Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий существования максимума и минимума функции, выборе метода нахожденя экстремумов и их полном математическом обосновании

Скачать 0.51 Mb.

Название	Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий существования максимума и минимума функции, выборе метода нахожденя экстремумов и их полном математическом обосновании
страница	4/4
Дата публикации	26.05.2015
Размер	0.51 Mb.
Тип	Задача

100-bal.ru > Математика > Задача

1 2 3 4

₀(x)= f₀(x⁽⁰⁾) .В силу сказанного выше , каждый вектор из Т , будучи ортогонален градиенту f₀, принадлежит к Т₀ , т.е. Т Т₀.

Итак , если x⁽⁰⁾ – точка условного экстремума , то . Т Т₀ , т.е. касательное пространство в точке x⁽⁰⁾ пересечения всех гиперповерхностей , задаваемых уравнениями связи , содержится в касательном пространстве в той же точке гиперповерхности.

Замечание 4 : Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие теоремы 1.В самом деле , если x⁽⁰⁾ является точкой условногo экстремума , то является x⁽⁰⁾ точкой обычного экстремума для функции () и , следовательно , ее стационаоной точкой . Поэтому согласно теореме 2 точка x⁽⁰⁾ является стационарной точкой для функции Лагранжа , т.е.выполняется условие .
6.5.Достаточные условия для точек условного экстремума.
В этом пункте также будем предполагать выполненными все предположения , наложенные на функции в пункте 6.2.Пусть

F= f₀+ _if_i

-функции Лагранжа (см.(6.11)) для функции f₀ и уравнений связи(6.3).Пусть x⁽⁰⁾ G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой функции Лагаранжа , т.е. точкой , координаты которой удовлетворяют системе уравнений (6.10) и (6.3). Нашей целью является получение метода , с помощью которого можно установить условия , достаточные для того , чтобы x⁽⁰⁾ являлась точкой условного экстремума рассматриваемой задачи.

Заметим прежде всего , что если точка x G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) , то

f= f(x)-f(x⁽⁰⁾)=F(x)-F(x⁽⁰⁾)= F (6.32)

Отсюда сразу видно , что если x⁽⁰⁾ является точкой обычного экстремума для функции F, т.е. F не меняет знака в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾, то x⁽⁰⁾ является точкой условного экстремума для функции f₀ .

Действительно , из (6.32) следует в этом случае , что приращение f₀для допустимых значений х , т.е. удовлетворяющих уравнениям связи , также не меняет знак, Это достаточное условие , однако , накладывает слишком сильное ограничение на поведение функции Лагранжа F(x) в рассматриваемой точке – она должна иметь обычный экстремум , что сильно сужает область возможного применения указанного условия при решении задач.Поэтому целесообразно получить более общий достаточный признак условного экстремума .

Пусть x⁽⁰⁾= (x⁽⁰⁾₁,x⁽⁰⁾₂,…,x⁽⁰⁾_n) удовлетворяет уравнениям связи (6.3).Вернемся к рассмотрению функции (6.6) , т.е. функции g(x)=g(x_m+1,…,x_n) , получаемой из f₀(x)= f₀(x₁,x₂,…,x_n) при условии , что являются x₁,x₂,…,x_m функциями переменных x_m+1,…,x_n определяемых уравнениями связи (6.3) в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾.Будем дополнительно предполагать , что f₀(x ) и f_i(x ) ,i=1,2,…,m дважды непрерывно дифференцируема в точке x⁽⁰⁾.

Выше отмечалось (в пункте 6.2) , что x⁽⁰⁾ является точкой условного (строгого) экстремума для функции f₀(x) относительно уравнений связи (6.3) тогда и только тогда , когда x⁽⁰⁾ является точкой обычного (строгого) экстремума для функции g(x).Поэтому , если например , в точке x⁽⁰⁾ функция g(x) удовлетворяет достаточным условиям существования строгого экстремума,то в этой точке функция f₀(x) имеет условный строгий экстремум относительно уравнений связи (6.3).Достаточные условия для обычного сторого экстремума были получены нами ранее .Для нашего случая они имееют вид :

g(x⁽⁰⁾)

x_i i=m+1,…,n; (6.33)

2)второй дифферециал

²g(x⁽⁰⁾ )

d²g(x⁽⁰⁾ )= -----------dx_idx_j (6.34)

x_i x_j

является положительно или отрицательно определенной квадратичной формой.

При выполнении этих условий x⁽⁰⁾ является точкой строгого минимума или максимума для функции g(x).В силу сказанного выше указанные условия являются и достаточными условиями для того, чтобы x⁽⁰⁾ являлось точкой условного строго минимума (максимума) для функции f₀(x) относительно уравнений связи (6.3). Однако они неудобны для практического использования , так как требуют знания функции g(x).Поэтому , исходя из полученных достаточных условий условного строгого экстремума , выраженных посредством функции g(x) , получим достаточные условия того же экстремума , но выраженные только через функцию Лагранжа и уоавнений связи.

Прежде всего заметим , что в силу условия (6.4) система (6.29) разрешима, и притом однозначно, относительно dx₁,…,dx_m при произвольно фиксированных dx_m+1,…,dx_n .Систему (6.29), выражающую равенство нулю дифференциалов функции f_i(x) в точке x⁽⁰⁾:

d f_i(x)=0, i=1,2,…,m

при выполнении условий (6.3) , будем записывать кратко в виде :

df=0 (6.35)

где

f=(f₁,f₂,…,f_m)

Пусть x⁽⁰⁾ является стационарной точкой для функции Лагранжа F(x).Это означает, что dF(x⁽⁰⁾)=0, т.е. что в этой точке f₀+ _if_i=0.В теореме 2 показано, что в том случае x⁽⁰⁾ является стационарной точкой для функции, т.е.

dg(x⁽⁰⁾)=0 (6.36)

Поясним еще раз вывод этой формулы и покажем, что

d²g(x⁽⁰⁾ )= d²F(x⁽⁰⁾ ) _df=0 (6.37)
Это равенство следует понимать как равенство функции n-m переменных dx_m+1,…,dx_n.В правой части равенства (6.37) остальные переменные dx₁,…,dx_m, которые входят в выражения написанных дифференциалов, определяются из системы уравнений (6.35) или, что равносильно (см. формулы (6.5))

dx_k=d _k(x₁,x₂,…,x_n-m), k=1,2,…,m

Используя инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных и формулу (6.6), имеем

f₀ (x⁽⁰⁾ )

dg(x⁽⁰⁾ )= -----------dx_j

x_j

Прибавим к этому равенству сумму (равную нулю) левых частей тождеств (6.29), умноженных соответственно на постоянные _i, входящие в функцию Лагранжа F(x) (точнее, i-е равенство (6.29) умножается на постоянную _i).Тогда, использовав условие (6.11), получим

F(x⁽⁰⁾)

dg(x⁽⁰⁾ )= -------[f₀ (x )+ _if_i (x)] dx_j= --------- dx_j=0

x_j x=x₀x_j

Утверждение (6.36) доказано.

Равенство (6.37) доказывается аналогичным приемом.Прежде всего напишем второй дифференциал для функции g(x) в точке x⁽⁰⁾:

²f₀(x⁽⁰⁾ ) f₀(x⁽⁰⁾ )

d²g(x⁽⁰⁾ )= -----------dx_jdx_k + ----------- d²x_j (6.38)

x_j x_k x_j
Далее продифференцировав тождества, получающиеся в результате дифференцирования уравнений связи (6.3), т.е. тождества будем иметь в точке x⁽⁰⁾ :

²f₀(x⁽⁰⁾ ) f₀(x⁽⁰⁾ )

d²g(x⁽⁰⁾ )= -----------dx_jdx_k + ----------- d²x_j =0 (6.39)

x_j x_k x_j

i=1,2,…,n
Умножив i–е равенство (6.39) на постоянную _i, входящую в функцию Лагранжа F(x), прибавим получившееся выражение к правой части равенства (6.38) ; тогда получим

²F(x⁽⁰⁾ ) F(x⁽⁰⁾ )

d²g(x⁽⁰⁾ )= -----------dx_jdx_k + ----------- d²x_j (6.38)

x_j x_k x_j
где dx_i, i=1,2,…,n удовлетворяет системе уравнений (6.35).Поскольку x⁽⁰⁾ точка стационарная для функции Лагранжа, то второй член получившегося равенства обращается в нуль, и тем самым формула (6.37) доказана.

Будем говорить, что квадратичная форма d²F(x⁽⁰⁾ ) является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx_i, i=1,2,…,n, при условии, что эти переменные удовлетворяют системе уравнений (6.35), если для любых dx_i, i=1,2,…,n , удовлетворяющих этой системе уравнений и таких, что (dx_i)²>0 выполняется неравенство d²F(x⁽⁰⁾ ) >0 (соответственно d²F(x⁽⁰⁾ ) <0)

Пусть точка x⁽⁰⁾ удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной для функции Лагранжа (6.11) и пусть второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx₁,…,dx_n, при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.35).Тогда из (6.36) и (6.37) следует, что x⁽⁰⁾ является стационарной точкой для функции g(x) и что второй дифференциал этой функции в точке x⁽⁰⁾ является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx_m+1,…,dx_n, и, следовательно, функция имеет в точке x⁽⁰⁾ строгий минимум (максимум) , а значит, функция f₀(x) имеет в точке x⁽⁰⁾ условный строгий минимум (максимум) относительно уравнений связи (6.3).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 6.3: Если x⁽⁰⁾ удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой для функции Лагранжа (6.11) и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx₁,…,dx_n при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.29), то x⁽⁰⁾ является точкой строгого минимума (максимума) для функции f относительно уравнений связи (6.3).

Таким образом, чтобы исследовать стационарную точку функции Лагранжа (6.11) на условный экстремум, надо исследовать на определенность квадратичную форму (6.37), т.е. второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке при выполнении условий связи (6.3) (когда дифференциалы dx_i, i=1,2,…,n связаны соотношениями (6.29)).При этом следует иметь в виду, что если второй дифференциал функции Лагранжа в рассматриваемой точке окажнтся положительно (отрицательно) определенным и без выполнения условий связи, то он будет и таковым , конечно, и при их выплнении.

.

7.Заключение.

Математический анализ это совершенно естественная, простая и элементарная наука, ничуть не более заумная, сложная или “высшая”, чем, скажем, “элементарная” геометрия. Многие теоремы, традиционно входившие в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.

Привнесение элементов математического анализа в школьные программы неизбежно приведет к перестройке и других областей математического образования – изменится содержание конкурсных задач, кружковой работы, математических олимпиад и многого другого. Теперь уже невозможно не учитывввать, что школьник должен знать нечто из ранее недоступной ему высшей математики.

При этом следует иметь в виду, что если освоены лишь самые основы математического анализа, можно уже делать попытки подобраться ко многим современным проблемам.

При рассмотрении данной темы дипломного проекта теоритические сведения подтвердились практическим доказательством и математическим обоснованием.

8. Библиография.
1.А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович Краткий курс математического анализа.-М.: Наука, 1973.

2.И.Е.Жак Дифференциальное исчисление.-М.:Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960.

3.Г.И.Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу.-М.: Высшая школа,1966.

4.В.А.Зорич Математический анализ.-М.: Наука, 1981.

5.А.П.Картышев, Б.Л.Рождественский Математический анализ.-М.: Наука, 1984.

6.А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1981.

7.Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа.-М.: Высшая школа, 1981.

8.А.Г.Моркович, А.С.Солодовников Математический анализ.-М.: Высшая школа, 1990.

9.Н.С.Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление. т.1.-М.: Наука, 1978.

10.К.А.Рыбников История математики.-М.:Издательство Московского университета, 1994.

11.В.М.Тихомиров Рассказы о максимумах и минимумах.-М.:Наука, 1986.

12.Г.М.Фихтенгольц Основы математического анализа. т.2.-М.: Наука, 1968.

13.Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. т.1.-М.: Наука, 1969.

1 2 3 4

Похожие:

	Решение (ỹ(t), (t)) “подозрительно” на то, что является элементом максимума Принцип максимума является необходимым условием минимума в задаче оптимального управления. Ввиду сложности, мы не приводим его доказательство,...		Рабочая программа индивидуальных и групповых занятий «Решение задач повышенной трудности» Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний...
	Урок изучения нового материала с использованием метода работы в группах Цель урока: Создание условий для усвоения алгоритма исследования функции с помощью производной		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предел функции в точке. Предел последовательности. Общие свойства предела функции. Предел функции в точке по множеству. Необходимое...
	Рабочая программа дисциплины «Математика» «Дифференциальные уравнения». Современный специалист должен обладать навыками математической формализации стоящих перед ним задач,...		Рабочая программа дисциплины «Математика» «Дифференциальные уравнения». Современный специалист должен обладать навыками математической формализации стоящих перед ним задач,...
	1. Центральный банк, его правовое положение, задачи и функции Важнейшей функцией Центрального банка является выработка общей кредитной политики. Его стратегическая задача создание условий для...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Деятельность выступает как необходимое условие развития у ребенка познавательных процессов. Значит, образовательная задача состоит...
	Реферат На тему: «Кибераудирование / говорение на уроке французского языка» Федеральный государственный образовательный стандарт (фгос) начального, основного и среднего общего образования знаменует собой переход...		Задача распознавания образов символов состоит в определении (построении)... Г-н Журден. Честное слово, я и не подозревал, что вот уже более сорока лет говорю прозой. Большое вам спасибо, что сказали
	Задача распознавания образов символов состоит в определении (построении)... Г-н Журден. Честное слово, я и не подозревал, что вот уже более сорока лет говорю прозой. Большое вам спасибо, что сказали		1 Бакалавр готовится к следующим видам профессиональной деятельности... Целью учебной дисциплины бз. Вр. 13 «Преступления против порядка управления» является формирование у бакалавров профессиональных...
	Основные дидактические единицы (разделы) Целью изучения дисциплины «Иностранный язык» является формирование и развитие коммуникативных компетенций (говорение, письмо, чтение,...		Задача обучения математики До недавнего времени считалось, что главная задача школы состоит в том, чтобы дать каждому школьнику общей среднее образование в...
	Рабочая программа дисциплины (модуля) Конституционное право Направление... Целью учебной дисциплины «Конституционное право» является формирование у студентов профессиональных компетенций, необходимых и достаточных...		Обобщенная теорема Фалеса В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной....

Школьные материалы