Радуги Декарта и Птолемея, интерференционная картина Юнга, кольца Ньютона

Радуги Декарта и Птолемея, интерференционная картина Юнга, кольца Ньютона Алексей Панов Первая точная формулировка закона преломления, лежащего в основе всей геометрической оптики, была опубликована Рене Декартом в 1637 г. в знаменитых “Рассуждениях о методе” [1]. И тут же, демонстрируя мощь своего “метода”, Декарт использовал этот закон для построения первой последовательной теории радуги. “Радуга – такое изумительное чудо природы …, что я навряд ли смогу найти более подходящий объект для моего метода” [1, “Метеоры”]. В период с 1801 г. по 1803 г. Томас Юнг провел свой знаменитый двухщелевой эксперимент и в ряде выступлений и публикаций [2,3] заложил основы волновой теории света. В качестве одного из первых применений своей теории Юнг избрал интерференционное объяснение колец Ньютона. С помощью той же интерференции Юнг дал объяснение дугам высших порядков [3], наличие которых в структуре радуги не было не то что объяснено Декартом и Ньютоном, но даже не замечено ими обоими. Здесь мы обсудим несколько вопросов, связанных с этими достижениями Декарта и Юнга. Например, имелась ли возможность построения теории радуги до открытия закона преломления, сделанного Снеллиусом и Декартом? Познакомимся с мемуаром о радуге [4] первого русского академика-математика С.К. Котельникова, написавшего, кстати, и первый отечественный учебник по геодезии [5]. И, кроме прочего, продемонстрируем несколько компьютерных изображений, реализующих интерференционную картину Юнга. Настоящая заметка может рассматриваться как некоторое дополнение к нашим предыдущим публикациям [6,7,8]. З акон преломления до Снеллиуса и Декарта. Радуга образуется в результате взаимодействия солнечных лучей с каплями дождя. Рис. 1. Преломление на границе воздух-вода: i – угол падения, r – угол преломления Один из элементов этого взаимодействия – преломление на входе в каплю и на выходе из нее. Преломление, которое описывается законом Снеллиуса . (1) Показатель преломления воздуха считаем равным 1, а для воды показатель преломления пока примем равным . При малых углах падения закон Снеллиуса переходит в совсем простое , (2) чем с успехом пользуются все оптики, вплоть до наших дней, при расчете параксиальных лучей. Иногда этот линейный закон (2) связывают с именем Клавдия Птолемея, проводившего свои эксперименты по преломлению во II веке н.э. Но на самом деле Птолемей получил гораздо более интересные результаты. Они дошли до нас в виде следующей таблицы, содержащей зависимость угла преломления от угла падения для перехода воздух-вода [9]. i 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° r 8° 15½° 22½° 29° 35° 40½° 45½° 50° В ней вторые разности для нижней строки постоянны, равны –½°, т.е. все точки лежат на одной параболе. Поэтому нельзя считать, что это чистые экспериментальные данные. С другой стороны они хорошо согласуются с точным законом Снеллиуса (1), который дает , (3) так что не может идти речи и о какой-либо фальсификации. Записав уравнение параболы в виде , (4) мы можем интерпретировать и формулу (4) и саму таблицу как альтернативный закон преломления – закон преломления Птолемея [10,11]. На рис. 2 приводится сравнение законов Снеллиуса и Птолемея. В диапазоне 0°– 80° наибольшее расхождение между углами преломления наблюдается на границе – для угла 80°, где оно не превышает 2¼°. В диапазоне 0°– 70° расхождение между законами еще меньше, оно всюду не превосходит 1°. Рис. 2. Отмеченные по Птолемею точки лежат на параболе, сплошная линия – закон Снеллиуса Р адуги Птолемея и Декарта. Как уже говорилось, первое применение закона Снеллиуса – это теория радуги, созданная Декартом. Рассмотрим один из возможных вариантов взаимодействия светового луча с каплей, именно тот, который отвечает за образование основной дуги (primary bow). Рис. 3. Углы: падения – , преломления – , выхода – Световой луч преломляется на входе в каплю, испытывает отражение на задней стенке капли и преломляется на выходе. При первом преломлении луч поворачивается на угол , при отражении происходит поворот на и, преломляясь на выходе, луч еще раз поворачивается на , всего – на . Рассмотрим дополнительный угол , (5) который назовем углом выхода. В зависимости от используемого закона преломления, мы получаем следующие три формулы. Для линейного закона преломления (2) – , (6) для закона Снеллиуса (1), (3) – (7) и для закона Птолемея (4) – . (8) Построим графики этих трех функций, считая, что . i θ Рис. 4. Угол выхода имеет критические точки для законов Снеллиуса и Птолемея – функции и , но не для линейной модели – По Декарту, за образование основной дуги отвечает стационарная точка функции угла выхода . Если капля освещена пучком параллельных лучей, то вблизи направления скапливается большое количество, выходящих из капли лучей, т.е. капля практически излучает в направлении источника яркий конус с углом полураствора . В свою очередь, если Солнце, находящееся за головой наблюдателя, освещает стену дождя, то в глаз наблюдателя попадает яркий свет только от тех капель, которые лежат на конусе с осью Солнце-глаз и с тем же самым углом полураствора , именно так формируется основная дуга. На рис. 4 мы видим, что стационарные точки имеются только на графиках функций и . Таким образом, и закон Птолемея и закон Снеллиуса, но не линейное приближение, гарантируют наличие радуги. Причем экстремальные значения почти не различаются: по Птолемею угол полураствора радуги 40°15', по Снеллиусу при – 40°02'. Понятно, что за яркость радуги отвечает абсолютная величина второй производной функции в стационарной точке, – чем она меньше, тем большая концентрация лучей наблюдается. И на рис. 4 видно, что радуга Птолемея должна быть ярче. Итак, для описания механизма образования основной дуги вполне можно было использовать приближенный закон преломления Птолемея. Лучевая картина. При описании взаимодействия светового луча с каплей существуют две традиции. В первой из них падающие лучи параметризуются углом падения и именно так мы действовали до сих пор. А в этом разделе, следуя Декарту, мы будем параметризовать падающие лучи прицельным параметром, т.е. расстоянием от центра капли до прямой, содержащей луч. Для капли единичного радиуса прицельный параметр – это просто синус угла падения. Ч тобы сделать более наглядными рассуждения из предыдущего раздела, нарисуем картину взаимодействия пучка лучей с каплей воды для каждого из трех законов преломления. На каждом из следующих трех рисунков слева изображена зависимость угла выхода от синуса угла падения, а справа преобразование каплей пучка параллельных лучей, приходящих от источника (верхние короткие лучи). Рис. 5. Линейная модель В линейной модели не наблюдается сгущения выходящих лучей. Зато на следующих двух рисунках такое сгущение вблизи крайнего нижнего луча отчетливо видно и именно оно отвечает за формирование радуги. Этот крайний луч называется декартовым лучом. Для того чтобы представить себе пространственную картину, нужно провращать соответствующий рисунок вдоль центрального луча. Тогда декартов луч опишет коническую поверхность, которая будет являться каустической поверхностью для пучка лучей, выходящих из капли в направлении источника. Из сравнения рис. 6 и 7 видно, что вблизи декартова луча концентрация выходящих лучей, действительно, будет сильнее в случае выполнения закона Птолемея. Рис. 6. Закон Снеллиуса Рис. 7. Закон Птолемея Сделаем небольшое отступление, чтобы рассказать, как сам Декарт вычислял размеры радуги. Вычисления Декарта. Прежде всего, все свои вычисления Декарт проводит для полученного им экспериментально коэффициента преломления . Декарт подробно описывает метод вычисления угла отклонения в зависимости от прицельного параметра, т.е. от синуса угла падения. Он предъявляет по сути дела следующую таблицу, единственное отличие которой от оригинала заключается в том, что у Декарта в первой строке стоят целые числа – именно, значения . 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 5°40' 11°19' 17°56' 22°30' 27°52' 32°56' 37°26' 40°44' 40°57' 13°40' Анализируя с помощью этой таблицы характер изменения угла , Декарт делает вывод, что концентрация лучей, выходящих из капли, происходит вблизи угла в 40°. Следует отметить, что после исправления 17°56' в четвертом столбце на 16°56', значения, рассчитанные Декартом, и значения, рассчитанные по формуле (7), нигде не расходятся более чем на 2'. Правда, следует предостеречь, в русском издании [1] в последнем столбце вместо правильного 13°40' стоит неверное 31°40'. Для уточнения размеров радуги Декарт проводит еще одни вычисления, изменяя в диапазоне от 0,8 до 0,98 с шагом в 10 раз меньше. Вот как выглядит фрагмент новой таблицы. 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 40°58' 41°10' 41°20' 41°26' 41°30' 41°30' 41°28' 41°22' 41°12' Теперь Декарт утверждает, что реально концентрация лучей достигается вблизи угла в 41°30'. Вычисляя производные, каждый может убедиться, что эта величина отличается от истинного максимального значения функции всего лишь на 1'.

Похожие:

	Радуги Декарта и Птолемея, интерференционная картина Юнга, кольца Ньютона Рассуждениях о методе” [1]. И тут же, демонстрируя мощь своего “метода”, Декарт использовал этот закон для построения первой последовательной...		Голландский шаг (Г) (1-2 урок) Добиться ровной кривизны на всем протяжении кольца, сделать оба кольца совершенно одинаковыми по величине—вот к чему следует стремиться....
	Реферат Тема: Жан Жак Руссо Г. Гоббса, Р. Декарта, Г. В. Лейбница, И. Ньютона, Б. Спинозы и голландских картезианцев знаменовала новый этап в освобождении науки...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Законы Ньютона в литературе”, “Законы Ньютона в природе и технике”, портрет Ньютона
	Реферат Проблема человека в философии XX века по работе К. Г юнга «Человек и его символы» Используя метод "аналитической психологии" Юнга, его ближайшие сподвижники и ученики наглядно демонстрируют влияние бессознательного,...		Тема урока: «Второй закон Ньютона» Обучающие: обеспечить в ходе урока усвоение следующих ос­новных понятий как взаимодействие тел, третий закон Ньютона; а также научных...
	Реферат по курсу: «Введение в танцевально-дивигательную терапию» Фэйрфаксе, Калифорнии, в маленьком спокойном городке неподалеку от Золотых Ворот в Сан-Франциско. Она закончила Институт К. Г. Юнга...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: формировать начальные представления о свете и цвете, о причинах возникновения радуги, познакомить детей с цветами радуги, их...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Выберите «Оптика» и «Кольца Ньютона». Нажмите вверху внутреннего окна кнопку с изображением страницы. Прочитайте краткие теоретические...		Закон всемирного тяготения 1 Из второго закона Ньютона: a = F/m;...
	Реферат: Атеизм фейербаха (Я отрицаю бога; для меня это значит: я отрицаю отрицание человека) Ализма с идеализмом. Однако ^центральную тенденцию он видел, как было показано выше, в борьбе разума с верой, науки с религией, философии...		Конспект урока. Третий закон Ньютона Цель урока: восприятие учащимися... Обучающие: обеспечить в ходе урока усвоение следующих ос­новных понятий как взаимодействие тел, третий закон Ньютона; а также научных...
	Конспект урока физики в 9 классе по теме "Законы Ньютона" Цель урока: закрепить основные понятия, рассматриваемые в законах механики Ньютона		Домашнее задание по физике на период приостановления аудиторных занятий... По тонкому кольцу радиусом 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью 1 нКл/м. В центре кольца находится заряд 0,4...
	«БиномНьютон а» Работу ученик 11 класса «А» Зыбко Иван Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Учить детей лепить радугу на бумаге,учить лепить части радуги из пластилина разного цвета. Формировать понятие о целом и его частях,...