Реферат по дисциплине: «Математика» на тему: «Задачи на клетчатой бумаге»

Суетовская муниципальная средняя (полная) общеобразовательная школа Ярцевского района Смоленской области РЕФЕРАТ по дисциплине: «Математика» на тему: «Задачи на клетчатой бумаге» Выполнили: учащиеся 8 класса Гасимова София Илгам кызы, Лущик Виктория Анатольевна, Максимова Алина Владимировна, Петрова Валерия Александровна. Руководитель: учитель математики Буренкова Елена Алексеевна Суетово – 2011 Содержание Стр. 1.Введение………………………………………………………………...3 2. Глава 1. Задачи на нахождение площади многоугольника. Формула Пика………………………………………………...6 3. Глава 2. Сколько узлов на отрезке? …………………………………11 4. Глава 3. Задачи на разрезание ……………………………………….15 5. Глава 4. Расстояние в «клетчатом» городе …………………………19 6. Глава 5. Игры на клетчатой бумаге ………………………………....22 7. Глава 6. Интересные факты…………………………………..............25 8. Заключение …………………………………………………………....27 9. Список литературы……………………………………………………29 Введение «Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь» Д. Пойя Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – школьные, городские, дистанционные, международные. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ в нашем кабинете математики, решили обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры. Мы приступили к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Мы научились вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, встретились с совсем новыми, необычными «расстояниями», узнали, как раскраска клеточек помогает решать многие задачи, познакомились поближе с задачами на разрезание и, наконец, научились играть в увлекательные игры на листке бумаги в клетку. Однако чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения мы не встретили. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания. Очень вероятно, потому, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании. Мы определили: Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения. Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации. Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач. Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач: Подобрать необходимую литературу Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию Проанализировать и систематизировать полученную информацию Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге Классифицировать исследуемые задачи Оформить работу в виде буклета Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам Гипотеза: возможно, многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности. Задачи на бумаге в клетку помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении задач на клетчатой бумаге нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе. Глава 1. Задачи на нахождение площади многоугольника. Формула Пика Мы считаем настоящей жемчужиной нашего исследования формулу Пика! Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.[6] Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно Рис. 1 разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить. Но тут нас ждёт много хлопот (попробуйте!). Давайте «схитрим»: вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий. Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо? Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика. Рис. 2 Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис. 2). Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна S = В + + 4 · = В + - 1 . Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + - 1 . Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки! Это и есть формула Пика. Задача 1. Проверить формулу Пика для многоугольника на рисунке 1. Решение. В = 14, Г = 8. По формуле Пика: S = В + - 1 . S = 14 + 8/2 – 1 = 17 Ответ: 17 кв. ед. Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров. Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, Рис. 3 то для него верна формула Пика. Попробуйте вычислить площади многоугольников с рисунка 3, используя формулу Пика. Правда ведь, легко получается! Рассмотрим ещё некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см Задача 2.[12] Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.4). Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 8, Г = 6 Рис. 4 S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²) Ответ: 10 см². Задача 3. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.5) Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 6, Г = 6 S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²) Рис. 5 Ответ: 8 см². Задача 4. Найдите площадь треугольника АВС (рис.6) Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 6, Г = 5 S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²) Рис. 6 Ответ: 7,5 см². Задача 5. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (рис. 7) Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 5, Г = 7 S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²) Рис. 7 Ответ: 7,5 см². Согласитесь, рассмотренные задания аналогичны заданию В6 из вариантов контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике. Например: Задача 6.[7] В. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (рис. 8). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 12, Г = 6 Рис. 8 S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²) Ответ: 14 Задача 7.[14] В. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (рис. 9). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. Решение. Воспользуемся формулой Пика: В = 12, Г = 17 Рис. 9 S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²) Ответ: 19,5 Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием. Задача 8.[13] Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10) Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1 Рис. 10 В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²) 1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²) Ответ: 420 000 м² Задача 9. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11) Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1 В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²) Рис. 11 1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²) Ответ: 320 000 м² Глава 2. Сколько узлов на отрезке? Применение формулы Пика для вычисления площадей некоторых фигур не совсем удобно. Очень уж чётким должен быть чертёж и очень внимательно нужно его рассматривать, чтобы определить, лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на её границу. Как точно сосчитать число узлов на границе? Поскольку граница состоит из отрезков, то нас интересует количество узлов сетки, лежащих на произвольном отрезке с концами в узлах. Сделаем сначала небольшое наблюдение. Пусть А и В – узлы сетки. Обозначим через С первый узел, встречавшиеся после А на отрезке АВ (значит, между А и С больше нет узлов). Построим прямоугольный треугольник А СD с гипотенузой А С и катетами, лежащими на линиях сетки (рис.1). Если С ≠ В, то сместим этот треугольник вдоль отрезка АВ на расстояние А С. Получим равный ему треугольник ССD. Следовательно, С – узел, и между С и Снет узлов. Ясно, что если эту процедуру продолжить, мы когда-нибудь получим в качестве очередной точки С точку В – узел сетки. Рассматривая большой прямоугольный треугольник ARB с гипотенузой АВ, приходим к равенствам: Рис. 1 AR = (k+1) · AD, BR = (k+1) · СD , (1) AB = (k+1) · A С ‌ Теперь мы можем выяснить, сколько узлов Рис. 2. лежит между точками А и В(конечно, мы считаем, что А и В не лежат на одной линии сетки). Построим прямоугольный треугольник ARB с вершинами в узлах сетки и с гипотенузой АВ (рис.2). Пусть AR = р, BR = q. Понятно, что р и q – целые положительные числа. Теорема. Если р и q взаимно просты, то между А и В на отрезке АВ нет узлов сетки. Если же наибольший общий делитель р и q равен n, где n > 1 (НОД (р, q) = n > 1), то на отрезке АВ между точками А и В расположены ровно (n – 1) узлов сетки. Доказательство.1) Пусть числа p и q взаимно просты. Если между А и В были k узлов (k ≥ 1), то, взяв ближайший к А узел С, мы получим по формулам (1): p =(k+1) · AD, q = (k +1) · СD, то есть р и q имеют общий делитель k + 1, больший 1. Но ведь они взаимно просты! 2)Пусть НОД (р,q) = n > 1. Поделив отрезки AR и BR на n равных частей, мы опять приходим к рис.1, где С, С, …, С – какие-то узлы сетки и k=n – 1. Таким образом, в этом случае между точками А и В есть хотя бы n – 1 узел. Почему их не может быть больше, чем n – 1? В этом случае между узлами А и С были бы и другие узлы. Пусть С – ближайший к А узел. Тогда АС´ < АС, а значит, – целое число, большее, чем n (поскольку ). Но если мы воспользуемся формулой (1), то увидим, что р = AR = (k+1) · AD, q = BR = (k+1) · СD, где k + 1 = , а D – основание перпендикуляра, опущенного из точки С на AR. Но это невозможно, так как самый большой общий делитель чисел р и q равен n. Следовательно, между А и В ровно n – 1 узел. Теперь, не вглядываясь долго и напряжённо в картинку и не мучаясь сомнениями, вы всегда можете сказать, через сколько узлов проходит произвольный отрезок с концами в узлах сетки! Задача 1.[11] В прямоугольнике 4×7, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала? Задача 2. В прямоугольнике размером 200×300, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала на две части? Задача 3. В прямоугольнике 1000×1003, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала? Задачу 1 легко решить, просто «водя пальцем по картинке» Рис. 3 (рис.3). Для решения задачи 2 полезно вспомнить наши разговоры о количестве узлов на отрезке и обсуждение рис.1: ясно, что вдоль диагонали прямоугольника 200×300 можно расположить 100 прямоугольников 2×3, и в каждом из них, очевидно, диагональ будет рассекать по 4 клетки. Поэтому ответ к задаче 2 – четыреста клеток. В задаче 3 такие соображения, увы, не помогают: числа 1000 и 1003 взаимно не просты. Сформулируем эту задачу в общем виде: Сколько клеток рассекает на две части диагональ прямоугольника m×n, где m и n – взаимно простые числа? Заметим, что диагональ такого прямоугольника не проходит через узлы. Будем считать, что диагональ идёт из левого нижнего угла прямоугольника. Самой первой она рассекает левую нижнюю угловую клетку (клетку № 1), потом она попадёт в клетку № 2 (рис.4), и так далее. Пусть диагональ уже пересекла k клеток. Так как она ни разу не проходит через узел, то всегда можно однозначно указать, какую клетку она рассечёт после клетки с номером k. Итак, мы получили «цепочку», идущую из левого нижнего угла в правый верхний. Нам надо понять, Рис. 4 чему равно число клеток в этой цепочке. Дадим каждой клетке адрес (t, s), если она расположена в горизонтальном ряду с номером t и вертикальном ряду с номером s. Левый нижний угол получает адрес (1,1), а правый верхний – (m,n). Теперь остаётся заметить, что при переходе от клетки с номером k в нашей цепочке к клетке с номером k+1 сумма чисел t и s в адресе возрастает точно на 1. Значит, чтобы перейти от клетки с адресом (1,1) к клетке с адресом (m,n), надо сделать ровно m + n – 2 шагов, пройдя, таким образом, m + n – 1 клеток. Итак, ответ к задаче 3 – число клеток равно 2002. Объединим задачи 2 и 3. Пусть m и n – произвольные натуральные числа. Сколько клеток рассекает диагональ прямоугольника m×n? Пусть d = НОД (m×n). Как и при решении задачи 2, мы видим, что вдоль диагонали исходного прямоугольника образуется d маленьких прямоугольников  . Стороны этих маленьких прямоугольников уже взаимно просты, поэтому их диагонали рассекают по + – 1 клеток каждая. Значит, диагональ исходного прямоугольника рассечёт ( + – 1) · d = m + n – d клеток. Теперь при желании мы можем без труда сосчитать, сколько клеток рассекут диагонали следующих прямоугольников: 36×56, 105×24, 2003×111.

Похожие:

	Тема: "Симметрия на клетчатой бумаге" Цель: познакомить обучающихся с тем, что симметричные точки находятся на одном и том же расстоянии от оси симметрии		Реферат по дисциплине «Финансовый учет и отчетность» Реферат по дисциплине «Финансовый учет и отчетность» выполняется на белой бумаге формата а 4 размером 210 297 мм
	Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «И это ещё не всё о них…...		Реферат по дисциплине «Математика» на тему Богатовская средняя общеобразовательная школа «Образовательный центр» муниципального района Богатовский Самарской области
	Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «Простые числа» Изучая на уроках математики тему «Простые числа», я узнал из учебника и от учителя много интересных фактов по этой теме и мне захотелось...		Реферат по дисциплине «Математика» на тему : «Число» Целью нашего реферата является изучение истории возникновения числа π, его развития и применения в повседневной жизни
	Реферат по дисциплине «Математика» на тему : «Число» Целью нашего реферата является изучение истории возникновения числа π, его развития и применения в повседневной жизни		Реферат по дисциплине «Математика» на тему : «Древние «истоки» геометрии» Муниципальное казённое образовательное учреждение Никольская средняя общеобразовательная школа Новоусманского муниципального района...
	Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «История развития математики» Развитие математики началось с создания практического счёта измерения линий, поверхностей и объёмов		Реферат по дисциплине «Философия» на тему: «Роль философии в жизни общества» «свести на нет» арифметику, на которой зиждится вся алгебра, геометрия и высшая математика. Казалось бы, что более «приземленной»...
	Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «Функции и окружающий нас мир» Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Краснооктябрьская средняя общеобразовательная школа» мо «Медведевский муниципальный...		Реферат по дисциплине: «Математика» на тему: «История возникновения и развития чисел» Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось...
	Реферат по дисциплине «Математика на тему «Это удивительное число семь» Среди тайн особое место занимают тайны чисел, их возникновение и влияние на людей. Мы сталкиваемся с числами на каждом шагу, они...		Реферат по дисциплине: Высшая математика на тему: Асимптоты (определение,... Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает...
	Методическая разработка по дисциплине «Математика» на тему: «Корни n -ой степени» Приложение		Реферат по дисциплине: «Математика» по теме: «Необыкновенные обыкновенные дроби»