Программа элективного курса по математике «Текстовые задачи с параметрами»
Скачать 265.05 Kb.
|
1.Введение параметра.1.1.Текстовые задачи, мотивирующие введение параметра. Задача1.Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, вышел пароход, проходящий 10 км в час. Через два часа выяснилось, что на пароход до прибытия его в пункт В нужно передать приказ. Приказ можно передать только на катере, проходящем 12,5 км в час. Сможет ли этот катер догнать пароход до прибытия последнего в пункт В? (Решение показывает, что катер не догонит пароход) 1а. Сохраняя условия первой задачи, найти, какова должна быть скорость катера, чтобы он вообще мог догнать пароход до прибытия его в пункт В? (решение показывает, что скорость катера должна быть больше16 ,3 км в час). 1б. Сохраняя условия первой задачи, рассчитать, с какой скоростью должен двигаться катер, чтобы догнать пароход на расстоянии 9/10 пути от А к В? (скорость 18 км в час) 1в. Сохраняя условие первой задачи, обозначить скорость катера буквой. Найти такие значения буквы, чтобы задача имела решение. Задача 2. Если на каждую скамью в парке посадить по пять человек, то четверо останутся без места. А если на каждую скамью посадить по три человека, то останутся два свободных места. Сколько в парке было человек и сколько скамей? (Задача не имеет решения, так как уравнение имеет отрицательные корни) 2а. Как надо изменить данные задачи, чтобы она имела решение? ( Вместо числа три поставить шесть). Задача 3. Рабочая бригада, состоящая из 20 человек (взрослых и подростков), устроила сбор денег на покупку газет, причем каждый взрослый внес по 3 рубля, а каждый подросток по 1 рублю. Сколько было в этой бригаде взрослых и сколько подростков, если весь сбор составил 35 рублей? ( Уравнение, составленное по условию задачи, имеет решение, сама задача не имеет решения). 3а. Сохраняя условие задачи, число 20 замените буквой а. Найдите для а такие значения, чтобы задача имела решение. Задача 4. Две бригады школьников получили за работу 12 долларов. Каждый школьник первой бригады получил 7 долларов, а второй бригады 5 долларов. Во второй бригаде на три школьника больше, чем в первой. Сколько было школьников в каждой бригаде? ( Задача не имеет решения, так как корень уравнения дробное число). 4а. Каким числом следует заменить в условии задачи число три, показывающее, насколько больше было школьников во второй бригаде, чем в первой, чтобы задача имела решение? Прогнозируемый вывод, вытекающий из решения задач. В каждой из решенных задач одна величина была выражена не числом, а буквой, называемой параметром, благодаря чему соответствующие уравнения имели буквенные коэффициенты. Выяснилось, что хотя эти уравнения и имели решения, но не при всяком значении параметра сама задача имела решение. Чтобы найти допустимые для задачи числовые значения параметра, велись специальные рассуждения. Совокупность подобных рассуждений и составляет то, что принято называть исследованием уравнения. Итак, исследовать уравнение - это, найти множество всех тех значений параметров, при которых решение уравнения принадлежат множеству допустимых его значений. Ввести определение параметра. 1.2 Что такое параметр? Параметр рассматривается как число, значение которого фиксировано, но неизвестно человеку, решающему задачу. Фиксированность этого числа позволяет оперировать с ним как с неизвестным числом, а неизвестность вносит в решение задачи некоторые осложнения, связанные с тем, что не любую операцию можно проделать с любым числом - не из всякого числа можно извлечь квадратный корень, не на любое число можно поделить… Неизвестность для решающего фиксированных значений параметров приводит к необходимости разветвления решения и к соответствующему разветвлению ответа. Это обстоятельство осложняет задачу, но преодоление возникающих трудностей является развивающим моментом, активизирующим знания учащихся о функциях, об области определения, о выполнимости операций над числами.(Г.В. Дорофеев. О задачах с параметрами / Математика в школе. -1983. -№4). Переменные a, b, c,….k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. Параметры обозначают буквами латинского алфавита, неизвестные - буквами x, y, z. Решить уравнение с параметром - значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. (Г.А. Ястребинецкий. Задачи с параметрами. Изд. Просвещение. - 1986) Решить уравнение с параметром - это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если они существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет. (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под. ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2008) 2. Уравнения первой степени с одним неизвестным. 2.1.Линейные уравнения с параметрами. Уравнения с параметрами, сводимые к линейным уравнениям. 1.Решите уравнение: а) ах = а. б) (а²- 4)х = а²+ а - 6. в) а /(х-2) =1. г) х / (х+1) =а. д) bх-3х = b³-3b²+4b-12. е) 2а(а-2)х = а-2. 2. Может ли корень уравнения 3(х-4) –b = х -11 являться положительным числом? При каком условии? 3.Существуют ли такие значения а, что: а) уравнение (а²+а-2)х = а –1 не имеет корней; б) корнем этого уравнения является любое число. 4.При каком значении а, уравнение (а²-4)х = а-2 не имеет корней, имеет бесконечно много корней? 5.При каких значениях b уравнение b(x-3) = 6 –2x имеет бесконечное множество корней? 6.При каких значениях параметра а, уравнение (а+3)х = а+1 а) имеет корень равный 5? б) не имеет корней? 7.Найдите все значения а, для которых, хотя бы при одном значении х из промежутка (-2;3], значение выражения 2х - 3 равно значению выражения а +х. 8. Решите уравнение 2а -3х = 25 +2х. Найдите для а такие числовые значения, чтобы уравнение имело: а) корень, равный нулю; б) корень, равный 3; в) корень, равный –3; г) при каких значениях а, уравнение имеет положительный корень? 9.Решите уравнение 2(а-3х)+х = 4а -10(х- а)+24. Найдите, при каких значениях а, уравнение имеет: а) корень, равный нулю; б) корень, равный 12; в) корень, равный –12; г) имеет отрицательный корень. 10.Решите уравнение 10(х-2) = 17 +ах. Определите значения а, при которых уравнение: а) не имеет решения; б) имеет отрицательные решения; в) считая а целым числом, найдите все такие его значения, чтобы уравнение имело корнем натуральное число. 3. Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций. 3.1. Текстовые задачи на исследование линейных уравнений с параметрами. Задача 1. Сумма цифр двузначного числа равна а. Если в этом числе переставить цифры, то новое число будет больше искомого на 63. Найдите это число, определив все допустимые значения величины а. ( Задача имеет два решения: 18 и 29 – искомые числа). Задача 2. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если от искомого числа отнять число а, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число. Задача 3. В двузначном числе цифра единиц на а больше цифры десятков. Если увеличить в 7 раз число, выраженное цифрой его десятков, и то же самое сделать с цифрой его единиц, а затем к первому произведению приписать справа второе, то получится четырехзначное число, в 61 раз больше искомого. Найдите это число, определив все допустимые значения а. Задача 4. Для погрузки 185 одинаковых машин на завод было подано 30 вагонов двух типов. Вагоны одного типа вмещают по а машин каждый, другого типа по 4 машины. Сколько вагонов каждого типа было подано на завод? Определите допустимые значения и найдите все решения задачи, если известно, что никакой вагон не может вместить больше 20 машин каждый. Задача 5. Для погрузки m одинаковых машин на завод был подан подвижный состав в 30 товарных вагонов двух типов. Вагоны одного типа вмещают по а машин, вагоны второго типа – по 4 машины каждый. Сколько вагонов каждого типа было подано под погрузку машин? Найдите для величин m и a такие числовые значения, при которых задача имеет решение неопределенного характера и истолковать его. Задача 6. Две бригады рабочих заработали 900000 рублей. Каждый рабочий одной бригады получил по 35000 рублей, а другой по 25000 рублей. Сколько рабочих было в каждой бригаде, если в одной из них было на а человек больше, чем в другой? Определите допустимые значения величины а и найдите все решения задачи. Задача 7.Отцу 45 лет, сын моложе его на а лет. Сколько лет назад отец был или через сколько лет он будет в 8 раз старше сына, если известно, что каждый год день рождения они праздновали одновременно. Определите допустимые значения величины а и найдите все решения задачи, если искомое число целое и а>18. Задача 8. Брат и сестра копили деньги на покупку книг. Один из них ежедневно откладывал в копилку на m гривенников больше другого. Известно, что таким путем брат откладывал в день по одному рублю. К первому июля в копилке брата было 7 рублей, а в копилке сестры 6m гривенников. К какому числу брат собрал или соберет вдвое больше, чем сестра? Задача 9.По какому одинаковому числу надо прибавить к числителю и знаменателю дроби ¾, чтобы она стала равной числу k ? Задача 10. Отцу а лет. Сын на n лет моложе. Через сколько лет отец был или будет в k раз старше сына? Задача 11. Охотник предложил своему сыну стрелять в цель на следующих условиях: за каждое попадание он платит ему по 50 руб., а за неудачный выстрел удерживает с него 35 руб. Сделав n выстрелов, сын получил 425 рублей. Сколько удачных выстрелов он сделал, если известно, что была использована начатая пачка патронов, содержащая в запечатанном виде 25 штук? Задача 12. В школе два параллельных девятых класса с общим числом обучающихся в а человек. В начале года из класса с большим числом обучающихся перевели в другой класс двух человек, после чего в меньшем классе стало 8/9 того количества, что в большем. Сколько обучающихся было в каждом классе вначале, если предельная норма обучающихся для класса 30 человек. Задача 13. 335 дынь надо уложить в 34 ящика. Ящики двух размеров: малые и большие. Большие ящики вмещают а дынь, меньшие - 9 штук. Узнайте, сколько ящиков большого размера, а затем и меньшего размера следует взять для упаковки дынь. Задача 14. Если на каждую из скамеек в парке посадить по а человек, то четверо останутся без места, а если на каждую посадить по шесть человек, то на последней скамейке останется три незанятых места. Узнайте, сколько было скамеек и человек. Тема 4. Уравнения второй степени с одним неизвестным. 4.1 Исследование корней квадратного трехчлена в зависимости от параметров a, b, c. Расположение корней квадратного трехчлена. Примеры применения свойств квадратного трехчлена при решении задач. Квадратный трехчлен и параметр. 1.При каких значениях а, число 1 находится между корнями квадратного трехчлена х² + (а+1)х - а² 2.Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х² +ах +1 различны и лежат на отрезке [0;2]. 3.Существуют ли такие значения b, при которых квадратный трехчлен 2х² +bх –7 имеет два корня, один из которых является положительным, а другой – отрицательным? 4.2 Уравнения второй степени с одним неизвестным. 1.Решите уравнение (а-1)х² + 2(2а+1)х + (4а+3) =0. 2. Решите уравнение ах² + (а²-1)х + (а-1)² =0. 3.Решите уравнение х²-2px+p²-1=0. 4. При каких значениях k уравнение х²+kx+2=0 имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие. 5. Найдите все целые значения k, при которых уравнение kx² - 6x+k=0 имеет два корня? 6. При каком значении m уравнение x³ +6x²+mx=0 имеет два корня? Найдите эти корни. 7. При каких значениях c уравнение х²-18х+100 =с имеет корни? 8. При каких значениях параметра a оба корня уравнения 2х²+(а+1)х+1-а² =0 равны нулю? 9. Определите все значения а, при которых уравнение 2ах²-4(а+1)х+4а+1=0 имеет один корень. 10. При каких значениях b уравнение х²+2(b+1)x+9=0 имеет два различных положительных корня? 11. При каких а уравнение х²-2ах+а²-а-6=0 имеет два различных корня одного знака? 12.При каких а уравнение х² -2ах+а²-а-6=0 имеет два различных отрицательных корня? 13. При каких значениях параметра n квадратное уравнение х² +2(n+1)x+9n-5=0 имеет два действительных отрицательных корня? 14. При каких значениях а, уравнение ах²+2(а-4)х+а+8=0 имеет действительные корни разных знаков? 15. При каких значениях а, уравнение (а-2)х² -2ах +а+3 =0 имеет два положительных корня? 16. При каких значениях k уравнение kx² +2kx+k-3 =0 имеет: а) действительные корни; б) оба положительные корни; в) оба отрицательные корни; г) корни разных знаков. 17. Найдите все значения а, при которых корень уравнения х² -3 = а- х принадлежит (0; 5]. 18.При каких значениях параметра а, число 2 находится между корнями квадратного уравнения x² +(4а + 5)x +3 – 2а =0 19. Уравнение ах² +8х+с = 0 имеет единственный корень, равный 1.Чему равны а и с? 20. В уравнении х² + ах +12 = 0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась 1. 21. При каких а уравнение х² - 2ах + а² - а –6 =0 имеет два разных корня одного знака? 22. При каких а уравнение х²-2ах +а² -а -6 = 0 имеет два разных отрицательных корня? 23.При каких значениях а, уравнение ах² +2(а - 4)х +а +8 =0 имеет действительные корни разных знаков? 24. При каких значениях а, уравнение (а -2)х² -2ах +а +3 =0 имеет два положительных корня? 25. Определить в уравнении х² -4ах +3а² =0 значения а так, чтобы корни этого уравнения были цифрами двузначного числа. Выписать все двузначные числа, удовлетворяющие этому условию. 26. При каких значениях а, корни уравнения х² -2ах + (а+1)(а -1) =0 принадлежат промежутку [-5;5]? 27. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х² +(2 -m) - m –3 =0 минимальна? Тема 5. Уравнения второй степени как математические модели реальных ситуаций. 5.1 Текстовые задачи на исследование уравнений второй степени с параметрами. 1.Некоторое двузначное число, у которого число десятков больше количества единиц, имеет своими цифрами корни уравнения 6х² +5ах +а² =0. Найдите это число, выбрав для а соответствующие числовые значения. 2.Двузначное число оканчивается цифрой а. Если это число помножить на число, выраженное цифрой его единиц, то полученное произведение будет в 7 раз больше разности квадратов его цифры десятков и цифры единиц. Найдите это число. 3. 15 литров молока разлито в несколько бидонов одинаковой емкости. Если это молоко разлить в бидоны, емкость каждого из которых на а литров меньше, то потребуется на а бидонов больше. Во сколько бидонов было разлито молоко? 4. Несколько человек должны были заплатить поровну всего 20 рублей. Если бы их было на n человек меньше, то каждому из них пришлось бы заплатить на 2n рублей больше. Сколько лиц должно уплатить требуемую сумму? 5. В книжном магазине на одной полке стояло несколько одинаковых томиков стихотворений Пушкина, а на другой полке такое же количество книжек с рассказами Гоголя. После того, как с первой сняли n книг, а на второй добавили столько же книжек с рассказами Гоголя, стоимость книг на каждой полке стала равной 60 рублям. Сколько книг первоначально было на каждой полке, если известно, что покупатель, взявший томик стихотворений Пушкина и книжку с рассказами Гоголя, заплатил 10 рублей. Число n считать меньшим 10. 6. В двузначном числе цифра десятков на а больше цифры его единиц. Сумма квадратов цифр числа равна 65. Найдите это число. 7. Из пункта А на берегу озера в пункт В, расположенный на берегу реки, впадающей в это озеро, вышел катер. Катер прибыл к месту назначения через m часов, пройдя по озеру а км, а по реке половину этого расстояния. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки с км в час. 8.В равностороннем треугольнике высота менее стороны на m. Найти сторону. 9. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v. Через сколько времени оно будет находиться на высоте h? 10. В данный квадрат, стороны которого а, вписать другой квадрат, стороны которого в. 11. Шофер должен был вывести на элеватор p тонн зерна. Выполнив половину задания, он приладил к своей машине прицеп, благодаря чему стал вывозить ежедневно зерна m тонн сверх плана. Таким образом, шофер выполнил положенное задание на k дней раньше срока. За сколько дней по плану шофер должен был вывести p тонн зерна? 12. Шоферу было дано задание вывести на сахарный завод а тонн свеклы. После того, как он выполнил 20% этого плана, он приладил к своей машине прицеп и стал вывозить в день m тонн свеклы дополнительно. В итоге шофер выполнил 120% плана и притом за k дней до срока. Сколько тонн свеклы вывозил шофер в день вначале и сколько потом? 13.Две автомашины выходят из двух городов, расстояние между которыми а км, и идут навстречу друг другу. Они встретятся на полпути, если одна из них выедет на t часов раньше другой. Если же они выедут одновременно, то через t часов расстояние между ними станет на b км меньше первоначального расстояния. |
Похожие:
 | Тесты по математике ( 4 класс) Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике.... | | Тестовые вопросы по Дискретной математике Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике.... |
| Контрольный (входной) тест по математике 7 класс. Класс Фамилия, имя Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике.... |  | Курс по выбору «Уравнения с параметрами» Программа курса «Уравнения с параметрами» предназначена для углубления знаний по математике и для ознакомления учащихся с методами... |
| Закрытых заданиях Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике.... | | Тема: «Повторение пройденного в 1-ом классе» Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике.... |
| Программа элективного курса уравнения и неравенства с параметрами... Нередко абитуриенты не могут справиться с простейшими задачами, содержащие параметры, хотя многие довольно сложные задачи без параметров... | | Демонстрационный вариант математика 4 класс При выполнении заданий... Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике.... |
| Программа элективного курса «Текстовые задачи легко!» для учащихся 9 класса Филиал моу «Ерышовская средняя общеобразовательная школа Ртищевского района Саратовской области» в с. Малиновка | | Пояснительная записка Учащиеся и их родители заинтересованы в получении,... Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике.... |
| Тесты для подготовки к гиа алгебра, геометрия, теория вероятностей... Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике.... | | Программа элективного курса по математике «Симметрия вокруг нас» «математического» курса было изменить отношение этих учащихся к математике. Для учащихся классов с углубленным изучением математики... |
| Рабочая программа факультатива по математике Тема: «Задачи и уравнения с параметрами» ... | | Программа элективного курса по математике в 9-м классе по теме: "Математические законы красоты" Программные задачи: Воспитывать чувство гордости за родную страну, которая стала первой в освоении космоса. Обогатить и расширить... |
| Программа элективного учебного предмета по математике «Учимся решать... | | Рабочая программа по элективному курсу «Нестандартные методы решения задач по математике» Данная рабочая программа элективного курса по математике в 9 классе составлена на основании следующих документов |
