Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направления 010100. 62 «Математика», профили подготовки: «Вычислительная математика и информатика»

Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин № п/п Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин 1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5.1 5.2 6.1 6.2 6.3 1. Планирование эксперимента и обработка экспериментальных данных + + + + + + + + 2. Компьютерная графика + + 3 Алгоритмы и технологии параллельного программирования + + + + + + 4 Имитационное моделирование + + + + + 5 Методы оптимизации + + + + + + Содержание дисциплины. Модуль 1. Тема 1.1. Погрешность результата численного решения задачи. Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. Вычислительная погрешность. Погрешность функции. Тема 1.2. Задачи линейной алгебры. Методы последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса - схема единственного деления). Метод оптимального исключения. Понятие числа обусловленности матриц. Применения метода Гаусса для расчета определителя и обратной матрицы. Метод пpостой итеpации. Достаточные условия сходимости процесса итераций. Оценка погрешности приближений процесса итераций. Метод Зейделя. Случай нормальной системы. Необходимое и достаточное условие сходимости процесса Зейделя. Модуль 2. Тема 2.1. Проблема собственных значений. Вычисление собственных значений и собственных векторов по методу Крылова. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и собственного вектора. Тема 2.2. Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Метод бисекций. Метод хорд (метод секущих). Метод Ньютона (касательных). Квадратичная сходимость метода Ньютона. Метод итераций. Сходимость и оценка погрешности метода итераций. Метод Ньютона для системы двух уравнений. Модифицированный метод Ньютона. Метод итераций для систем уравнений. Понятие о сжимающем отображении. Достаточное условие сходимости процесса итераций Модуль 3. Тема 3.1. Приближение функций и их производных. Постановка задачи интерполирования функций. Интерполяционная формула Лагранжа. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа. Интерполяционная схема Эйткена. Конечные разности различных порядков. Таблица разностей. Первая интерполяционная схема Ньютона. Вторая интерполяционная схема Ньютона. Сплайн-интерполяция. Интерполирование на основе кубического сплайна. Построение полинома наилучшего приближения к функции. Метод наименьших квадратов. Полиномы Чебышева, ортогональные на равномерной сетке. Оптимальный выбор узлов расчетной сетки. Тема 3.2. Численное дифференцирование. Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена Лагранжа (многочлена Ньютона). Метод неопределенных коэффициентов. Правило Рунге практической оценки погрешности. Тема 3.3. Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы (формулы левых, правых, средних прямоугольников). Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (формулы прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона). Оценка погрешности квадратуры. Модуль 4. Тема 4.1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Разностная схема задачи. Порядок аппроксимации разностной схемы. Метод Эйлера. Модификации метода Эйлера. Метод Эйлера на полуцелой сетке. Метод Рунге-Кутта. Методы решения дифференциальных уравнений высших порядков. О проблемах численной устойчивости. Тема 4.2. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Разностная схема линейной краевой задачи. Метод прогонки. Исследование устойчивости прогонки. Метод стрельбы для решения краевой задачи. Приближенное решение краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Модуль 5. Тема 5.1. Элементы теории разностных схем Понятие аппроксимации, сходимости разностной схемы, определение устойчивости разностной схемы. Теорема Лакса о сходимости решения разностной задачи. Каноническая запись разностной схемы. Дифференциальное приближение разностной схемы Тема 5.2. Спектральный признак устойчивости разностных схем. Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода. Необходимый спектральный признак устойчивости. Примеры применения спектрального признака для исследования устойчивости разностных схем. Модуль 6. Тема 6.1. Разностные схемы для уравнений параболического типа Постановка дифференциальной задачи. Переход к разностной схеме. Реализация разностных схем. Разностные схемы для уравнений с постоянными коэффициентами: явная схема, неявная схема, метод Кpанка-Николсона, схема Ричардсона, схема Дюфорта-Франкела, схема с весами. Тема 6.2. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа Постановка дифференциальной задачи. Переход к разностной схеме. Реализация разностных схем. Пятиточечная схема. Девятиточечная схема. Метод последовательной веpхней pелаксации. Тема 6.3. Разностные схемы для решения уравнений гиперболического типа Постановка дифференциальной задачи. Переход к разностной схеме. Реализация разностных схем. Разностные схемы для уравнения второго порядка: явная схема, неявная схема. Разностные схемы для уравнения переноса: явные методы Эйлеpа, разности против потока, схема Лакса. Неявный метод Эйлера. Метод с пеpешагиваним. Метод Лакса-Вендpоффа (одношаговый, двухшаговый). Метод Мак-Коpмака. Центpиpованная по времени неявная схема. Планы семинарских занятий. Не планируется. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум). Задания лабораторного практикума могут выполняться с использованием систем программирования (например, MATLAB, MATHCAD, MAPLE и т.пр.). Тема 1.1. Погрешность результата численного решения задачи. Решение прямой и обратной задач теории погрешностей. Вычисление погрешности функций при заданной погрешности аргументов. Определение допустимой погрешности аргументов при допустимой погрешности функций Тема 1.2. Задачи линейной алгебры Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (схема единственного деления). Расчет определителя матрицы и обратной матрицы при помощи метода Гаусса. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента. Оценка числа обусловленности матриц. Решение системы линейных уравнений методом простых итераций, Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Тема 2.1. Проблема собственных значений. Вычисление собственных значений и собственных векторов степенным методом, методом скалярных произведений. Тема 2.2. Приближенное решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам. Приближенное решение нелинейных уравнений методом простых итераций. Приближенное решение нелинейных уравнений методом хорд. Приближенное решение нелинейных уравнений методом Ньютона. Приближенное решение систем нелинейных уравнений методом простых итераций. Приближенное решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона. Тема 3.1. Интерполяция функций с помощью многочлена Лагранжа. Интерполяция функций с помощью многочлена Ньютона. Интерполяция функций с помощью кубического сплайна. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Построение многочлена наилучшего приближения на системе ортогональных функций (многочлены Чебышева). Тема 3.2. Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена. Тема 3.3. Приближенное вычисление интеграла по квадратурным формулам Ньютона-Котеса (формулы прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона). Тема 4.1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное решение задачи Коши методом Эйлера, методом Хойна, методом Эйлера-Коши на полуцелой сетке. Приближенное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Тема 4.2. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом стрельбы. Тема 5.1. Элементы теории разностных схем Аппроксимация производных. Дифференциальное приближение разностной схемы. Тема 5.2 Спектральный признак устойчивости разностных схем Исследование устойчивости разностных схем спектральным признаком. Тема 6.1. Разностные схемы для уравнений параболического типа. Решение начально-краевой задачи для уравнения параболического типа методом сеток. Тема 6.2. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток. Тема 6.3. Разностные схемы для решения уравнений гиперболического типа. Решение начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток. Примерная тематика курсовых работ Не планируются. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля). Контроль качества подготовки осуществляется путем проверки теоретических знаний и практических навыков с использованием a) Текущей аттестации: проверка промежуточных контрольных работ и прием лабораторных работ, b) Промежуточной аттестации: тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины. Зачет в конце 6 семестра, экзамен в конце 7 семестра (к зачету, экзамену допускаются студенты после сдачи всех лабораторных работ, решения всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы). Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок. Пример тестового задания по теме: «Основы теории погрешностей»: Что такое нормализованная форма записи числа? 1) представление числа с фиксированной точкой (запятой) при условии, что первая цифра в записи числа не равна нулю 2*) представление числа с плавающей точкой (запятой), при условии, что первая цифра в записи мантиссы не равна нулю 3) представление числа с фиксированной точкой (запятой) 4) представление числа с плавающей точкой (запятой) Пример лабораторного задания в 6 семестре Написать программу для решения системы линейных алгебраических уравнений : методом Гаусса (схема единственного деления); методом Гаусса с выбором главного элемента; применяя – разложение матрицы . Вычислить невязки (для случаев а), b), c)), используя нормы вектора , , . Вычислить определитель по схеме Гаусса . Найти , используя метод Гаусса. Вычислить число обусловленности для различных матричных норм , , . Результаты вывести на печать с точностью . Исследовать зависимость решения системы от погрешности правой части. Внести погрешность (произвольной величины) в правую часть вектора системы уравнений. Вычислить вектор относительных погрешностей решения , принимая за точное решение вектор, полученный в п. а). Оценить теоретически относительную погрешность решения по формуле: . Сравнить со значением практической погрешности и объяснить результаты. Исследовать зависимость решения системы от погрешности элементов матрицы (аналогично заданию п. 7). Оценить теоретически относительную погрешность решения по формуле: . Сравнить со значением практической погрешности и объяснить результаты.

Похожие:

	Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направление... Иванов Д. И. Криптография и криптоанализ. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направления...		Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направление... Иванов Д. И. Дополнительные главы дискретной математики. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы...
	Рабочая программа для студентов направления 010100. 62 Математика.... Девятков А. П. Граничные свойства аналитических функций. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления...		Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов направления... Содержание: умк по дисциплине Логика для студентов направления подготовки 44. 03. 05 Педагогическое образование профиля подготовки...
	Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов направления... Содержание: умк по дисциплине Основы медицинских знаний и здорового образа жизни для студентов направления подготовки 44. 03. 05...		Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для... Методическая разработка рекомендована для педагогов дополнительного образования детей
	Рабочая программа и методические указания для студентов очной формы... Рабочая программа и методические указания для студентов очной формы обучения направлений 010300. 62 «Математика. Компьютерные науки»...		Учебно-методический комплекс для студентов не психологических специальностей... Гидрология 010100. 62 Математика 010101. 65 Математика 010101. 65 Математика 010101. 65 Математика 010300. 62 Математика. Компьютерные...
	Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов направления... Содержание: умк по дисциплине Основы исследований в математическом образовании для студентов направления подготовки 050100 (44. 03....		Г. Л. Воронин Н. В ларшина социология учебно-методическое пособие Программа предназначена для бакалавров очной формы обучения механико-математического факультета математика 010100, математика и компьютерные...
	Пояснительная записка рабочая программа дисциплины «Иностранный язык... «Математика и компьютерные науки», 010500. 62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 230100. 62...		Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов направления подготовки Содержание: умк по дисциплине «Астрономия» для студентов направления подготовки 050100 – Педагогическое образование, профиля подготовки...
	Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов направления подготовки Содержание: умк по дисциплине «Механика» для студентов направления подготовки 050100. 62 (44. 03. 05) Педагогическое образование...		Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов очной формы обучения Шармин Д. В. История и методология математики. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения,...
	Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо... Математика, профили подготовки: «Алгебра, теория чисел, математическая логика»; «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»;...		Программа дисциплины История философии для направления 010100. 62 «Математика» Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину для направления 010100. 62 “Математика” для подготовки студентов...