Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы Задача Лагранжа с одним ограничением
Скачать 388.47 Kb.
|
9. Взаимные экстремальные задачиЗадачу Лагранжа с одним ограничением можно было бы записать в следующей форме: f(X) – c max при условии (41) h(X) = r. Вычитание константы с из целевой функции не изменяет положения оптимума. Лагранжиан этой задачи: L(X; l) = f(X) - с - l[h(X) - r], а условия оптимума имеют вид  Рассмотрим теперь задачу, в которой целевая и ограничивающая функции поменялись ролями: h(X) – r min при условии (43) f(X) = с. Для новой задачи лагранжиан равен L1(Х; ) = h(Х) - r - [f(X) - с], а условие оптимальности –  Задачи (41) и (43) называют взаимными по отношению друг к другу. Если, например, исходная задача состояла в максимизации полезности некоторого набора продуктов при заданном ресурсном ограничении, то взаимная задача состоит в минимизации расхода ресурса при обеспечении заданного уровня полезности. Сравнение равенств (42) и (43) показывает, что условия оптимальности у обеих задач одни и те же: достаточно положить = 1/, чтобы в этом убедиться. Если l - предельная полезность ресурса, то можно было бы назвать “предельной ресурсоемкостью полезности”. 10. Модель потребительского выбораПерейдем к рассмотрению рационального потребительского выбора в пространстве благ с теми же отношениями предпочтения. Введем в рассмотрение функцию полезности u(Х), согласованную с предпочтениями данного потребителя: u(Х) > u(у) тогда и только тогда, когда Х У. Функцию u(Х) будем считать непрерывно дифференцируемой. При этих допущениях моделью потребительского оптимума служит задача Лагранжа u(Х) max при условии рiхi = m, где рi - цена i - го блага, а m - денежный доход потребителя. Условия оптимальности имеют вид  Введем для удобства обозначение  и представим условия оптимальности в форме Формально эта система похожа на систему (39), описывающую оптимальность в задаче о рационе Робинзона. Но здесь имеются и существенные отличия. Во-первых, теперь мы отказались от предположения о суммируемости полезностей различных благ, и ui, - не производные полезностей отдельных благ, а лишь частные производные общей функции полезности. Во-вторых, u(Х) - это не полезность в некоторой абсолютной количественной шкале, а лишь функция, согласованная с предпочтениями и отражающая только порядковые отношения. Тем не менее, перечень аналогичных свойств можно продолжить. Для любой пары благ (i, j) в точке оптимума должны выполняться соотношения  Отметим, что выражение в левой части — это норма замещения i-го блага j-м при постоянстве объемов всех остальных благ: в пределах поверхности безразличия должно выполняться равенство  то есть  Как мы уже выяснили, значение множителя Лагранжа должно выражать предельную полезность лимитирующего ресурса, в данном случае - денежного дохода (или, проще, - предельную полезность денег). Но поскольку значения функции u(Х) не являются абсолютными значениями полезности, постольку и полная полезность денег  имеет смысл лишь по отношению к выбранной шкале полезностей. То же относится и к предельной полезности денег. Что произойдет, если функцию полезности u(Х) заменить равносильной ей функцией u*(Х)? Отношение предпочтения сохранится, если u*(Х) = (u(Х)), где (u) - монотонно возрастающая функция. Правило дифференцирования сложной функции позволяет утверждать, что  где '(u) - значение производной d (u)/du. Заметим, что множитель (u) является одним и тем же для всех благ. Поэтому условия оптимальности ui(Х) = lpi и ui(Х) = l рi определяют одно и то же положение потребительского оптимума в пространстве благ. Различаются лишь значения множителей Лагранжа: l = j'(u) l (47) К этому результату можно подойти с другой стороны. Задавшись некоторым значением m дохода, при использовании функций u(Х) и u*(Х) мы получим один и тот же оптимальный набор благ Х0 . Общая полезность денег в одной шкале примет значение U(m) = u(Х0), в другой  . Таким образом, при любом уровне доходаU'(m) = j(U(m)), (48) то есть общие полезности дохода в разных шкалах связаны между собой точно так же, как и полезности наборов благ. А так как множитель Лагранжа в рассматриваемой задаче - это предельная полезность денежного дохода, то, применяя к равенству (48) правило дифференцирования сложной функции, мы снова придем к равенству (47). Заметим, что оптимум потребителя не всегда может быть определен в рамках задачи Лагранжа. Множество допустимых решений ограничено не только бюджетом потребителя, но и условиями неотрицательности объемов благ:  Если на бюджетной поверхности норма замещения каких-либо двух благ всюду больше или всюду меньше отношения цен, то равенство (46) не может выполняться ни в одной точке. Задача не имеет внутреннего решения, а имеет угловое решение. В рамках задачи Лагранжа не могут быть описаны решения, которые лежат на границах области, определяемой неравенствами. 11. Лабораторные задачиЗадача 1: Некоторое торговое предприятие в течении промежутка времени Т собирается завести и реализовать некоторый товар R общим объёмом. Стоимость завоза одной партии равна Сs, а хранение обходится С1. Необходимо определить оптимальный размер поставки, чтобы суммарный, а так же количество поставок, интервал времени между поставками и минимальные суммарные издержки. Т.е. надо найти: qo, no, tso, Qo. Вариант 1. T = 24 R = 240000 Cs = 1000 C1 = 30 Вариант 2. T = 12 R = 15000 Cs = 800 C1 = 60 Вариант 3. T = 6 R = 9000 Cs = 450 C1 = 20 Вариант 4. T = 12 R = 9000 Cs = 1200 C1 = 40 Вариант 5. T = 8 R = 13000 Cs = 900 C1 = 46 Вариант 6. T = 3 R = 5000 Cs = 300 C1 = 15 Вариант 7. T = 12 R = 17000 Cs = 1400 C1 = 60 Вариант 8. T = 6 R = 9000 Cs = 1300 C1 = 30 Вариант 9. T = 24 R = 250000 Cs = 12000 C1 = 65 Вариант 10. T = 12 R = 10000 Cs = 3000 C1 = 35 Задача 2: Торговое предприятие намерено завести и реализовать товар n видов объемами соответственно Rn. Весь объем складских помещений составляет V. Стоимость хранения одной единицы товара равна C1n. Расходы по завозу Csn. При этом каждая из n единиц занимает Vn метров. Найти оптимальные размеры поставок каждого из видов товара. Вариант 1. n = 2 R1 = 32000, R2 = 30000; C11 = 9, C12 = 10; Cs1 = 1100, Cs2 = 1350; V1 = 2, V2 = 4; V = 20000; Вариант 2. n = 4 R1 = 4000, R2 = 2000, R3 = 5000, R4 = 5000; C11 = 6, C12 = 7, C13 = 9, C14= 12; Cs1 = 1100, Cs2 = 1000, Cs3 = 2000, Cs4 = 3000; V1 = 3, V2 = 5, V3 = 5, V3 = 8; V = 24000; Вариант 3. n = 2 R1 = 3500, R2 = 19000; C11 = 6, C12 = 5; Cs1 = 1900, Cs2 = 1200; V1 = 4, V2 = 5; V = 25000; Вариант 4. n = 3 R1 = 4000, R2 = 2000, R3 = 1000; C11 = 8, C12 = 8, C13 = 9; Cs1 = 200, Cs2 = 600, Cs3 = 200; V1 = 2, V2 = 5, V3 = 3; V = 9000; Вариант 5. n = 2 R1 = 4200, R2 = 2000; C11 = 6, C12 = 8; Cs1 = 1500, Cs2 = 1900; V1 = 3, V2 = 6; V = 15000; Вариант 6. n = 3 R1 = 24000, R2 = 19000, R3 = 20000; C11 = 6, C12 = 10, C13 = 10; Cs1 = 1900, Cs2 = 2000, Cs3 = 2000; V1 = 7, V2 = 5, V3 = 5; V = 30000; Вариант 7. n = 3 R1 = 32000, R2 = 5000, R3 = 21000; C11 = 8, C12 = 5, C13 = 10; Cs1 = 1800, Cs2 = 990, Cs3 = 1000; V1 = 4, V2 = 2, V3 = 3; V = 26000; Вариант 8. n = 2 R1 = 12500, R2 = 8200; C11 = 3, C12 = 8; Cs1 = 900, Cs2 = 1900; V1 = 3, V2 = 5; V = 15000; Вариант 9. n = 3 R1 = 32000, R2 = 44000, R3 = 20000; C11 = 8, C12 = 10, C13 = 15; Cs1 = 1500, Cs2 = 1900, Cs3 = 2500; V1 = 4, V2 = 6, V3 = 8; V = 20000; Вариант 10. n = 2 R1 = 26000, R2 = 17000; C11 = 6, C12 = 3; Cs1 = 2100, Cs2 = 1400; V1 = 6, V2 = 4; V = 23000. Список использованной литературы
|
Похожие:
 | Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий... Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума |  | Задача 1 22 Вариант 3 22 Задача 1 22 Вариант 4 23 Задача 1 23 Задача... «Менеджмент». Дисциплина реализуется кафедрой экономики и управления. Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций... |
| По Физике Механика от Аристотеля до Ньютона 2000-01 уч год. Основная часть По мере накопления знаний о мире задача их систематизации становилась всё более насущной. Эта задача была выполнена одним из величайших... | | 8. Законы сохранения в механике (от X. Гюйгенса до Ж. Л. Лагранжа) ... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ... | | Доктор фаустус Иными словами, посильна ли человеку моего склада эта задача, задача, на выполнение которой меня подвигло скорее сердце, нежели право... |
| Задача обучения математики До недавнего времени считалось, что главная задача школы состоит в том, чтобы дать каждому школьнику общей среднее образование в... | | Урока: комбинированный. Задача урока Задача урока: показать глубину трагедии русского народа, ввергнутого в братоубийственную войну, определить возможности выхода из... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Сегодня мы познакомимся с ещё одним рассказом Николая Николаевича Носова «Федина задача» | | Тема урока «Подобие треугольников. Решение практических задач» Дидактическая задача Дидактическая задача: Формирование универсальный учебных действий в условии решения практических задач |
| Задача педагогов Фармацевтический бизнес оказался одним из самых прибыльных. Очереди в поликлиники выстраиваются с самого утра. Всё это свидетельствует... | | Урок литературного чтения Тема: Н. Н. Носов. «Федина задача» Н. Н. Носова «Федина задача», исследовать творчество Н. Н. Носова, совершенствовать навыки выразительного чтения; формировать умение... |
| Реферат Задача иммунной системы состоит в том, чтобы поддержать наследственно... Стресс-индуцированное подавление клеточных иммунных реакций. Роль нейроэндокринного контроля иммунной системы | | Приветствуют учителя, отвечают на организационные вопросы. С целью Учебная задача: развитие речевых умений на основе творческого применения усвоенного ранее лексико-грамматического материала в новых... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Для учителя: мультимедийный комплекс, презентация к уроку, карточки с числами, ребус со словом «Задача», таблица «Задача. Составные... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... И задача духовно- нравственного воспитания заключается в формировании такой личности. Поэтому задача учителя сверхсложная: он должен... |
