Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 371.1 Kb.
|
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ МОУ «БЕРЕГОВСКАЯ СОШ» МАТВЕЙЧУК О. М. БЕРЕГОВОЕ 2008г Обучение решению задач является одной из важнейших составляющих практики преподавания, так как задачи используются не только в качестве основного средства для усвоения математических понятий, но и как материал, способствующий развитию математического мышления и творческой активности учащихся, а также формированию умения применять теоретические знания на практике. Однако, как показывает практика обучения и анализ результатов контрольных работ, умение решать задачи оставляет желать много лучшего. И это в особенности касается задач по планиметрии, вызывающих у учащихся наибольшее затруднение. Так, например, приступая к решению задач по планиметрии, учитель предлагает выполнить рисунок, выясняет, что известно и что нужно найти. Затем если того требует выбранный способ решения, предлагает дополнительное построение (провести прямую параллельную стороне треугольника; достроить данный треугольник до параллелограмма провести прямую, перпендикулярную данной). Не заостряя внимание учеников на том, почему необходимо именно это дополнительное построение и почему оно вообще необходимо. Дополнительные построения используются при решении задач по планиметрии чаще всего в том случае, когда в условии задачи оказывается недостаточно данных для решения. Тогда возникает вопрос о введении вспомогательного элемента (дополнительного построения), которое преобразовало бы условие задачи и направило мысль учащегося в нужном направлении. К дополнительным построениям прибегают и в случае поиска более рационального или более красивого способа решения. ЗАДАЧА. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной длиной 4см проведена медиана к боковой стороне. Найти длину основания треугольника, если медиана равна 3см. РЕШЕНИЕ. Н   а рисунке изображается треугольник АВС и проводится В медиана АО боковой стороны Полезным на начальном этапе 2р  аботы мажет оказаться замена терминов их Оопределениями . Вспоминаем что называется 3 медианой треугольника, и делаем вывод, что 2 В  О=ОС=2см. А САнализируя рисунок, замечаем, что искомая сторона АС принадлежит двум треугольникам АОС и АВС, причем в обоих треугольниках известны две другие стороны. Вспоминаем теоремы, связанные с нахождением одной из сторон, если известны две другие. Третью сторону можно найти по теореме косинусов, но для этого нужно знать величину угла, противолежащего стороне (или косинус этого угла). Т.О , задача свелась к нахождению величины углов АОС и АВС. Какой из углов можно найти? Анализируя рисунок, замечаем, что в АВО известны все три стороны. Следовательно, cos B можно вычислить по теореме косинусов из АВО: Cos < B =  Cos < B =  =   Следовательно: АС  = ВА+ ВС- 2 ВА ВС Cos < BAC =   AC =  А теперь попробуем решить задачу другим способом применив свойство медианы треугольника, заключавшееся в том, что медиана делит треугольник на два равновеликих. Убедившись в равенстве площадей  АВО и АОС, обращаем внимание на то, что в АВО известны все три стороны. Следовательно, можно вычислить площадь по формуле Герона. Но это значит, что найдена и площадь АОС.Можно ли найти искомую сторону АС? Конечно, нужно только записать формулу Герона для АОС, обозначив АС через х, и решить полученное уравнение:S  AOC = =  Используя формулу Герона для АОС имеем: S AOC =  S AOC = SABO = = После несложных преобразований получаем уравнение:   Оно имеет 4 действительных корня  и  . Отрицательные корни очевидно не подходят по смыслу задачи. Остаются два: 4 и . Значение АС=4, не удовлетворяет условию задачи ( если АС = 4, то АВС- равносторонний, и следовательно медиана АО является одновременно и высотой, т.е. АОС- прямоугольный. Но тогда АО =  = = , что противоречит условию). Следовательно, АС = . В этом случае мы вспоминаем, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, а значит, применим формулу Герона для площади треугольника. Сравнив эти способы решения, учащиеся приходят к выводу, что они примерно равнозначны, но во втором способе вычисления оказались немного сложнее, и кроме того, пришлось проверять, почему значение АС=4см. не удовлетворяет условию задачи.Последнее обстоятельство натолкнуло на мысль рассмотреть частный случай более подробно. И учащимся было дано задание сформулировать условие аналогичной задачи для равностороннего треугольника. Установим, что в этом случае достаточно указать длину медианы. В равностороннем треугольнике проведена медиана к одной из сторон. Найти стороны треугольника, если длина медианы равна 3см После этого задача была сформулирована и решена в общем виде ( «найти стороны треугольника, если длина медианы равна м»). Далее учащимся были предложены следующие задачи Дан равносторонний треугольник с медианой м .Найти1 периметр треугольника; 2 площадь треугольника; 3 радиус описанной окружности; 4 радиус вписанной окружности. Решение: 1)  ,  ,  ;2) S =  =  =  Для того чтобы вычислить радиусы описанной и вписанной окружностей, вспомним, что центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении его биссектрис, а центр описанной- на пересечении его серединных перпендикуляров. В нашем случае эти два центра совпадают, т.к. в равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и серединные перпендикуляры совпадают. Вспомнив, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2;1, считая от вершины, несложно найти радиусы описанной и вписанной (R =  , r =  ) окружностей.Решение этой дополнительной задачи дало возможность учащимся вспомнить, где располагаются центры описанной и вписанной окружностей, а также применить еще одно свойство медиан. А не воспользоваться и нам этим свойством для решения первоначальной задачи? Давайте попробуем. Итак, одна медиана уже проведена. Подумаем, какое дополнительное построение нам выполнить: провести оставшиеся две медианы или только одну, а если одну, то какую? Решим провести медиану к основанию, т.к. она в равнобедренном треугольнике является и высотой, что дает возможность рассмотреть прямоугольные треугольники и применить теорему Пифагора. П  роводим высоту (медиану) ВК к B и основанию АС. М- точка пересечения медиан. О Получились прямоугольные  АКМ и АКВ, для которых АК- общая сторона (АС=2АК). A C Т.о. задача сведется к нахождению половины искомого отрезка. Обозначим АК через х. Далее согласно свойству медиан АМ=2см, МО=1см. После анализа рисунка приходим к выводу, что в АКМ неизвестен катет МК, а в АКВ - катет КВ. Это наводит на мысль рассмотреть два треугольника одновременно и ввести новую переменную у: МК = у, тогда ВК=3у.А теперь, используя теорему Пифагора, составляем систему уравнений:   (из АКМ) (из АКВ)откуда  следовательно, АС =  . Итак, в процессе решения мы применяем одно из свойств медиан треугольника, теорему Пифагора, а также вспомнили, что высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и медианой. Сравнивая этот способ с предыдущими, учащиеся отметили, что здесь мы вновь применили алгебраический метод решения и что алгебраический метод достаточно удобен при решении геометрических задач.Д  алее было предложено учащимся вспомнить теорему Фалеса и попытаться применить ее к решению задачи. На рисунке Визображены равные отрезки ВО и ОС на прямой ВС. Через конец одного отрезка проведена прямая В  К/АС. Проведем вторую прямую через конец Одругого отрезка OL//BK. По теореме Фалемса имеем: KL = LC =  KC =  AC. А СК L Обозначим LC = x, тогда AL = 3x. Используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников OLA и OLC, составляем систему уравнений:  (из OLA) (из OLC) решая ее получим:  , АС = см.Учащиеся признали, что данный способ аналогичен предыдущему но здесь искали не а искомой стороны АС. Прежде чем воспользоваться теоремой Пифагора пришлось доказать что AL = 3LC. В связи с этим способ был отнесен к менее рациональным («потребовалось еще одно дополнительное построение OL/AC и применение теоремы Фалеса»). Сделали вывод что нахождение длины отрезка можно свести к нахождению его части. В процессе анализа рисунка учащиеся вспомнили определение средней линии треугольника и предложили воспользоваться им.Действительно, провести все три средние линии АВС, то можно решить задачу, используя свойство диагоналей и сторон параллелограмма.В полученном параллелограмме о  дна из сторон: ВAL = OF =  = 2см; ALOF известны обе диагонали и A F = OL =  = х cм. L L OLF = BC = 2 см., AO = 3см. Отсюда следует, что х =  A F CПоскольку мы уже провели высоту АВС, то зададим вопрос: как еще можно ею воспользоваться? Все ли знания о высоте треугольника мы использовали? Вспомним, что S1= ah. Попробуем применить эту формулу. Пусть BK = h AK = x. Тогда S АВС = хh. Но S АВС=2S АВД =  , следовательно, S АВС= . Т.к. нам нужно найти х, то выразим h через х. Это можно сделать, если применить т. Пифагора, например к прямоугольному АКВ h =   =АС= смЗ  десь мы воспользовались результатом 2-го способа ( S АВО= ), поэтому последний способ менее рациональный. BНо высоту можно провести к боковой стороне, тогда O искомую сторону АС можно найти по т. Пифагора М из АМС, если знать катеты АМ и МС. Их можнонайти из 2х прямоугольных АМО и АМВ.Пусть АМ = х, МО = у. Используя т. Пифагора, имеем: A C   , откуда  ,  .Но и в этом случае можно использовать формулу площади треугольника S ABC =  S ABC вычислили ранее, ВС = 4, следовательно можно найти АМ: = ,  см.Заметим, что МС = ОС-ОМ, где ОС =2; ОМ находим из АМО по т. Пифагора:  =  , откуда  см =см ( АМС)Этот способ решения был отнесен учащимся к наиболее нерациональному. Д  о сих пор все дополнительные построения проводились внутри треугольника. А что, если «выйти за пределы» данного треугольника. Достроим треугольник до параллелограмма. Для этого продолжим прямую АО за точку О, отложим отрезок, равный АО, полученную т. Д соединяем с точками В и С. В полученном B Dпараллелограмме АВДС известны обе диагонали (АД = 6см, ВС = 4см) 4 4 и одна из сторон (АВ = СД = 4см). A C Искомая сторона (АС = ВД) неизвестна. Применив теорему о сумме квадратов сторон параллелограмма, получим АД2 + ВС2 = 2АВ2 + 2АС2, В процессе обсуждения этого способа мнения учащихся разделились: одни сочли этот способ самым рациональным («решается в одну строчку»), другие отметили, что он более интересный, оригинальный, но именно в этом виделась основная трудность («мы не додумались бы до этого сами»). В итоге пришли к выводу: нужно не только смелее применять дополнительные построения, но и учиться видеть взаимосвязь различных фигур. Далее учащимся была предложена задача: Доказать, что медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла ,равна половине гипотенузы. Эту задачу ученики решили, использовав рассмотренный прием (треугольник достроим до прямоугольника и вспомним, что диагонали прямоугольника равны и делятся в точке пересечения пополам) Т.о, школьники обнаружили новый интересный факт – свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла. В заключении учащиеся систематизировали известные им сведения о медиане треугольника. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины; медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, является медианой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы. Благодаря такой работе ученика снимается психологический барьер перед поиском решения задач. Зная, что задача может быть решена разными способами, он смелее будет браться за ее решение. Постепенно решая задачу за задачей, он приобретает некоторый опыт, что позволяет ему развить математическое чутье. Подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того чтобы освежить в памяти пройденный материал. При такой работе под задачей формулируется логическое мышление учащихся развивается интуиция систематизируется знания, расширяется общеобразовательный кругозор, накапливается полезный опыт. Учащиеся овладевают основными методами решения задач, составляющими важную часть многих эвристических алгоритмов, учатся рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи, а также использовать известные приемы познавательной деятельности наблюдение, сравнение, обобщение и.т.д. МЕТОД ПРОБЛЕМНОГО ИЗЛОЖЕНИЯ Позволяет построить обучение не как сообщение и воспроизведение готовых знаний, а как творческий познавательный процесс, активизирующий духовные и интеллектуальные силы школьника, развивающий наблюдательность, мышление, речь, формирующий приемы рациональной деятельности, умение сравнивать, абстрагировать, обобщать, анализировать, делать умозаключение. ЧАСТИЧНО - ПОИСКОВЫЙ МЕТОД. Это более высокий уровень самостоятельного мышления. Он заключается в том, что учитель сообщает проблемный вопрос и ставит перед учащимися задачу самостоятельно обсудить его, сформулировать гипотезу и т.п. Из пою видно, что данная работа основана на том, что учитель конструирует и видит поиск ответа на проблемный вопрос, выступая в качестве «дирижёра». Часть информации сообщается им самим. Высший уровень самостоятельного мышления - поисковая деятельность учащихся. Задания поискового характера, включающие проблемные задачи и задания частично поискового характера - это такой вид заданий, при выполнении которых учащихся без непосредственного участия (проблемные задачи) или при некоторой подсказке (задание частично поискового характера) открывают новые задания или способы их добывания. Очень интересна в плане поисковой деятельности учащихся теорема Пифагора. При изучении этой теоремы есть возможности при наличии в классе сильных учеников, разбирающихся в математике, превратить класс в исследовательскую лабораторию. Учащиеся слушают, наблюдают, составляют план изложения учителю, классифицируют, следят за логикой рассуждений, направленных на поиск ответа на проблемный вопрос. В процессе рассуждений, анализа в исследовательской лаборатории учащиеся самостоятельно подходят к формулировке теорем и доказывают её, при этом, естественно, пользуются знаниями, владение которыми не обходимо. Т.о., выполнение заданий поискового характера способствует достижению двух целей: во- первых, овладению анализом, исследованию различных сторон математических явлений; во- вторых, развитию интереса к предмету, и науке математики, любознательности, творческого подхода, умения и предрасположения к самостоятельной работе. КОЛЛЕКТИВНАЯ (ГРУППОВАЯ) ФОРМА РАБОТЫ. Для коллективного способа деятельности школьников характерно: 1) наличие общей цели; 2) разделение труда и обязанностей; 3) сотрудничество и взаимопомощь, как обязательное условие достижения общей цели; 4) самоконтроль и взаимоконтроль; 5) учёт интересов коллектива и каждой личности и в нем. Коллективная работа, предусматривающая объединение ребят в группы, предполагает их свободное общение, умение выслушать ответ товарища, проанализировать, оценить. В группы включаются ребята разного уровня подготовки с учётом интереса к предмету, уровня знаний, отношения друг к другу. Обязательным требованием к работе группы является выполнение задания каждым учеником, обсуждение допущенных ошибок, их исправление, нахождение различных способов решения задач, упражнений. Принцип сотрудничества в процессе обучения является ведущим. Использовать такую форму обучения можно на всех этапах: объяснение нового, повторение, обобщение. Постоянное увеличение доли самостоятельной деятельности учащихся, её усложнение готовит учеников к самообразованию: к самостоятельному анализу учебного материала, формулировке целей своей работы («Что я должен иметь?»), приобретения навыков самоконтроля . В такой форме снимается напряжение, формируются внимательность и аккуратность, развивается чувство ответственности. Уроки включающие коллективные формы работы, можно назвать уроками общения, а это в свою очередь способствует выработке правильной математической речи, умению найти ошибку и исправить её в обстановке активного обсуждения, помощи и взаимопомощи. Такая форма коллективной деятельности, как организация «смешанных» группы, где есть и «сильный» и «слабый» ученик, даёт возможность организовать группы (пары) переменного состава. В процессе обучения школьники могут меняться ролями кому то в паре лучше удаётся планирование, кому то контроль. Главная задача заключается в том, что каждый её участник обязан обучить другого тому, чем владеет сам лучше своего товарища. В технологиях дифференцированного обучения (Н. Гузик, И. Первин, В. Фирсов и др.) и связанных с ним групповых технологиях основной акцент сделан на дифференциацию постановки целей обучения, на групповое обучение и его различные формы, обеспечивающие специализацию учебного процесса для различных групп обучаемых. |
