Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий существования максимума и минимума функции, выборе метода нахожденя экстремумов и их полном математическом обосновании
Скачать 0.51 Mb.
|
| >0 , что на окрестности V={y=(y1, y2,…, ym+1) : y1- f0(x(0)) < , yj< ,j=2,3,…,m} (рис.5) определено обратное к Ф отображение и , следовательно , в любую точку этой окрестности отображается какая-то точка из Q m+1. В частности , поскольку при любом n,0 Ф(x`*)=(f0(x(0))+n,0,…,0) Ф(x``*)=(f0(x(0))-n,0,…,0) Если положим для краткости x`=(x`1,x`2,…,x`m+1,x(0)m+2,…,xn(0)) и x``=(x``1,x``2,…,x``m+1,x(0)m+2,…,xn(0)), то в координатной записи (6.15) получим f0(x`)= f0(x(0))+n> f(x(0)) , fk(x`)=0, k=1,2,…,n , x` Q n и f0(x``)= f0(x(0))-n> f(x(0)) , fk(x``)=0, k=1,2,…,n , x`` Q n В силу произвольности 0>0,0<0<0 , это и означает , что x(0) не является точкой условного экстремума. ч.т.д. Доказательство следствея. Если векторы f1, f2,…, fm линейно независимы , то в равенстве (6.8) имеем 0=0 так как в случае 0=0 указанные векторы в силу (6.8) оказались бы линейно зависимыми .Разделив обе части на 0 получим равенство вида (6.9). ч.т.д. Пример №5. Пусть требуется найти экстремум функции u=xyzt при условии x+y+z+t=4c; область изменения переменных определяетссся неравенствовами x>0, y>0, t>0, z>0. Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную функцию Ф=xyzt+ (x+y+z+t) И составим условия Фx =yzt+ =0 Фy =xzt+ =0 Фz =yxt+ =0 Фt =yzx+ =0 откуда yzt=xzt=xyt=xyz так что x=y=z=t=c. 6.4.Стационарные точки функции Лагранжа. В этом пункте будет дано описаие стационарных точек функции Лагранжа (6.10) посредством фукции 0(xm+1,xm+2,…,xn), введенной в пункте 6.2 (см.(6.8)).Предварительно докажем одну простую лемму из линейной алгебры. Пусть задана система линейных однородных уравнений ai1x1+…+ ainxn=0 i=1,2,…,m (6.16) и еще одно линейное однродное уравнение b1x1+…+ bnxn=0 (6.17) Cистему уравнений , полученную присоединением к системе (6.16) уравнения (6.17), будем называть расширенной системой (6.16)-(6.17). Лемма: Для того чтобы расширенная система (6.16)-(6.17) была равносильна основной системе (6.16) необходимо и достаточно , чтобы уравнение (6.17) являлось линейной комбинацией уравнений системы (6.16). Следствие:Для того чтобы уравнение (6.17) было линейной комбинацией уранений (6.16) или , что то же самое , чтобы вектор b==(b1,…,bn) (6.18) был линейной комбинацией векторов ai ==(ai1,…,ain) i=1,2,…,m (6.19) необходимо и достаточно , чтобы каждое решение системы (6.16) являлось решением уравнения (6.17). Доказательство леммы . Пусть ранг матрицы (aij) коэффициентов системы (6.16) равен m0 . Очевидно , что m0 Пусть система (6.16) и (6.16)-(6.17) равносильны. Это означает, что пространства их решений совпадают.Поскольку все уравнения основной системы (6.16) входят в расширенную систему (6.16)-(6.17), то каждое решение расширенной системы является и решением основной системы , т.е. пространство решений расширенной системы содержится в пространстве решений основной системы. Следовательно , слвпадение этих пространств равносильно равенству их размерностей. Размерность s пространства решений системы линейных днородных уравнений равны , как известно , числу неизвестных n этой системы , из которого вычтем ранг r матрицы коэффициентов системы : s=n-r.Отсюда следует , что равносильность систем (6.16) и (6.16)-(6.17) означает равенство рангов их матриц.Ранг матрицы коэффициентов системы (6.16) по условию равен m , т.е. векторы (6.19) линейно независимы. Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы (6.16)-(6.17) согласно сказанному в наших условиях также равен m.Поэтому векторы (см.(6.18) и (6.19)) b, a1,…, am (6.20) линейно зависимы.А это означает , что b является линейной комбинацией векторов a1,…, am. В самом деле , линейная зависимость векторов (6.20) означает , что существуют такие числа 0, 1,…, m, не все равные нулю . что 0b+ 1a1+…+ mam=0 (6.21) Здесь заведамо 0=0, так как в противном случае векторы a1,…, am оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство (6.21) на 0, получим , что b является линейной комбинацией векторов a1,…, am . Обратно, если b является линейной комбинацией векторов (6.19), то в системах векторов (6.19) и (6.20) имеется в точности по m линейно независимых векторов , т.е. ранги матриц коэффициентов систем уравнений (6.16) и (6.16)-(6.17) равны. Итак, условие , что вектор b является линейной комбинацией векторов (6.19) : 1a1+…+ mam=b эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рассматриваемых основной и расширенной системв уравнений, следовательно, эквивалентно их равносильности. ч.т.д. Доказательство следствия сразу следует из леммы, поскольку системы (6.16) и (6.16)-(6.17) очевидно равносильны тогда и только тогда , когда каждое решение системы (6.16) является и решением уравнения (6.17) – остальные уравнения систем просто совпадают. ч.т.д. Замечание 1 : доказанная лемма и ее следствие имеют простую геометрическую интерпритацию в n–мерном евклидовом векторном пространстве Rn, т.е. в n–мерном пространстве со скалярным произведением.Используя обозначение скалярного произведения, систему (6.16) можно записать в виде (ai,x)=0 i=1,2,…,m (6.22) а уравнение (6.17) в виде (b,x)=0 (6.23) где векторы a1,…, am и определены в (6.18) и (6.19) , а x=(x1,x2,…,xm+1) Множество всевозможных линейных комбинаций векторов a1,…, am образуют подпространство пространства Rn и называется подпространством, натянутым на эти векторы.Обозначим его через Z=( a1,…, am). Множество решений системы (6.22) состоит из всех векторов х, ортоганальных подпространству Z=( a1,…, am) Обозначим это множество решений через Т.Оно также является подпространством пространства Rn. Подпространства L==Z(a1,…, am) и Т называются ортоганальными дополнениями друг друга в пространстве Rn. Поскольку L=Z( a1,…, am), то представимость вектора b в виде линейной комбинации векторов a1,…, am равносильна его принадлежности подпространству L пространства Rn:b L.Это условие в свою очередь, равносильно ортоганальности вектора b подпространству Т:b _Т, которая означает, что для всех x Т имеет место равенство (b,x)=0,т.е.что любое реение х системы (6.22) является решением уравнения (6.23).Это и является утверждением следствия леммы. Замечание 2 : напомним метод, которым можно получить все решения однородной системы линейных уравнений.Пусть система (6.16) состоит из линейно независимых уравнений.Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен m.Это означает , что существует минор этой матрицы порядка m, не равный нулю.Пусть для определенности a11… a1m am1… amm (6.24) В этом случае все решения системы (6.16) можно получить , задавая произвольно последние n-m координаты вектора (x1,x2,…,xn). Остальные координаты однозначно находятся из системы уравнений (6.16).В самом деле, возьмем произвольное решение (x1(0),x2(0),…,xn(0)) системы (6.16).После подстановки xm+1= x(0) m+1,…, xn= xn(0) в (6.16) получится система из m линейных уравнений (с m неизвестными x1,x2,…,xn), матрицы коэффициентов которой в силу условия (6.24) невырожденная.Поэтому существуют единственные значения x1,x2,…,xn, удовлетворяющие получившейся системе.Поскольку (x(0)1,x(0)2,…,x(0)n). также было решением системы (6.16), то x1=x(0)1, x2=x(0)2,…, xm=x(0)m . Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции Лагранжа. Теорема 6.2: Пусть функции f0, f1, f2,…, fm непрерывно дифференцируема в области G Rn, x(0) G fi(x)=0, i=1,2,3,…,n а ранг матрицы Якоби функций f1, f2,…, fm в точке x(0) равен m.Для того чтобы в точке x(0)=(x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) градиент f0 являлся линейной комбинацией градиентов f1, f2,…, fm необходимо и достаточно, чтобы точка x(0)=(x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) была стационарной точкой для функции. g(x)=g(xm+1,…,xn) Напомним,что если в точке x(0) градиент f0 является линейной комбинацией f0= 1f1+ 2f2+…+ mfm (6.25) градиентов f1, f2,…, fm, то это равносильно тому, что существует функция Лагранжа F= f0- 1f1- 2f2-…- mfm (6.26) для которой точка x(0) является стационарной : F(x(0)) xi i=1,2,…,n (6.27) Это просто координатная запись (6.25) ,ибо в силу (6.26) F(x(0)) f0 f1 f2 fm xi xi xi xi xi i=1,2,…,m Доказательство: По условию ранг матрицы Якоби системы функций f1, f2,…, fm в точке x(0) равен m .Будем считать для определенности , как и в пункте 6.2 ,что (f1, f2,…, fm) (x1,x2,…,xm) x(0) (6.28) Подставим в уравнение связи (6.3) функции (6.5) , являющиеся решением этих уравнений , и продеффиренцируем получившееся относительно переменных xm+1,…,xn тождества.Получим для точки x(0) равенства dfi(x(0))=0, i=1,2,…,m, справедливые для любых приращений dxm+1,…,dxn независимых переменных xm+1,…,xn (напомним, что дифференциал являетсся линейной функцией , определенной на всем пространстве)Использовав инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных , получим , что в точке выполняется равенство fi fi fi fi i=1,2,…,m x1 xm xm+1 xn (6.29) где xm+1,…,xn произвольные , а x1,…,xm находятся изформул (6.5). Таким образом вектор dx=( dx1,…,dxm,dxm+1,…,dxn) является решением линейной однородной системы (6.29). Отметим , что в силу условия (6.28) значения dx1,…,dxm при заданных dxm+1,…,dxn однозначно находятся и из системы (6.29). Из замечания 2 следует также , что указанным способом получаются все решения системы (6.29). Стационарность точки x(0) для функции g(x)=g(xm+1,…,xn) означает , что dg(x(0)).Это равенство , в силу инвариантности формы первого дифференциала, можно более подробно записать в виде f0 f0 f0 f0 x1 xm xm+1 xn (6.31) где dxm+1,…,dxn можно задавать произвольно, а dx1,…,dxm следует находить из формул (6.5) или , что дает тотже результат из формул (6.29). Инач говоря , любое решение системы уравнений (6.29) является и решением уравнения (6.31). Согласно следствию из леммы это возможно тогда и тoлько тогда , когда уравнение (6.31) является линейной комбинацией уравнений системы (6.29) , т.е. когда существуют такие числа , что f0= 1f1+ 2f2+…+ mfm ч.т.д. Замечание 3 : Согласно замечанию 2 совокупность всех решений систеиы уравнений (6.29) образуют подпространство Т пространства Rn, являющееся ортогональным дополнением к подпространству L=Z( f1, f2,…, fm) . Любой вектор y T ортогонален каждому градиенту fi , а поэтому его естественно назвать касательным вектором в точке x(0) к гиперповерхности fi(x)=0 , являющиеся множеством уровня функций fi,i=1,2,…,m. Таким образом , пространство решений Т системы (6.29) состоит из векторов , касательных одновременно ко всем гиперповерхностям fi(x)=0 ,i=1,2,…,m, и потому его называют касательным пространством персечений всех гиперповерхностей fi(x)=0 ,i=1,2,…,m . Напомним , что векторы касательноо пространства Т ,т.е. решения системы (6.29), были обознаены через dx (см.(6.30)). Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2 имеет место включение f0 L=Z( f1, f2,…, fm) то f0 T Иначе говоря, градиент f0 одновременно ортогонален всем касательным dx к гиперповерхностям fi(x)=0 ,i=1,2,…,m: ( f0,dx)=0 (это другая запись уравнения (6.31)), т.е. градиент f0 перпендикулярен касательному пространству Т в точке x(0) .Но множество всех векторов , ортогональных к f0, образуют (n-1)– мерное пространство Т0 , называемое касательным пространством к гиперповерхности f |
Похожие:
 | Решение (ỹ(t), (t)) “подозрительно” на то, что является элементом максимума Принцип максимума является необходимым условием минимума в задаче оптимального управления. Ввиду сложности, мы не приводим его доказательство,... |  | Рабочая программа индивидуальных и групповых занятий «Решение задач повышенной трудности» Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний... |
| Урок изучения нового материала с использованием метода работы в группах Цель урока: Создание условий для усвоения алгоритма исследования функции с помощью производной | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предел функции в точке. Предел последовательности. Общие свойства предела функции. Предел функции в точке по множеству. Необходимое... |
| Рабочая программа дисциплины «Математика» «Дифференциальные уравнения». Современный специалист должен обладать навыками математической формализации стоящих перед ним задач,... | | Рабочая программа дисциплины «Математика» «Дифференциальные уравнения». Современный специалист должен обладать навыками математической формализации стоящих перед ним задач,... |
| 1. Центральный банк, его правовое положение, задачи и функции Важнейшей функцией Центрального банка является выработка общей кредитной политики. Его стратегическая задача создание условий для... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Деятельность выступает как необходимое условие развития у ребенка познавательных процессов. Значит, образовательная задача состоит... |
| Реферат На тему: «Кибераудирование / говорение на уроке французского языка» Федеральный государственный образовательный стандарт (фгос) начального, основного и среднего общего образования знаменует собой переход... | | Задача распознавания образов символов состоит в определении (построении)... Г-н Журден. Честное слово, я и не подозревал, что вот уже более сорока лет говорю прозой. Большое вам спасибо, что сказали |
| Задача распознавания образов символов состоит в определении (построении)... Г-н Журден. Честное слово, я и не подозревал, что вот уже более сорока лет говорю прозой. Большое вам спасибо, что сказали | | 1 Бакалавр готовится к следующим видам профессиональной деятельности... Целью учебной дисциплины бз. Вр. 13 «Преступления против порядка управления» является формирование у бакалавров профессиональных... |
| Основные дидактические единицы (разделы) Целью изучения дисциплины «Иностранный язык» является формирование и развитие коммуникативных компетенций (говорение, письмо, чтение,... | | Задача обучения математики До недавнего времени считалось, что главная задача школы состоит в том, чтобы дать каждому школьнику общей среднее образование в... |
| Рабочая программа дисциплины (модуля) Конституционное право Направление... Целью учебной дисциплины «Конституционное право» является формирование у студентов профессиональных компетенций, необходимых и достаточных... | | Обобщенная теорема Фалеса В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной.... |
