9.Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента Тематика заданий текущего контроля
Контрольная работа по теме «Функции одной переменной».
Домашнее задание по теме «Интегралы».
Контрольная работа по теме «Матрицы, определители. Системы линейных уравнений».
Контрольная работа «Элементы аналитической геометрии плоскости и пространства».
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Понятие множества, элемента множества.
Пустое множество, подмножество.
Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, декартовое произведение.
Конечные и бесконечные множества. Равномощные множества. Счетные множества.
Структура множества действительных чисел: натуральный ряд, целые, рациональные, иррациональные числа.
Подмножества множества действительных чисел: отрезок, интервал, полуинтервал, окрестность.
Понятие наибольшего (наименьшего) элемента числового множества, грани множеств, точные грани множеств.
Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани.
Понятие числовой последовательности. Основные способы задания последовательностей.
Предел числовой последовательности, конечный и бесконечный, сходящаяся последовательность, предел справа (слева).
Свойства сходящихся последовательностей.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Основные свойства бесконечно малых.
Понятие монотонной последовательности. Существование предела ограниченной монотонной последовательности.
Число «е». Экономический смысл числа «е» и экспоненты.
Лемма Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности.
Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.
Понятие функции.
Способы задания функции: аналитический, логический, графический, табличный.
Задача интерполяции.
Неявно заданная функция.
Функции заданные параметрически.
Общие свойства функций: область определения, множество значений, четность, периодичность, нули функции, ограниченность, монотонность, наибольшее, наименьшее значение функции на множестве.
Операции над функциями.
Сложная функция.
Понятие обратной функции.
Основные свойства взаимно-обратных функций.
Простейшие элементарные функции (графики, основные свойства).
Элементарные функции: целые рациональные (линейная, квадратичная функции), дробно-рациональные (дробно-линейная функция), иррациональные, трансцендентные.
Функции в экономическом анализе.
Предел функции. Определение предела функции в терминах – , в терминах последовательностей.
Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших.
Существование предела монотонной функции.
Критерий Коши существования предела функции.
Вычисление пределов: пределы основных элементарных функций, предел многочлена, рациональной дроби. Типы неопределенностей.
Первый замечательный предел, его следствия.
Второй замечательный предел, его следствия.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших в окрестности заданной точки.
Различные определения непрерывности функций в точке.
Точки разрыва, их классификация.
Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций; теорема о непрерывности сложной функции.
Равномерная непрерывность функции. Связь с понятием непрерывности. Теорема Кантора.
Определение производной функции в точке, понятие правой и левой производной.
Вычисление производной по определению.
Понятие дифференцируемости функции в точке, теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости.
Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
Уравнения касательной и нормали к графику функции. Физический смысл производной.
Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
Производная обратной функции.
Производная и дифференциал сложной функции, инвариантность формы первого дифференциала.
Производные основных элементарных функций.
Таблица производных.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Локальный экстремум функции. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).
Теорема Ролля (о нуле производной).
Теорема Лагранжа, формула конечных приращений. Условие постоянства функции.
Теорема Коши, обобщенная формула конечных приращений.
Правило Лопиталя, (случай 0/0, случай /). Раскрытие неопределенностей.
Формула Тейлора.
Различные формы остаточного члена формулы Тейлора (Лагранжа, Пеано).
Формула Маклорена.
Общая схема исследования функции на монотонность.
Необходимое условие экстремума. Стационарные точки. Экстремум функции, не дифференцируемой на интервале, критические точки.
Достаточные условия экстремума по первой производной, по старшим производным. Общая схема решения задачи на экстремум функции.
Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке.
Направление выпуклости графика функции. Признак направления выпуклости. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия перегиба.
Асимптоты графика функции.
Общая схема исследования функции и построения графиков.
Понятие n-мерного евклидового пространства (Rn). Окрестности точек в Rn.
Последовательности точек в n-мерном пространстве. Сходящиеся последовательности. Теорема о сходимости последовательностей координат для сходящейся последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности в Rn, теорема Больцано–Вейерштрасса.
Множества в n-мерном евклидовом пространстве.
Внутренние и граничные точки, предельные точки и точки прикосновения. Открытые, замкнутые множества в Rn.
Понятие функции нескольких переменных. График функции. Множества уровня.
Предел функции n переменных.
Непрерывность функции. Предел по множеству. Повторные пределы. Свойства пределов функции.
Свойства непрерывных функций на множествах: аналоги теорем Вейерштрасса и Больцано–Коши. Равномерная непрерывность. Терема Кантора.
Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных.
Дифференциал.
Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
Дифференцирование сложной функции, инвариантность формы дифференциала.
Производная по направлению. Градиент, его свойства.
Частные производные и дифференциалы высших порядков, теорема о равенстве смешанных производных.
Формула Тейлора (Маклорена) для функций многих переменных.
Понятие локального экстремума функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия. Случай двух переменных.
Метод наименьших квадратов.
Неявно заданные функции и отображения. Теоремы о разрешимости. Вычисление производных неявно заданных функций.
Уравнения нормали и касательной плоскости к графику функции.
Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума.
Метод неопределенных множителей Лагранжа.
Необходимые и достаточные условия относительного экстремума.
Задача о нахождении наименьшего и наибольшего значения функции в области.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблицы интегралов.
Приемы интегрирования: замена переменной, формула интегрирования по частям.
Понятие об интегрировании рациональных дробей, простейших иррациональных функций, простейших трансцендентных функций..
Интегральная сумма Римана, геометрический смысл интегральной суммы. Понятие интегрируемой функции. Определения интеграла.
Ограниченность интегрируемых функций. Верхние и нижние суммы Дарбу, их свойства. Нижний и верхний интегралы.
Свойства интегрируемых функций и определенного интеграла. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу.
Теорема о существовании первообразной.
Основная формула интегрального исчисления.
Формула замены переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
Приложения определенного интеграла.
Приближенное вычисление определенных интегралов: формула прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Понятие о несобственных интегралах. Определения. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов.
Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка, разрешенные относительно производной.
Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним.
Однородные уравнения 1-го порядка и сводящиеся к ним.
Линейные уравнения 1-го порядка и сводящиеся к ним.
Уравнения Бернулли и Риккати.
Уравнения в полных дифференциалах.
Общая теория линейных дифференциальных уравнений п-го порядка.
Общая теория линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка.
Общая теория линейных неоднородных дифференциальных уравнений п-го порядка.
Комплексные числа. Определение. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа.
Геометрическая интерпретация, модуль, аргумент.
Операции над комплексными числами: сложение, умножение, возведение в степень, извлечение корня.
Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.
Виды матриц.
Линейные операции над матрицами: сложение вычитание, умножение на действительное число.
Свойства, арифметические операции над матрицами.
Умножение матриц, свойства.
Транспонированная матрица, свойства.
Определители второго и третьего порядков, свойства.
Перестановки и подстановки, виды.
Определители п-го порядка, свойства.
Миноры и алгебраические дополнения.
Вычисление определителя разложением по строке (столбцу), методом приведения к треугольному виду, по теореме Лапласса.
Ранг матрицы, ранг ступенчатой матрицы.
Элементарные преобразования матрицы.
Критерий линейной независимости системы строк (столбцов).
Обратная матрица. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями.
Совместная и несовместная системы линейных уравнений.
Определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
Равносильность (эквивалентность) системы линейных уравнений.
Матрица и расширенная матрица системы.
Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса.
Решение системы линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы.
Общее решение системы линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные.
Решение системы линейных уравнений с помощью определителей (теореме Крамера) однородной системы линейных уравнений.
Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Свойства. Умножение вектора на действительное число.
Базис. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.
Линейная зависимость векторов. Теоремы, раскрывающие её геометрический смысл.
Трёхмерное векторное пространство. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам ортонормированный базис.
Смешанное произведение векторов. Свойства.
Длина вектора.
Операции с векторами, заданными своими координатами.
Угол между векторами.
Векторное произведение векторов. Свойства.
Афинная и прямоугольная системы координат.
Формулы преобразования координат при переходе от явной системы координат к другой.
Полярные координаты.
Метод координат на плоскости и его применение.
Общее уравнение прямой на плоскости.
Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
Расстояние от точки до прямой.
Угол между двумя прямыми.
Уравнения прямой с угловым коэффициентом ив отрезках.
Общее уравнение плоскости.
Взаимное расположение двух и трёх плоскостей.
Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Уравнение прямой в пространстве.
Углы между прямыми; между прямой и плоскостью.
Линейная зависимость векторов. Базис, размерность, координаты векторов.
Характеристические корни матрицы.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределение квадратичной формы.
Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы.
|
