Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы Задача Лагранжа с одним ограничением
Скачать 388.47 Kb.
|
5. Простейшие модели управления запасами.Рассмотренные ниже задачи связаны с оптимальным регулированием запасов. Эти задачи можно сформулировать следующим образом:
Задача исследования состоит в отыскании оптимального решения этих задач. Под оптимальным здесь понимается решение, минимизирующее сумму всех расходов, связанных с созданием запасов. Эти расходы бывают трех типов:
Все затраты могут оставаться постоянными или изменяться как функции времени (например, в зависимости от сезона может быть различным штраф за зависимость хранения единицы товара на складе). В задачах управления запасами учитывается также характеристики спроса и возможности пополнения запасов. Спрос может быть известным или неизвестным, постоянным или зависящем от времени. Величина, характеризующая спрос, может быть как дискретной (например, количество автомобилей), так и непрерывной. Спрос на запасенные товары может возникать в определенные моменты времени (спрос на мороженое на стадионе) или существовать постоянно (спрос на мороженное в большом аэропорту). Заказы на пополнение запасов в ряде случаев могут выполняться немедленно (например, при заказе молока в небольшом магазине). В других случаях выполнение заказа требует значительного времени. Заказы можно делать в любые или только в определенные моменты времени. Объем поступающий на склад продукции может измеряться дискретной или непрерывной и может быть как постоянным, так и переменным. Само поступление может быть дискретным и непрерывным и происходить равномерно или неравномерно. Примем следующие обозначения: q - объем заказа (при пополнении запасов); q0 - оптимальный размер заказа; t - интервал времени; ts - интервал времени между двумя заказами; tso - оптимальный интервал времени между заказами; T - период времени, для которого ищется оптимальная стратегия; R - полный спрос за время Т; C1 - стоимость хранения единицы продукции в единицу времени; C2 - величина штрафа за нехватку одной единицы продукции (в определенный момент времени). Cs - стоимость заказа ( при покупке или производстве), Cs - ожидаемые суммарные накладные расходы; Qo - минимум ожидаемых суммарных накладных расходов; So - оптимальный уровень запасов к началу некоторого интервала времени. Модель I. Пусть некий предприниматель должен поставлять своим клиентов R изделий равномерно в течение интервала времени Т. таким образом, спрос фиксирован и известен. Нехватка товара не допускается, т.е. штраф при неудовлетворенном спросе бесконечно велик (C2 =). Переменные затраты производства складываются из следующих элементов: C1 - стоимость хранения одного изделия (в единицу времени), C2 - стоимость запуска в производство одной партии изделий. Предприниматель должен решать, как часто ему следует организовывать выпуск партии и каким должен быть размер каждой партии. Уравнение цен и его аналитическое решение. Только что описанная ситуация представлена графически на рис.5. Пусть q -размер партии, ts - интервал времени между запусками в производство партии, а R - полный спрос за всё времени планирования T. Т  огда R/q – число партий за время Т и Если интервал ts начинается, когда на кладе имеется q изделий и заканчивается при.  отсутствии заказов, тогда q/2 – средний запас в течение ts (равенство q/2= qср следует рассматривать как приближенное. Точность его тем выше, чем больше R) q/2* C1 ts затраты на хранения в интервале ts. Общая стоимость создания запасов в интервале ts равна сумме стоимости запуска в производство Д  ля вычисления полной стоимости создания запасов за время Т следует эту величину умножить на общее число партий за это время: П   одставляя сюда выражение для ts, получаем и  ли Члены в правой части уравнений (44) представляют стоимость хранения и полную стоимость заказа в производстве всех партий. С увеличением размера партий первый член возрастает, а второй убывает. Решение задачи управления запасами и состоит в определении такого размера партии qo, при котором суммарная стоимость была бы наименьшей (рис. 6)  Найденное оптимальное значение qo размер партии  Д  ля оптимальных tsо и Qo имеем Пример I: Пусть предприниматель должен поставлять своему заказчику 24000 единиц продукции в год. Так как получаемая продукция используется непосредственно на сборочной линии и заказчик не имеет для нее специальных складов, поставщик должен единично отгружать дневную норму. В случаи нарушения поставок поставщик рискует потерять заказ. Поэтому нехватка продукции недопустима, т.е. штраф при нехватке можно бесконечным. Хранение единицы продукции в месяц стоит 0,1 долл. Стоимость запуска в производство одной партии продукции составляет 350 долл. Требуется определить оптимальный размер партии q0, оптимальный период и tsо вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат Qо. В данном случае Т = 12 месяцам, R = 24 000 единиц, Сs = 0,1 долл./партия Сs = 350 дол/партия. Подстановка этих значений в уравнения (9), (10) и (11) дает нам.  Модель II. Рассмотрим теперь случай, который отличается от предыдущего только тем, что превышение спроса над запасами уже допускается, т.е. штраф за нехватку конечный. Уравнение цен и его аналитическое решение. Рассматриваемая ситуация изображена на рис. 7. В начале каждого интервала имеется уровень запасов. Из подобия треугольников находим.  Средний запас в течении t1, равен S/2. Поэтому затраты на хранение за всё время t1  составляют S/2 * t1 С1. Средняя нехватка (превышение спроса над уровнем запасов) за врем t2 равна (q-S)/2, и штраф за время t2 равна (q – S)/2, и штраф за время t2 составляет ((q – S)/2)* Q2 t2 . Таким образом, ожидаемые суммарные расходы за всё время Т определяется следующим выражением:  Подставляя сюда найденные выше выражения для t1 и t2 учитывая полученное раннее выражение для ts, имеем  Из уравнения (12) можно найти оптимальные значения для q и S, при которых полные ожидаемый расходы будут минимальными. После дифференцирования уравнения (12) имеем:   .Приравнивая эти частные производные нулю и упрощая, получаем выражения,  Решая эту систему уравнений относительно S и q, находим  и, следовательно,  Что бы получить Qо, заменим, что  Поставляем (14) и (51) в (12), после упрощения получаем  При сравнении результатов, полученных для моделей I и II, можно заметить, что во первых уравнения (9), (10) и (11) можно получить из уравнения (13), (15), и (16), если в них устремиться С2 к бесконечности. Этот результат нельзя считать неожиданным, так как модель I есть частный случай модели II. Во – вторых, если С2 , то  Следовательно, ожидаемые суммарные расходы в модели II меньше, чем в модели I. Пример II: Пусть сохраняются все условия примера I, но только штраф С2 за нехватку теперь равен 0,2 долл. за одно изделие в месяц. И уравнения (13) – (16) получаем:  При оптимальной стратегии ожидаемый дефицит к концу каждого периода составлял бы 4578 – 3058 = 1522 изделия. |
Похожие:
 | Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий... Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума |  | Задача 1 22 Вариант 3 22 Задача 1 22 Вариант 4 23 Задача 1 23 Задача... «Менеджмент». Дисциплина реализуется кафедрой экономики и управления. Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций... |
| По Физике Механика от Аристотеля до Ньютона 2000-01 уч год. Основная часть По мере накопления знаний о мире задача их систематизации становилась всё более насущной. Эта задача была выполнена одним из величайших... | | 8. Законы сохранения в механике (от X. Гюйгенса до Ж. Л. Лагранжа) ... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ... | | Доктор фаустус Иными словами, посильна ли человеку моего склада эта задача, задача, на выполнение которой меня подвигло скорее сердце, нежели право... |
| Задача обучения математики До недавнего времени считалось, что главная задача школы состоит в том, чтобы дать каждому школьнику общей среднее образование в... | | Урока: комбинированный. Задача урока Задача урока: показать глубину трагедии русского народа, ввергнутого в братоубийственную войну, определить возможности выхода из... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Сегодня мы познакомимся с ещё одним рассказом Николая Николаевича Носова «Федина задача» | | Тема урока «Подобие треугольников. Решение практических задач» Дидактическая задача Дидактическая задача: Формирование универсальный учебных действий в условии решения практических задач |
| Задача педагогов Фармацевтический бизнес оказался одним из самых прибыльных. Очереди в поликлиники выстраиваются с самого утра. Всё это свидетельствует... | | Урок литературного чтения Тема: Н. Н. Носов. «Федина задача» Н. Н. Носова «Федина задача», исследовать творчество Н. Н. Носова, совершенствовать навыки выразительного чтения; формировать умение... |
| Реферат Задача иммунной системы состоит в том, чтобы поддержать наследственно... Стресс-индуцированное подавление клеточных иммунных реакций. Роль нейроэндокринного контроля иммунной системы | | Приветствуют учителя, отвечают на организационные вопросы. С целью Учебная задача: развитие речевых умений на основе творческого применения усвоенного ранее лексико-грамматического материала в новых... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Для учителя: мультимедийный комплекс, презентация к уроку, карточки с числами, ребус со словом «Задача», таблица «Задача. Составные... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... И задача духовно- нравственного воспитания заключается в формировании такой личности. Поэтому задача учителя сверхсложная: он должен... |
