение Имеем Общий знаменатель (x-3)(x2+3x+2); приведем к нему уравнение 35=4(x2+3x+2)+(x-3)(3x-1), 7x2+2x-24=0, D=169, x1=-2, При x=-2 общий знаменатель (x-3)(x2+3x+2)=(-2-3)(4-6+2)=0. Значит, число -2 не является корнем исходного уравнения. При выражение (x-3)(x2+3x+2) не равно нулю. Значит число корень уравнения.Ответ: . Пример 2. Решить уравнение . Если обозначить то получим уравнение которое является однородным уравнением второй степени. Так как x=1 не является корнем исходного уравнения, значит v≠0 и поэтому мы можем обе части уравнения разделить на v2, не нарушив при этом равносильности уравнения. Выполнив деление, получим уравнение Решив его относительно , найдем, что или Так как то имеем совокупность двух уравнений , каждое из которых является дробно-рациональным. Из первого уравнения получаем, что а из второго - Так как каждое из найденных чисел отлично от -2 и 2, поэтому они являются корнями данного уравнения. Ответ: Пример 3. Решить уравнение . Легко проверить, что число ноль не является корнем уравнения. Разделим числитель и знаменатель дроби, расположенной в левой части уравнения, на x2. Получим уравнение, равносильное данному Обозначив Отсюда Имеем совокупность двух уравнений и Решив эти уравнения, найдем все корни исходного уравнения и Ответ: Пример 4. Решить уравнение Выделим в числителе каждой дроби квадрат двучлена: и исключим из каждой дроби целую часть: Выполним упрощение и представим уравнение в виде Отсюда Так как x1 и x2 отличны от чисел -1; -2; -3; -4, то они являются корнями данного уравнения. Ответ: 0 и -2,5. Пример 5. Решить уравнение Сложив попарно дроби: первую и последнюю, вторую и третью, получим: Числа x1, x2, x3 отличны от чисел 1, 2, 3, 4, поэтому являются корнями исходного уравнения. Ответ: 2,5; Пример 6. Решить уравнение . Так как дробь при x=-1 равна 1, то -1 – корень уравнения. Приведем уравнение к целому виду, получим 2x3-5x2-5x+2=0 – возвратное уравнение третьей степени, поэтому 2(x3+1)-5x(x+1)=0, (x+1)(2x2-2x+2-5x)=0, (x+1)(2x2-7x+2)=0, x+1=0 или x1=-1. Ответ: -1; Пример 7. Решить уравнение Разложим знаменатели каждой дроби на множители, получим Сложив попарно дроби первую с последней и вторую с третьей, получим Отсюда (40x-90)(x+3)(x-3)(x-1)+(12x-90)(x+1)(x-3)(x+3)=0, (x+3)(x-3)((40x-90)(x-1)+(12x-90)(x+1))=0, (x+3)(x-3)(40x2-90x-40x+90+12x2-90x+12x-90)=0, x+3=0, x-3=0 или 52x2-208x=0 x1=-3, x2=3, x3=0, x4=4. Числа 3 и -3 обращают общий знаменатель в ноль, поэтому они не являются корнями уравнения. При x=0 или x=4 знаменатель не равен нулю, поэтому числа 0 и 4 – корни уравнения. Ответ: 0; 4. Пример 8. Решить уравнения Сложим дроби первую и четвертую, вторую и третью в левой части уравнения: Введем новую переменную, обозначив t=x2+16x, тогда выполним тождественные преобразования и приведем уравнение к целому 7t2+821t+23980=0, Возвращаясь к подстановке, нужно решить уравнения и Первое уравнение дает корни x1=-11 и x2= -5, а второе уравнение не имеет корней. Так как числа -5 и -10 не обращают знаменатели исходного уравнения в ноль, то являются его корнями. Ответ: -5; -10. Пример 9. Решить уравнение . Обозначим т.е. Введем новую переменную в уравнение: или Вернемся к подстановке и решим уравнения: нет корней, Ответ: и Пример 10. Решить уравнение ( Преобразуем каждый множитель левой части уравнения в дробь и вынесем общие множители за скобку: нет корней. Ответ: Задачи для самостоятельного решения. V.Итоговая контрольная работа. (рассчитана на 2 часа и проводится в форме дискуссии за круглым столом) 1. Найдите целые корни уравнения: 2. Решите уравнение, разложив на множители методом неопределенных коэффициентов: 3) Найдите действительные корни уравнения. При этом используйте различные методы решения. Наивысшее количество баллов получит тот, кто предложит больше возможных способов решения каждого из предложенных уравнений. a) б) в) г) д) е) ж) з) и) Учебно-методическое обеспечение курса Литература для учащихся: Башмаков И. Г., Диофант и диофантовы уравнения, М: Наука, 1972. Башмаков И. Г., Диофант и Ферма, историко-математические исследования, выпуск №17, М: Наука, 1966. Белл Э. Т., Творцы математики, М: Просвещение, 1979. Бурбаки Н., Очерки по истории математики, перевод Башмаковой И. Г., под редакцией Рыбникова К. А., М, 1963. Веселовский И. Н., Христиан Гюйгенс, М, 1959. Вилейтнер Г., Хрестоматия по истории математики, перевод Юшкевича П. С. и Юшкевича А. П.,М-Л, 1935. Виленкин Н. Я., Алгебра для 8 класса, М: Просвещение, 1995. Виленкин Н. Я., Алгебра для 9 класса, М: Просвещение, 1996. Виленкин Н. Я., Алгебра и математический анализ для 10 класса, М: Просвещение, 1992. Ван-дер-Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, перевод Веселовского И. Н., Физматгиз, 1959. Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф., За страницами учебника математики 10-11, М: Просвещение, 1996. Галицкий М. Г., Гольдман А. М., Звавич Л. И., Сборник задач по алгебре для 8-9 классов, М: Просвещение, 1995. Гиндикин С. Г., Рассказы о физиках и математиках, М: Наука, 1982. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А., Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы, 11 класс, М: Дрофа, 2000. Зимина М. Н., «Эта разноликая теорема Виета», журнал «Математика в школе» №2-3, 1992. Иванов К. Б., Сборник задач для старшеклассников, Волгоград, 2000. Ивлев Б. М., Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: учебное пособие для 10-11 классов средней школы, М: Просвещение, 1990. Калужнин Л. А., Сущанский В. И., Преобразования и перестановки, М: Наука, 1979. Кордемский Б. А., Великие жизни в математике, Киев «Наукова думка», 1960. Кузнецова Л. В., Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы, 9 класс, М: Дрофа, 2002. Кышпан Ф., История числа π, М: Наука, 1971. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Алгебра: дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса, М: Просвещение, 1998. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Алгебра: дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса, М: Просвещение, 2000. Минковский В. Л., За страницами учебника математики, М: Просвещение, 1960. Перельман Я. И., Занимательная алгебра, М: Наука, 1978. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы, под редакцией Сканави М. И., Ташкент, 1992. Хрестоматия по истории математики, под редакцией Юшкевича А. П., М: Просвещение, 1976. Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века, перевод Юшкевича П., ГОНТИ, 1938. Чистякова В. Д., Рассказы о математике, Киев «Наукова думка», 1960. Шепелева З. В., Шепелев М. Н., «Франсуа Виет», журнал «Математика в школе», №4-5, 1992. Яковлев А. Я., Леонард Эйлер, М: Просвещение, 1983. Литература для учителя: Башмаков М. И., Уравнения и неравенства, М: Наука, 1976. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд, Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Методические рекомендации и дидактические материалы. Пособие для учителя, М: Просвещение, 1990. Звавич Л. И., Аверьянов Д. И., Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе. Пособие для учителя, М: Просвещение, 1996. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина М. В., Алгебра и начала анализа 8-11. Дидактические материалы, М: Дрофа, 1999. Кушнир И., Шедевры школьной математики, Киев: Астарта, 1995. Леонтьева М. П., Самостоятельные работы на уроках алгебры, М: Просвещение, 1978. |
Похожие:
 | I. Целые рациональные уравнения и их корни Уравнение f(X)=φ(X), где функции f(X) и φ(X) заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Учитель: Расположите карточки в той последовательности, в которой изучались эти темы: дробные рациональные уравнения, квадратные... |
| 1Натуральные числа 1,2,3,4, счёт предметов, указание порядкового... Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N 0) m и n- взаимно простые целые числа. Иррациональные... |  | 1. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (6 ч) Представление... Курс рассчитан на учащихся 11 классов общеобразовательной школы и предполагает совершенствование подготов ки школьников по освоению... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Целые и рациональные выражения; все арифметические действия с дробями; формулы сокращенного умножения | | Учебные и образовательные программы на cd и dvd дисках Математика. Часть Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические уравнения и неравенства. Прогрессия, планиметрия,... |
| Тема: «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы» Элективный курс профильного обучения посвящен одному из традиционных разделов элементарной математики: решению рациональных и иррациональных... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... За основу программы курса взята программа «Дробно-рациональные уравнения: основные методы и приемы решения» авторов И. А. Макарьиной,... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Здравствуйте, дети! Тема нашего сегодняшнего занятия «Рациональные уравнения». Сегодня мы узнаем, чем они отличаются от уже знакомых... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: сформировать у учащихся понятия: «уравнение», «линейное уравнение», «корень уравнения», «равносильные уравнения», «одз уравнения»;... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения», урок №1 темы «Квадратные уравнения» | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Рациональные числа и действия над ними». В программе вечера спектакль «Рациональные числа в театре Буратино», состоящий из 6 сцен.... |
| "Ионные уравнения" Основные понятия темы: реакции ионного обмена, ионные реакции, ионные уравнения, молекулярные уравнения реакций, полные и сокращённые... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях линейные однородные уравнения n-го порядка Линейные неоднородные уравнения... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Обучающая – ввести понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; показать решения квадратных уравнений; формировать... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: ввести понятия квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения; познакомить учащихся с неполными квадратными... |
