Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Скачать 2.1 Mb.

Название	Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
страница	9/27
Дата публикации	26.05.2015
Размер	2.1 Mb.
Тип	Решение

100-bal.ru > Математика > Решение

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 27

метод Эйлера.

Суть его состоит в последовательном построении ломаной, начинающейся в точке (Хо,Yо), заданной начальным условием и дающей приблизительный вид графика искомой функции Y(х). Для построения первого (а затем и каждого следующего) участка ломаной в этом методе мы вычисляем значение f(Xo,Yо), проводим прямую из данной точки с полученным угловым коэффициентом. Поскольку Y'(Хо)=f(Хо,Yо), то эта прямая будет касательной к интегральной кривой в точке (Хо,Yо). Поэтому мы и заменяем часть графика функции на отрезок касательной к ней. Далее, из новой полученной точки мы делаем следующий такой же шаг и т.д.

Метод Эйлера хорош тем, что он прост и нагляден, но к сожалению , он очень плох в смысле точности приближения и дает лишь приблизительный вид интегральной кривой.

Говоря о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений, мы ограничимся еще более частным случаем постановки задачи, в которой требуется лишь определить значение неизвестной функции Y(х) в одной точке b.

Общая схема численных методов.

1.Делим отрезок [a,b] на n-равных частей точками а=X_o12<…n=b или X_i=a+ih

2.Последовательно, при i=0,1,2,…,(n-1) осуществляем переход от точки (Хi,Yi) к точке (Х_i₊₁,Y_i₊₁) по формуле Y_i₊₁=Yi+Уi, где на каждом отрезке величина Уi вычисляется по одному и тому же закону, задающему метод решения уравнений.

Метод Эйлера, который мы рассматривали как графический, легко интерпретировать и как численный метод. Из описания этого метода сразу же видно, что приращение Yi вычисляется как линейное приращение функции. На отрезке длины h формула для приращения функции примет вид Yi=h f(Xi,Yi), откуда и получаем закон перехода в методе Эйлера: Y_i₊₁=Yi+hf(Xi,Yi).

Как уже отмечалось, погрешность этого метода очень велика, она достигает величин порядка h, т.е. метод Эйлера -первого порядка точности. Для улучшения точности вычислений применяют многошаговую систему перехода от точки (Xi,Yi) к следующей.

методы Рунге-Кутта

Например, в одном из усовершенствований метода Эйлера, который также называют методом Рунге-Кутта второго порядка, переход осуществляют в два этапа по формулам:

Zi = Yi +h/2*f(Xi,Yi) Y_i₊₁=Yi+h*f(Xi+h/2,Zi).

При этом получается погрешность порядка h².

А самый распространенный на практике метод - метод Рунге-Кутта четвертого порядка, в котором точность имеет порядок величины h⁴, а переход к следующей точке осуществляется с помощью четырех вспомогательных величин:

k1= h*f(Xi,Yi)

k2= h*f(Xi+h/2,Yi+k1/2)

k3= h*f(Xi+h/2,Yi+k2/2)

k4= h*f(Xi+h,Yi+k3)

После вычисления этих вспомогательных величин переход от точки (Xi,Yi) к следующей точке осуществляется по формуле Y_i₊₁=Yi+1/6*(k1+2k2+2k3+k4).

Упражнение 4.5. Выяснить геометрический смысл перехода к следующей точке по формулам усовершенствованного метода Эйлера.

Оценка точности в методах Рунге-Кутта второго и четвертого порядков на практике производится с помощью метода двойного счета, сформулированного в предыдущем параграфе.

Упражнение 4.6. Выписать и объяснить формулы оценки точности в методах Рунге-Кутта второго и четвертого порядков.

Поясним происхождение формул в методах Рунге-Кутта. Для получения закона вычисления значения Y(x) в каждой следующей точке поступают приблизительно так: выписывают разложение неизвестной функции в ряд Тейлора в точке Xi, как мы проделывали это выше, затем берут несколько первых членов этого разложения, и преобразуют полученную формулу Тейлора. После подставления Xi вместо переменной X и получают окончательное правило перехода к следующей точке.

Легко убедиться, что при выписывании разложения в ряд Тейлора только до линейного члена и подстановки значения X мы получим формулу метода Эйлера, т.е. и он является частным случаем общих методов Рунге-Кутта.

Пример 4.3. Применим формулы разобранных методов для нахождения значения функции Y(x) в точке 1, если эта функция удовлетворяет уравнению y'=y с начальным условием y(0)=1.

При решении методом Эйлера (n=2) имеем:

Y₁=Y₀+hf(X₀,Y₀)=1+0.5f(0,1)=1.5, Y(b)=Y₂=Y₁+hf(X₁,Y₁)=1.5+0.5f(0.5,1.5)=2.25.

При решении методом Рунге-Кутта 2-го порядка (n=1) имеем:

Z₀=Y₀+h/2*f(X₀,Y₀)=1+0.5f(0,1)=1.5, Y(b)=Y₁=Y₀+hf(X₀+h/2,Z₀)=1+f(0.5,1.5)=2.5.

При решении методом Рунге-Кутта 4-го порядка (n=1) имеем:

k1=h*f(X₀,Y₀)= 1*f(0,1)= 1

k2=h*f(X₀+h/2,Y₀+k1/2)= 1*f(0.5,1.5)= 1.5

k3=h*f(X₀+h/2,Y₀+k2/2)=1*f(0.5,1.75)=1.75

k4=h*f(X₀+h,Y₀+k3)= 1*f(1,2.75)=2.75

Y(b)=Y₁=Y₀+1/6*(k1+2k2+2k3+k4)=1+1/6*(1+3+3.5+2.75)=65/24

Упражнение 4.7. Найти точный ответ и сравнить погрешности, полученные при решении тремя различными методами.

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 27

Похожие:

	Урока по теме: «уравнения. Решение задач с помощью уравнений» Зун учащихся по теме «Уравнения. Решение задач с помощью уравнений», навыков устных и письменных вычислений, упрощения алгебраических...		Урок математики в 6 ом классе по теме : «решение уравнений» Обучающие цели: повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Решение уравнений» и их применение отработка практических...
	Тематический план модуля «Решение некоторых трансцендентных уравнений и неравенств» Методические указания по выполнению выпускной квалификационной работы для специальности среднего профессионального образования 030912...		Тематический план курса I. Целые рациональные уравнения. 21 Лекция... Сведение уравнения к квадратному с помощью удачной подстановки. 13 Решение возвратных и обобщенных возвратных уравнений. 23 Решение...
	Урок конференция по теме "Решение задач с помощью квадратных уравнений" 8-й класс Решение задач с помощью квадратных уравнений”. Продолжить закрепление решение квадратных уравнений по формуле		Решение иррациональных уравнений и систем (10 класс) Цель: Закрепить решение иррациональных уравнений; развивать логическое мышление; расширять кругозор учащихся
	Дипломная работа «О некоторых применениях алгебры матриц» В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических...		Радиофизический факультет Ип в различных системах. Также содержание дисциплины направлено на обучение студентов основам решения задач линейной алгебры, решения...
	Оригинальность идеи и подхода, использование разнообразных приемов Определители. И их применение к решению систем линейных алгебраических уравнений		Тема: Решение задач с помощью системы уравнений первой и второй степени. Здравствуйте, ребята. Ещё начиная с начальной школы вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым...
	Тема : Решение показательные уравнений Сегодня я дам вам действовать,чтобы вы поняли и запомнили способы и методы решения показательных уравнений		Урок математики в 4 классе по теме «Решение уравнений вида х×8 = 26 + 70» Познакомить с приемом решения уравнений на основе знаний связи между множителями и произведением
	Конспект урока на обобщающее повторение алгебры в 11 классе по теме... Повторение и обобщение знаний учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»		Элективный курс. Выполнила учитель математики моу сош №29 г. Чебоксары Морушкина Вера Васильевна Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр. 5
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем		Решение уравнений, содержащих параметры, один из труднейших разделов... Предлагаемый курс «Методы решения алгебраических задач с параметром» является предметно-ориентированным и предназначен для реализации...

Школьные материалы

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

метод Эйлера.

Общая схема численных методов.

методы Рунге-Кутта

Похожие: