Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы Задача Лагранжа с одним ограничением

8. Рацион Робинзона Обратимся теперь к задаче о потреблении примерно в таком виде, в каком ее ставил Госсен. Человек может потреблять блага n видов в количествах хi, i = 1, …, n. Общая полезность потребления i-того блага описывается функцией TUi(xi). Предельная полезность MUi(хi) = dTUi(хi)/dxi убывает с ростом хi - в этом состоит закон Госсена. Полезность потребления всех: благ суммируется по отдельным благам, так что Будем считать, опять-таки следуя Госсену, что потребительские возможности человека ограничены лишь временем, которое он может затачивать на добывание и потребление благ, как это имело место у Робинзона Крузо. Если на единицу i-того блага ему приходится тратить ti единиц времени, то ресурсное ограничение выражается равенством где Т — фонд времени, выделяемый на потребление благ. Задача рационального потребления теперь сводится к определению такого “рациона” - набора благ Х = (х1,…,хn), - который доставляет максимум TU(X) при ограничении (38). Лагранжиан этой задачи: . Условия оптимума выражается системой или Итак, предельные полезности различных благ в точке оптимума пропорциональны удельным затратам времени. Это значит, что для любой пары благ (i, j) отношение их предельных полезностей равно отношению удельных затрат времени: А отсюда следует, что дополнительная малая порция времени (скажем, минута), затрачиваемая на любое из благ, дает один и тот же прирост полезности. Величина этого прироста, определяется коэффициентом : если Робинзон сможет выделить на потребление благ дополнительно Т единиц времени, то общая полезность возрастет при этом на величину TU  T. (40) Заметим, что убывание предельной полезности гарантирует единственность оптимума. Если взять другие значения хi, (обозначим их хi'), также удовлетворяющие условиям, пропорциональности предельных полезностей удельным затратам времени: MUi(xi') = i' ti то либо ’  , тогда xi'  xi. для всех продуктов (предельная полезность убывает с ростом xi); либо ’ <  - для всех i. В первом случаи потребное количество времени меньше Т, во втором – больше, но ни в одном из них не ограничений будет выполнено. Попутно отметим следующее обстоятельство. Система уравнений (40) определяет наилучший набор благ при любом фиксированном количестве Т выделенного времени; с величиной Т связано лишь численное значение . Считая величину Т переменной, введем как в предыдущем пункте, функцию. которую можно трактовать как общую полезность времени. Это – “вторичная” полезность: её величина определяется максимальной полезностью набора благ, достижимой при данном количестве выделенного времени. Точный смысл приближенного равенства (31) состоит в том что то есть  - предельная полезность времени для Робинзона. Как мы только что видели, сравнивая  и ' для различных наборов благ, чем больше Т, тем меньше . Поскольку природа выделяемого ресурса несущественна, мы можем сделать следующий общий вывод: если предельная полезность каждого блага снижается с ростом объема его потребления, а затраты ресурса пропорциональны объему, то предельная полезность ресурса падает с увеличением количества используемого ресурса. Проиллюстрируем эти результаты числовым примером. Допустим, что Робинзон потребляет 3 вида благ, причем все частные функции полезности имеют один и тот же вид с различными коэффициентами ai. Он может выделить на потребление 15 часов в сутки; остальные данные приведены в таблице: t ai ti 1 50 1 2 100 2 3 50 2 Воспользуемся системой (30): Отсюда Подставим числовые значения известных параметров: Используем теперь ресурсное ограничение: откуда l = 200 / (15 + 5) = 10. Теперь найдем количество каждого блага: Остальные результаты расчета приведены в таблице: i xi tixi TUi 1 4 4 80,5 2 4 8 160,9 3 1,5 3 45,8  15 287,2

Похожие:

	Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий... Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума		Задача 1 22 Вариант 3 22 Задача 1 22 Вариант 4 23 Задача 1 23 Задача... «Менеджмент». Дисциплина реализуется кафедрой экономики и управления. Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций...
	По Физике Механика от Аристотеля до Ньютона 2000-01 уч год. Основная часть По мере накопления знаний о мире задача их систематизации становилась всё более насущной. Эта задача была выполнена одним из величайших...		8. Законы сохранения в механике (от X. Гюйгенса до Ж. Л. Лагранжа) ...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ...		Доктор фаустус Иными словами, посильна ли человеку моего склада эта задача, задача, на выполнение которой меня подвигло скорее сердце, нежели право...
	Задача обучения математики До недавнего времени считалось, что главная задача школы состоит в том, чтобы дать каждому школьнику общей среднее образование в...		Урока: комбинированный. Задача урока Задача урока: показать глубину трагедии русского народа, ввергнутого в братоубийственную войну, определить возможности выхода из...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Сегодня мы познакомимся с ещё одним рассказом Николая Николаевича Носова «Федина задача»		Тема урока «Подобие треугольников. Решение практических задач» Дидактическая задача Дидактическая задача: Формирование универсальный учебных действий в условии решения практических задач
	Задача педагогов Фармацевтический бизнес оказался одним из самых прибыльных. Очереди в поликлиники выстраиваются с самого утра. Всё это свидетельствует...		Урок литературного чтения Тема: Н. Н. Носов. «Федина задача» Н. Н. Носова «Федина задача», исследовать творчество Н. Н. Носова, совершенствовать навыки выразительного чтения; формировать умение...
	Реферат Задача иммунной системы состоит в том, чтобы поддержать наследственно... Стресс-индуцированное подавление клеточных иммунных реакций. Роль нейроэндокринного контроля иммунной системы		Приветствуют учителя, отвечают на организационные вопросы. С целью Учебная задача: развитие речевых умений на основе творческого применения усвоенного ранее лексико-грамматического материала в новых...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Для учителя: мультимедийный комплекс, презентация к уроку, карточки с числами, ребус со словом «Задача», таблица «Задача. Составные...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... И задача духовно- нравственного воспитания заключается в формировании такой личности. Поэтому задача учителя сверхсложная: он должен...