Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы Задача Лагранжа с одним ограничением

7. Модель II. Модель Уилсона с ограничениями на складские помещения Пусть торговое предприятие в течении периода времени Т должно завести и реализовать n видов товара. Соответственно обозначим: Ri - полный спрос i – го товара за время Т; C1i – стоимость хранения одной единицы i-го товара планируемом периоде времени; CSi - расходы по завозу одной партии i – го товара; Vi - объем складского помещения занимаемый одной единицей i –го товара. V - вся ёмкость складского помещения. Все эти значения считаются заранее известными. Неизвестный пока размер одной поставки i-го товара обозначим через qi, а через qio будем в дальнейшем обозначать оптимальный размер одной поставки i-го товара. Т огда в соответствии с (2) полные издержки по завозу и хранению i-го товара будут равны: а суммарные издержки по всем видам товара принимают вид: Далее Vi * qi – объем складских помещений, которые занимают i-ый вид товара, Vi qi - объем складских помещений, занимаемых всеми видами товара и должно выполняться очевидные соотношения, qi  Ri, qi  0 (30). Итак, приходим к следующей задаче Лагранжа: Найти минимум нелинейной функции (12) при линейных ограничениях (29) и (30). Функция Лагранжа рассматриваемой задачи (28) – (30) имеет вид: Ф ункция Лагранжа (31) совпадает с целевой функцией (28) в случаи если в (31) и ли Следуя алгоритму решения задачи Лагранжа, найдем частные производные функции (31) по всем qi и прировняем их к нулю: Каждое из уравнений системы (34) определяет соответствующее значение г де в правой части все значения параметров известны за исключением множителя . Для определения значения подставим выражения qi в условие (32). Получаем: В соотношении (36) все величины, кроме , заранее известны, т.е. оно является иррациональным уравнением с одним неизвестным. Его всегда можно разрешить относительно множителя . Найдя значения  = 0, можно определить оптимальные величины поставок каждого из товаров по формулам: Теперь можно рассматривать конкретный пример. Пусть торговое предприятие намерено завести и реализовать товар трех видов (n = 3) объемами соответственно 24 тыс. ед, 20 тыс. ед. и 16 тыс. ед. Весь объем складских помещений составляет 18 000 куб. м. Стоимость хранения одной единицы первого вида товара 6 руб., второго – 8 руб., третьего – 10 руб. Расходы по завозу одной партии первого вида товара 1200 руб., второго – 1600 руб., третьего – 2000 руб. При этом одна единица первого вида товара занимает 3 куб. м., второго – 4 куб. м., третьего – 5 куб. м. Найти оптимальные размеры поставок каждого из видов товара. По условию имеем: R1 = 24000, R2 = 20000, R3 = 16000; C11 = 6, C12 = 8, C13 = 10; Cs1 = 1200, Cs2 = 1600, Cs3 = 2000; V1 = 3, V2 = 4, V3 = 5; V = 18000; С оставляем уравнение вида (36) для определения значения множителя ; и ли откуда о = - 2,41. Н айдем величины оптимальных поставок каждого из товаров по формулам (37): Проверим выполнимость условия (29) при найденных объемах оптимальных поставок. Должно выполняться: V1 * q1о + V2 * q2о + V3 * q3о  V = 18000. Имеем: 3 * 1677 + 4 * 1531 + 5 * 1369 = 5031 + 6124 + 6845 = 18000. Выполнимость неравенства (29) служит подтверждением того, что объемы оптимальных поставок определены верно. Более того. Неравенство (29) в нашем примере выполнилось как равенство, что говорит о том, что при первом завозе товара все складские помещения будут заполнены максимально полно. С течением времени, при последующих завозах товара, картина будет конечно же не столь идеальной и какая та часть складских помещений будет не заполнена. Здесь можем заметить одну небольшую “уловку” в этом примере исходные данные в примере подобраны так, что иррациональное уравнение (*) вида (36) имеет во всех трех слагаемых один и тот же знаменатель, что конечно же упрощает решение уравнения. Эта “уловка” использована для облегчения рассмотрения примера, поскольку нашей главной целью в настоящий момент не является возможность разрешения иррационального уравнения. И тем не менее, возникает вопрос: а что же делать, когда при использовании этой модели на практике исходные данные будут таковы, что нашей “уловкой” воспользоваться будет невозможно. Ответ на этот вопрос достаточно прост: в современной математике разработаны десятки методов приближенных решений уравнений и потому значения множителя  можно определить из уравнения (36) приближенно с любой степенью точности. К тому же несмотря на нашу “уловку” облегчающую нахождения значения , тем не менее мы определили его приближение. С учетом выше сказанного, можем прийти к выводу, что использованная “уловка” не сужается общностью рассмотрения модели.

Похожие:

	Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий... Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума		Задача 1 22 Вариант 3 22 Задача 1 22 Вариант 4 23 Задача 1 23 Задача... «Менеджмент». Дисциплина реализуется кафедрой экономики и управления. Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций...
	По Физике Механика от Аристотеля до Ньютона 2000-01 уч год. Основная часть По мере накопления знаний о мире задача их систематизации становилась всё более насущной. Эта задача была выполнена одним из величайших...		8. Законы сохранения в механике (от X. Гюйгенса до Ж. Л. Лагранжа) ...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ...		Доктор фаустус Иными словами, посильна ли человеку моего склада эта задача, задача, на выполнение которой меня подвигло скорее сердце, нежели право...
	Задача обучения математики До недавнего времени считалось, что главная задача школы состоит в том, чтобы дать каждому школьнику общей среднее образование в...		Урока: комбинированный. Задача урока Задача урока: показать глубину трагедии русского народа, ввергнутого в братоубийственную войну, определить возможности выхода из...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Сегодня мы познакомимся с ещё одним рассказом Николая Николаевича Носова «Федина задача»		Тема урока «Подобие треугольников. Решение практических задач» Дидактическая задача Дидактическая задача: Формирование универсальный учебных действий в условии решения практических задач
	Задача педагогов Фармацевтический бизнес оказался одним из самых прибыльных. Очереди в поликлиники выстраиваются с самого утра. Всё это свидетельствует...		Урок литературного чтения Тема: Н. Н. Носов. «Федина задача» Н. Н. Носова «Федина задача», исследовать творчество Н. Н. Носова, совершенствовать навыки выразительного чтения; формировать умение...
	Реферат Задача иммунной системы состоит в том, чтобы поддержать наследственно... Стресс-индуцированное подавление клеточных иммунных реакций. Роль нейроэндокринного контроля иммунной системы		Приветствуют учителя, отвечают на организационные вопросы. С целью Учебная задача: развитие речевых умений на основе творческого применения усвоенного ранее лексико-грамматического материала в новых...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Для учителя: мультимедийный комплекс, презентация к уроку, карточки с числами, ребус со словом «Задача», таблица «Задача. Составные...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... И задача духовно- нравственного воспитания заключается в формировании такой личности. Поэтому задача учителя сверхсложная: он должен...