МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
РУБЛЕВА Г.В.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
Учебно-методический комплекс
Рабочая программа для студентов специальности 010503.65
«Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем»
Тюмень 2013
Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины
Целью изучения курса «Математическая экономика» является приобретение умений построения математических моделей и навыков алгоритмизации методов решения полученных моделей, умений исследовать свойства микро- и макроэкономических моделей.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения курса студент будет
иметь представление:
об особенностях экономики как объекта моделирования;
о разнообразных формах интерпретаций основных положений курса в экономике и геометрии;
о видах зависимостей экономических переменных;
о связи между математической структурой модели и ее содержательной интерпретацией;
знать:
типы экономико-математических моделей;
основные качества математической модели;
этапы построения экономико-математических моделей;
алгоритмы, схемы, методы и рекомендации для решения типовых математически формализованных задач;
приемы употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов;
уметь:
конкретную экономическую проблему записать в виде математической модели и исследовать ее;
решать задачи линейного программирования графически и симплексным методом;
составлять задачу, двойственную к исходной, и, используя теоремы двойственности, находить решение исходной задачи.
Объём дисциплины и виды учебной работы
Вид занятий
|
Всего часов (7 семестр)
|
Общая трудоёмкость
|
134
|
Аудиторные занятия
|
72
|
Лекционные занятия
|
36
|
Практические занятия
|
36
|
Самостоятельная работа
|
62
|
Вид итогового контроля
|
Контрольная работа, экзамен
|
Тематический план изучения дисциплины
№ п/п
|
Наименование темы
|
Лекц.
занятия
|
Практ.
занятия
|
Сам.
работа
|
баллы
|
Модуль 1. Математические методы
|
1
|
Введение.
|
2
|
-
|
4
|
0-5
|
2
|
Основы линейного
программирования.
|
2
|
2
|
6
|
0-5
|
3
|
Симплексный метод решения задачи линейного программирования.
|
4
|
6
|
6
|
0-10
|
4
|
Теория двойственности.
|
2
|
4
|
4
|
0-10
|
|
Всего
|
10
|
12
|
20
|
0-30
|
Модуль 2. Математические модели в микроэкономике
|
5
|
Теория потребления.
|
6
|
4
|
6
|
0-10
|
6
|
Теория производства.
|
4
|
4
|
6
|
0-10
|
7
|
Теория фирмы.
|
2
|
2
|
4
|
0-10
|
8
|
Модели и задачи теории отраслевых рынков.
|
2
|
2
|
6
|
0-5
|
9
|
Государственное регулирование рынка.
|
2
|
2
|
4
|
0-5
|
|
Всего
|
16
|
14
|
26
|
0-40
|
Модуль 3. Математические модели макроэкономики
|
10
|
Основные типы математических моделей макроэкономики.
|
2
|
2
|
4
|
0-10
|
11
|
Статические модели общего экономического равновесия.
|
2
|
4
|
6
|
0-10
|
12
|
Динамические модели.
|
6
|
4
|
6
|
0-10
|
|
Всего
|
10
|
10
|
16
|
0-30
|
|
Итого (часов, баллов):
|
36
|
36
|
62
|
0-100
|
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
№ темы и название темы
|
устный
опрос
|
письменные
работы
|
итого
количество
баллов
|
коллоквиумы
|
контрольные
работы
|
Модуль 1. Математические методы
|
1. Введение
|
0-5
|
|
0-5
|
Основы линейного
программирования
|
0-5
|
|
0-5
|
Симплексный метод решения задачи линейного программирования
|
|
0-10
|
0-10
|
Теория двойственности
|
|
0-10
|
0-10
|
Всего
|
0-10
|
0-20
|
0-30
|
Модуль 2. Математические модели в микроэкономике
|
Теория потребления
|
|
0-10
|
0-10
|
Теория производства
|
|
0-10
|
0-10
|
Теория фирмы
|
|
0-10
|
0-10
|
Модели и задачи теории отраслевых рынков.
|
|
0-5
|
0-5
|
Государственное регулирование рынка.
|
|
0-5
|
0-5
|
Всего
|
|
0-40
|
0-40
|
Модуль 3. Математические модели макроэкономики
|
Основные типы математических моделей макроэкономики
|
0-10
|
|
0-10
|
Статические модели общего экономического равновесия.
|
|
0-10
|
0-10
|
Динамические модели
|
|
0-10
|
0-10
|
Всего
|
0-10
|
0-20
|
0-30
|
Итого (баллов):
|
0-20
|
0-80
|
100
|
Содержание разделов дисциплины
Модуль 1. Математические методы.
Введение. Предмет экономических исследований. Классификация экономико-математических моделей. Связь между математической структурой модели и её содержательной интерпретацией. Основные качества математических моделей, типы процессов их построения. Особенности экономики как объекта моделирования. Исторический экскурс.
Основы линейного программирования. Элементы математической модели задачи условной оптимизации: переменные задачи, система ограничений, целевая функция. Допустимое решение, область допустимых решений, оптимальное решение задачи. Формы записи задачи линейного программирования (ЗЛП): общая, стандартная и каноническая, их равносильность. Свойства решений ЗЛП. Графический метод решения ЗЛП с двумя переменными. Различные виды области допустимых решений задачи, линии уровня, опорная прямая, вектор нормали. Алгоритм графического метода. Решение ЗЛП с n переменными, имеющими каноническую форму, условие применения графического метода для таких задач.
Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Опорное решение ЗЛП. Оптимальное решение задачи. Критерий оптимальности решения. Алгоритм симплексного метода с естественным базисом. Условие единственности решения. Алгоритм симплекс-метода с искусственным базисом, расширенная задача, искусственные переменные.
Теория двойственности. Виды двойственных задач. Правило составления двойственных задач. Теоремы двойственности. Нахождение решения исходной ЗЛП по решению двойственной задачи.
Модуль 2. Математические модели в микроэкономике.
Теория потребления. Порядковый подход: пространство товаров, система предпочтений, кривые безразличия. Количественный подход: функция полезности и её свойства, виды функций полезности. Первый закон Госсена. Предельная норма замещения. Коэффициент эластичности и его свойства. Оптимизация выбора потребителя: бюджетное множество, граница бюджетного множества. Математические модели задачи потребителя. Второй закон Госсена. Функции спроса Маршалла и Хикса. Эффект замены и эффект дохода. Товары Гиффена.
Теория производства. Факторы производства. Производственные функции и их свойства. Закон убывающей отдачи. Виды производственных функций. Эффект от расширения масштаба производства. Эластичность выпуска, эластичность производства, эластичность замещения. Производственная функция Кобба-Дугласа и её экономико-математические характеристики.
Теория фирмы. Классификация и структура затрат фирмы. Математические модели задачи фирмы в коротком и длительном периодах. Функция спроса на ресурсы её свойства. Функция предложения выпуска продукции и её свойства.
Модели и задачи теории отраслевых рынков. Совершенная конкуренция, олигополия и монополия. Определение цены на монопольном рынке. Сегментация рынка. Показатели монопольной власти.
Государственное регулирование рынка. Основные понятия и задачи налогообложения: налог, налоговая база, налоговый орган, налоговая ставка, налоговая шкала, налоговая функция. Основные способы начисления налогов. Налог на доходы физического лица. Налог и благосостояние физического лица. Налоги в теории фирмы.
Модуль 3. Математические модели макроэкономики.
Основные типы математических моделей макроэкономики. Предмет исследования макроэкономики. Элементы модели: экзогенные и эндогенные параметры. Основные типы математических моделей макроэкономики. Основные субъекты национальной экономики, рынки их взаимодействия. Виды функций спроса.
Статические модели общего экономического равновесия. Балансовая модель Леонтьева: основные допущения модели, балансовая таблица, коэффициенты прямых затрат, технологическая матрица, вектор валового выпуска, вектор конечного потребления. Продуктивность модели, матрица полных затрат, критерий продуктивности. Модель равновесных цен.
Динамические модели. Паутинообразная модель и модель Эванса. Модель Неймана в натуральной и стоимостной формах. Модель Харрода-Домара. Модель Солоу в абсолютных и относительных показателях. «Золотое правило» накопления.
Содержание практических занятий дисциплины
Модуль 1. Математические методы.
Основы линейного программирования.
Симплексный метод решения ЗЛП. Применение свойств решений ЗЛП при использовании симплексного метода.
Алгоритм симплексного метода с естественным базисом.
Алгоритм симплексного метода с искусственным базисом. Решение задач.
Теория двойственности. Составление задачи, двойственной к исходной.
Нахождение решения исходной задачи по решению двойственной. Решение задач.
Модуль 2. Математические модели в микроэкономике.
Теория потребления. Геометрическая интерпретация теории потребления. Кривые безразличия. Количественный подход в теории потребления. Решение задач на определение изменения функции полезности. Коэффициент эластичности и его свойства. Вычисление коэффициентов эластичности, построение кривых спроса Торнквиста.
Оптимизация выбора потребителя. Решение задач на вычисление точки спроса, нахождение функций спроса Маршалла и Хикса. Эффект замены и эффект дохода. Решение задач на применение уравнения Слуцкого.
Теория производства. Определение предельной нормы замещения одного фактора производства другим. Исследование свойств производственных функций.
Производственная функция Кобба-Дугласа. Производственная функция Кобба-Дугласа в темповой записи, нахождение, исследование эффектов от роста масштаба производства и увеличения эффективности производства, интенсивные и экстенсивные факторы.
Теория фирмы. Решение задач на определение оптимальных затрат, исследование функции спроса на ресурсы, функции выпуска продукции, нахождение предельной нормы замещения одного фактора затрат другим.
Совершенная конкуренция, олигополия и монополия. Определение цены на монопольном рынке. Сегментация рынка. Показатели монопольной власти.
Государственное регулирование рынка. Решение задачи фирмы при введении налога на прибыль, и потоварного налога. Построение кривой Лаффера.
Модуль 3. Математические модели макроэкономики.
Основные типы математических моделей макроэкономики. Предмет исследования макроэкономики. Элементы модели: экзогенные и эндогенные параметры. Основные типы математических моделей макроэкономики. Основные субъекты национальной экономики, рынки их взаимодействия. Виды функций спроса.
Статические модели общего экономического равновесия. Проверка модели на продуктивность, анализ матрицы затрат, нахождение вектора конечной продукции, нахождение вектора валового выпуска.
Решение задач матричной оптимизации.
Динамические модели «спрос-предложение» на рынке благ. Определение равновесной цены, решение задач по динамическим моделям с дискретным и непрерывным временем – «соотношение спрос-предложение».
Динамическая балансовая модель Неймана. Анализ динамического равновесия. Исследование устойчивости модели Харрода-Домара, решение задач по модели Солоу.
Самостоятельная работа
Модуль 1. Математические методы.
Введение. Предмет экономических исследований. Классификация экономико-математических моделей. Связь между математической структурой модели и её содержательной интерпретацией. Основные качества математических моделей, типы процессов их построения. Особенности экономики как объекта моделирования. Исторический экскурс.
Основы линейного программирования. Элементы математической модели задачи условной оптимизации: переменные задачи, система ограничений, целевая функция. Допустимое решение, область допустимых решений, оптимальное решение задачи. Формы записи задачи линейного программирования (ЗЛП): общая, стандартная и каноническая, их равносильность. Свойства решений ЗЛП. Графический метод решения ЗЛП с двумя переменными. Различные виды области допустимых решений задачи, линии уровня, опорная прямая, вектор нормали. Алгоритм графического метода. Решение ЗЛП с n переменными, имеющими каноническую форму, условие применения графического метода для таких задач.
Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Опорное решение ЗЛП. Оптимальное решение задачи. Критерий оптимальности решения. Алгоритм симплексного метода с естественным базисом. Условие единственности решения. Алгоритм симплекс-метода с искусственным базисом, расширенная задача, искусственные переменные.
Теория двойственности. Виды двойственных задач. Правило составления двойственных задач. Теоремы двойственности. Нахождение решения исходной ЗЛП по решению двойственной задачи.
Модуль 2. Математические модели в микроэкономике.
Теория потребления. Порядковый подход: пространство товаров, система предпочтений, кривые безразличия. Количественный подход: функция полезности и её свойства, виды функций полезности. Первый закон Госсена. Предельная норма замещения. Коэффициент эластичности и его свойства. Оптимизация выбора потребителя: бюджетное множество, граница бюджетного множества. Математические модели задачи потребителя. Второй закон Госсена. Функции спроса Маршалла и Хикса. Эффект замены и эффект дохода. Товары Гиффена.
Теория производства. Факторы производства. Производственные функции и их свойства. Закон убывающей отдачи. Виды производственных функций. Эффект от расширения масштаба производства. Эластичность выпуска, эластичность производства, эластичность замещения. Производственная функция Кобба-Дугласа и её экономико-математические характеристики.
Теория фирмы. Классификация и структура затрат фирмы. Математические модели задачи фирмы в коротком и длительном периодах. Функция спроса на ресурсы её свойства. Функция предложения выпуска продукции и её свойства.
Модели и задачи теории отраслевых рынков. Совершенная конкуренция, олигополия и монополия. Определение цены на монопольном рынке. Сегментация рынка. Показатели монопольной власти.
Государственное регулирование рынка. Основные понятия и задачи налогообложения: налог, налоговая база, налоговый орган, налоговая ставка, налоговая шкала, налоговая функция. Основные способы начисления налогов. Налог на доходы физического лица. Налог и благосостояние физического лица. Налоги в теории фирмы.
Модуль 3. Математические модели макроэкономики.
Основные типы математических моделей макроэкономики. Предмет исследования макроэкономики. Элементы модели: экзогенные и эндогенные параметры. Основные типы математических моделей макроэкономики. Основные субъекты национальной экономики, рынки их взаимодействия. Виды функций спроса.
Статические модели общего экономического равновесия. Балансовая модель Леонтьева: основные допущения модели, балансовая таблица, коэффициенты прямых затрат, технологическая матрица, вектор валового выпуска, вектор конечного потребления. Продуктивность модели, матрица полных затрат, критерий продуктивности. Модель равновесных цен.
Динамические модели. Паутинообразная модель и модель Эванса. Модель Неймана в натуральной и стоимостной формах. Модель Харрода-Домара. Модель Солоу в абсолютных и относительных показателях.
Проверить качество усвоенного самостоятельно учебного материала студенты могут, выполнив проверочную работу, содержание которой прилагается ниже.
Образец проверочной работы.
Решите графическим методом ЗЛП:
 
Для данной ЗЛП составьте и решите двойственную и, используя ее решение, найдите решение исходной задачи:
 
Для функции полезности потребителя  найдите: а) функции спроса Маршалла при заданных ценах  и доходе  ; б) на сколько процентов изменится спрос на 1-ый товар при увеличении цены на 2-ой товар на 1% при компенсации дохода?
4. Пусть для некоторой фирмы производственная функция имеет вид:  . Затраты на единицу капитала и труда составляют:  ;  . Общая сумма затрат 105 ден. ед. Определите уровень затрат на капитал и труд, при которых выпуск продукции максимален.
5. Даны вектор конечного (непроизводственного) потребления  и матрица прямых затрат  . Найдите вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.
6. Известны: матрица затрат  , матрица выпуска  вектор цен  и вектор начальных запасов   . Найдите интенсивности технологических процессов  , максимизирующие стоимость выпуска продукции за один производственный цикл, и эту максимальную стоимость.
Вопросы к экзамену
Что такое математическая модель?
Какова связь между математической структурой модели и ее содержательной интерпретацией?
Каковы особенности экономики как объекта моделирования?
Сформулируйте общую постановку задачи оптимального программирования. Какие решения задачи называются допустимыми?
Дайте определение оптимального решения задачи линейного программирования (ЗЛП). В чем отличие стандартной формы записи ЗЛП от канонической?
Дайте определения выпуклого множества и угловой точки выпуклого множества.
Каковы основные этапы графического метода решения ЗЛП?
Что может представлять собой область допустимых решений ЗЛП с двумя переменными?
Сформулируйте условие применения графического метода решения ЗЛП с n переменными.
На каких свойствах ЗЛП основан симплекс-метод?
Сформулируйте последовательность этапов практической реализации алгоритма симплекс-метода при решении ЗЛП.
Когда возникает необходимость использования симплекс-метода с искусственным базисом (М-метода)? В чем суть этой модификации симплекс-метода?
Какие типы задач используются в теории двойственности?
Сформулируйте правило составления двойственных задач.
Сформулируйте свойства функции полезности.
Сформулируйте 1-ый закон Госсена.
Какие виды функции полезности используют в микроэкономике?
Что показывает в экономике коэффициент эластичности?
Как определяется коэффициент эластичности?
Сформулируйте свойства коэффициента эластичности.
Сформулируйте 2-ой закон Госсена.
Назовите основные свойства, которыми должна обладать производственная функция.
Приведите примеры производственных функций.
Запишите основные экономико-математические характеристики производственной функции Кобба-Дугласа.
Чем характеризуются любые затраты на производство продукции? Как классифицируются затраты фирмы в зависимости от временного фактора?
Сформулируйте задачу фирмы в длительном периоде: а) в терминах объёмов затрачиваемых ресурсов; б) в терминах объёма выпускаемой продукции; в) в терминах издержек.
Назовите основные задачи налогообложения.
Назовите основные типы математических моделей при макроэкономическом анализе.
Сформулируйте основную гипотезу в модели В.Леонтьева.
Запишите модель В.Леонтьева в матричной форме.
Сформулируйте критерий продуктивности модели В.Леонтьева.
Как учитывается время в экономических моделях динамики?
Что общего в паутинообразной модели и модели Эванса? В чём их различие?
Запишите модель Неймана в натуральной форме.
Назовите основные допущения в модели Харрода-Домара.
Какая модификация модели экономического роста называется моделью Харрода-Домара?
Перечислите основные предпосылки в модели Солоу.
Литература.
Основная литература:
Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология: учеб. пособие. - М.: КноРус, 2010. – 134 с.
Математические методы в экономике и финансах: учеб. пособие/ В. А. Аксентьев, Е. Г. Пыткеев, А. Г. Хохлов. - 3-е изд., перераб.. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2011. - 376 с.
Математическая экономика: учеб. пособие/ Г. В. Рублева. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2008. – 240 с.
Экономико-математические методы и модели: задачник : учеб.-практ. пособие для студ. вузов, обуч. по спец. "Прикл. информатика (по областям)" и др. спец./ ред. С. И. Макаров, С. А. Севастьянова. - 2-е изд., перераб.. - Москва: КноРус, 2009. - 208 с.
Дополнительная литература:
Аксентьев В.А. Сборник задач по математическим методам в экономике: учеб. пособие. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2003. – 264 с.
Варфаломеев В.И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: Практикум. Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 208 с.
Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика: учебник. – СПб.:Изд-ль «Экономическая школа», 2000. – 324 с.
Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента: учеб. пособие. - СПб.: Лань Учебник, 2007. – 260 с.
Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: учеб. пособие. - М.:Изд-во «ДИС», 1998. – 368 с.
Еремин И.И., Мазуров В.Д., Скарин В.Д., Хачай М.Ю. Математические методы в экономике: учеб. пособие. – Екатеринбург: Изд-во «У-Фактория», 2000. – 280 с.
Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория: учеб. пособие. – М.: МГУ, 1980. – 196 с.
Колемаев В.А. Математическая экономика: учеб. для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 399 с.
Малыхин В.И. Математика в экономике: учеб. пособие. – М.: Изд-во ИНФРА, 1999. – 356 с.
Математика в экономике: мат. методы и модели : учеб. для студ. вузов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. - Москва: Финансы и статистика, 2010. - 44 с.
Математическое моделирование в экономике и социологии труда: методы, модели, задачи : учеб. пособие для студ. вузов/ В. В. Федосеев. - Москва: ЮНИТИ, 2007. - 167 с.
Моделирование экономических процессов//под ред. Грачевой М.В., Фадеевой Л.Н., Черемных Ю.Н. – М.: Изд-во ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 351 с.
Монахов А.В. Математические методы анализа экономики: учеб. пособие. – СПб.: Изд-во Питер, 2002. – 176 с.
Рублёва Г.В. Математическая экономика: методический практикум. – Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2006. – 141 с.
Салманов О. Н. Математическая экономика с применением Mathcad
и Excel. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 464 с. |
