Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы Задача Лагранжа с одним ограничением

Скачать 388.47 Kb.

Название	Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы Задача Лагранжа с одним ограничением
страница	4/7
Дата публикации	27.02.2015
Размер	388.47 Kb.
Тип	Задача

100-bal.ru > Математика > Задача

1 2 3 4 5 6 7

6. Модель I. Модель Уилсона без ограничений

В качестве простейшей модели управления запасами рассмотрим модель оптимизации текущих товарных запасов, позволяющих повысить эффективность работы торгового предприятия. Такая модель строится в следующей ситуации: некоторое торговое предприятие в течении фиксированного периода времени собирается завести и реализовать товар конкретного (заранее известного) объема и при этом необходимо смоделировать работу предприятия так, чтобы суммарные издержки были минимальны. При построении этой модели используется следующие исходные предложения:

планируется запасы только одного товара или одной товарной группы;
уровень запасов снижается равномерно в результате равномерно производимой продажи;
спрос и планируемом периоде заранее полностью определен;
поступление товаров производится строго в соответствии с планом, отклонения не допускаются, штраф при неудовлетворенном спросе бесконечно велик;
издержки управления запасами складывается только из издержек по завозу и хранению запасов.

Суммарные издержки будем считать зависящими от величины одной поставки q. Таким образом, задача оптимального регулирования запасов сводится к нахождению оптимального размера q0 одной постановки. Найдя оптимальное значение управляемой переменной q, можно вычислить и другие параметры модели, а именно: количество поставок n0, оптимальный интервал времени tso между двумя последовательными поставками, минимальные (теоретические) суммарные издержки Q0.

Введем следующие обозначения для заранее известных параметров модели:

T - полный период времени, для которого строится модель;

R - весь объем (полный спрос) повара за время T;

C1 - стоимость хранения одной единицы товара в единицы времени;

Cs - расходы по завозу одной партии товара.
О

бозначим через Q неизвестную пока суммарную стоимость создания запасов или, что то же самое, целевую функцию. Задача моделирования состоит в построении целевой функции Q = Q(q). Суммарные издержки, будут состоять из издержек по завозу и хранению товара.

Полные издержки по хранению текущего запаса будет равны

т.е. произведению стоимости хранению одной единицы товара на “средний” текущий запас. По предложению 2 уровень запасов снижается равномерно в результате равномерно производимой продажи, т.е. если в начальный момент создания запаса он равен q, то в конце периода времени ts он стал равен 0 и тогда “средний” запас равен

Полные издержки по завозу товара будут равны

т.е. произведению стоимости завоза одной партии товара на количество поставок n, которые очевидно равны

.

Тогда суммарные издержки управления текущими запасами составят

т

.е. целевая функция Q является нелинейной функцией величины q, изменяющейся в пределах от 0 до R.

Таким образом, для задачи оптимального управления текущими запасами построена следующая математическая модель:

при ограничениях 0 < q  Q (17)

о

пределить значения q, обращающее в минимум нелинейную целевую функцию

Ф

ормализованная задача строго математически записывается в виде:

Р

ешение задачи проведем по известной схеме. Вычисляем производную:

И

приравниваем её к нулю:

Ч

тобы убедиться, что в точке q = q0 функция Q(q) действительно достигает своего минимума, вычислим вторую производную:

И

так, оптимальный размер одной поставки равен:

о

птимальный средний текущий запас:
о

птимальное число поставок:

о

птимальный интервал между двумя последовательными поставками:

оптимальные (теоретические) издержки составят:

П
РИМЕР 1. Торговое предприятие в течение года планирует завести и реализовать сахар общим объёмом 10 тысяч тон. Стоимость завоза одной партии товара равна 1000 рублей, а хранение одной тонны сахара обходится в 50 рублей. Определить оптимальный размер одной поставки, чтобы суммарные расходы по завозу и хранению товара были минимальны, а также количество поставок, интервал времени между двумя последовательными поставками и минимальные (теоретические) суммарные издержки.

П

о условию задачи: R = 10000, Cs = 1000, C1 = 50, T = 12 мес.

По формулам (19), (21), (22) и (23) имеем:
Итак, оптимальный размер одной поставки равен 632 тонны, количество поставок nо равно 16, время tso между двумя последовательными поставками равно 23 дня, а минимальные суммарные расходы составят 31600 рублей.

Заметим, что условия рассмотренной задачи во многом являются идеализированными. На практике не всегда является возможным придерживаться полученных теоретических параметров модели управления запасами. Например, в рассмотренной задаче мы получили, что оптимальный размер одной поставки равен 632 тонны, но может так оказаться, что завод-изготовитель отпускает сахар только вагонами по 60 тонн. Значит, торговое предприятие вынуждено отклоняться от оптимального размера одной поставки. Поэтому важно определить такие пределы отклонения, которые не приводят к существенному возрастанию суммарных издержек.

Ц

елевая функция Q(q) управления запасами является суммой двух функций – линейной и гиперболической. Изобразим её график схематически.

В области минимума она изменяется медленно, но с удалением от точки qo, особенно в сторону малых q, величина Q быстро возрастает. Определим доступные изменения размера одной поставки по доступному уровню возрастания издержек. Пусть торговое предприятие “согласно” на возрастание минимальных издержек в не более, чем  раз ( > 1), т.е. предприятие допускает издержки

Q = Qo (24)

Отклонение размера одной поставки q от оптимального зададим с помощью дополнительного параметра  в виде:

q = qo.

Т

огда суммарные издержки при таком размере одной поставки будет равны:

и

з (24) и (25) следует:
Р

азрешая (26) относительно  получаем:

Пусть в примере 1 предприятие допускает увеличение суммарных издержек на 20% по сравнению с оптимальными, т.е.  = 1,2. Тогда по формулам (27) получаем: 1 = 1,2 - 1,44 - 1 = 0,54; 2 = 1,2 + 1,44 - 1 = 1,86. И интервал допустимых величин  есть 0,54    1,86. Тогда: 1qo = 0,54 * 632  341; 2qo = 1,86 * 632  1176 и объём одной постановки q может изменяться в интервале (1qo; 2q0) = (341; 1176). При этом суммарные издержки не превысят оптимальные более чем в 1, 2 раза.

Заметим здесь, что полученный допустимый интервал значений q не симметричен относительно qо, поскольку в сторону уменьшения значений q можно отклониться от qo на 632 – 341 = 291 единиц, а в сторону увеличения значений q можно отклоняться от q0 на 1176 – 632 = 544 единиц.

Такая асимметричность допустимых значений q относительно q0 легко объясняется из графика функции Q на рис.1: при отклонении влево от q0 график функции возрастает “быстрее”, чем при отклонении на такую же величину вправо от q0.

Рассмотренная выше модель конечно же достаточно проста и может применяться только на предприятиях реализующих один тип товара, что встречается крайне редко. Обычно у любого торгового предприятия имеются запасы самых различных товаров. Если при этом товар не является взаимозаменяемыми, то определение оптимальных размеров запасов производится отдельно по каждому товару, как это было показано выше. Взаимозаменяемые товары целесообразно объединить в группы и для них производить оптимизацию товарных запасов как для отдельных товаров. На практике, однако, не всегда можно воспользоваться такими рекомендациями, поскольку могут возникнуть другие ограничительные условия, в частности ограниченность размеров складских помещений. Такие ограничительные условия приводят к тому, что оптимальная по величине партия товара не может быть размещена в имеющийся складской емкости. Рассматриваемая далее модель учитывает такие ограничения.

1 2 3 4 5 6 7

Похожие:

	Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий... Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума		Задача 1 22 Вариант 3 22 Задача 1 22 Вариант 4 23 Задача 1 23 Задача... «Менеджмент». Дисциплина реализуется кафедрой экономики и управления. Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций...
	По Физике Механика от Аристотеля до Ньютона 2000-01 уч год. Основная часть По мере накопления знаний о мире задача их систематизации становилась всё более насущной. Эта задача была выполнена одним из величайших...		8. Законы сохранения в механике (от X. Гюйгенса до Ж. Л. Лагранжа) ...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ...		Доктор фаустус Иными словами, посильна ли человеку моего склада эта задача, задача, на выполнение которой меня подвигло скорее сердце, нежели право...
	Задача обучения математики До недавнего времени считалось, что главная задача школы состоит в том, чтобы дать каждому школьнику общей среднее образование в...		Урока: комбинированный. Задача урока Задача урока: показать глубину трагедии русского народа, ввергнутого в братоубийственную войну, определить возможности выхода из...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Сегодня мы познакомимся с ещё одним рассказом Николая Николаевича Носова «Федина задача»		Тема урока «Подобие треугольников. Решение практических задач» Дидактическая задача Дидактическая задача: Формирование универсальный учебных действий в условии решения практических задач
	Задача педагогов Фармацевтический бизнес оказался одним из самых прибыльных. Очереди в поликлиники выстраиваются с самого утра. Всё это свидетельствует...		Урок литературного чтения Тема: Н. Н. Носов. «Федина задача» Н. Н. Носова «Федина задача», исследовать творчество Н. Н. Носова, совершенствовать навыки выразительного чтения; формировать умение...
	Реферат Задача иммунной системы состоит в том, чтобы поддержать наследственно... Стресс-индуцированное подавление клеточных иммунных реакций. Роль нейроэндокринного контроля иммунной системы		Приветствуют учителя, отвечают на организационные вопросы. С целью Учебная задача: развитие речевых умений на основе творческого применения усвоенного ранее лексико-грамматического материала в новых...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Для учителя: мультимедийный комплекс, презентация к уроку, карточки с числами, ребус со словом «Задача», таблица «Задача. Составные...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... И задача духовно- нравственного воспитания заключается в формировании такой личности. Поэтому задача учителя сверхсложная: он должен...

Школьные материалы