МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛБНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЗАДАЧИ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ЧАСТЬ I
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Ростов-на-Дону
2006
Учебно-методическое пособие разработано кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры теории функций и функционального анализа Луценко А.И. для студентов, обучающихся на всех специальностях механико-математического факультета университета
Ответственный редактор кандидат физико-математических наук, доцент В.Е. Ковальчук.
Копьютерный набор и вёрстка лаборанта О.В.Пищемухи.
Печатается в соответствии с решением кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета РГУ, протокол № 4 от 15 декабря 2005г.
Цель пособия - обеспечить проведение практических занятий по курсу «теория вероятностей и математическая статистика» на механико-математическом факультете.
В пособии приведены задачи, посвященные случайным событиям и определению вероятностей их наступления. Построение множества элементарных исходов и выделение в нём подмножеств элементов, благоприятствующих случайным событиям, в большинстве задач предполагает использование комбинаторики. Так как комбинаторика является инструментом для решения задач по теории вероятностей, то данное пособие начинается со знакомства с её элементами. Во многих задачах требуется определить вероятности нескольких случайных событий, которые могут произойти при проведении конкретного испытания. Определение вероятностей нескольких событий на одной и той же построенной модели позволяет лучше почувствовать суть работы с построенной вероятностной моделью, не отвлекаясь каждый раз на построение новой модели. Постепенно усложняющиеся модели испытаний, описываемые в условиях задач, позволяют студенту лучше изучить основные понятия теории вероятностей, приобрести навыки построения теоретико-вероятностных моделей и работе с ними.
§0. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
На четырёх разноцветных карточках написаны буквы A, A, M, M. Ребёнок, который не умеет читать, наудачу раскладывает эти карточки в ряд. Сколько всего слов из четырёх букв он может составить? Сколько раз у него может получиться слово МАМА.
На пяти разноцветных карточках написаны буквы А, А, Д, М, М. Наудачу, по одной выбираются четыре карточки и раскладываются в ряд в порядке появления. Сколько слов из четырёх букв можно составить? Сколько раз получится слово МАМА? Сколько раз получится слово ДАМА?
Из пяти карточек, на которых написаны цифры 1,2,3,4,5, наудачу выбираются три (пять) карточки и раскладываются в ряд в порядке появления. Сколько трёхзначных (пятизначных) чисел можно составить? Сколько чётных трёхзначных чисел можно составить? Сколько нечётных трёхзначных чисел можно составить?
Из пяти карточек, на которых написаны цифры 1,2,3,4,5, наудачу выбираются по одной три (пять) карточки. Цифра, написанная на извлечённой карточке, записывается, и эта карточка перед следующим извлечением возвращается обратно. Сколько трёхзначных (пятизначных) чисел можно записать таким образом? Сколько чётных трёхзначных чисел можно записать? Сколько нечётных трёхзначных чисел можно записать?
Имеются три банки с красками разных цветов. Забор можно покрасить краской из любой одной банки. Можно покрасить забор, предварительно смешав краски из любых двух банок. Можно покрасить забор, смешав краски всех трёх банок. Сколько всего вариантов цветов покраски забора можно составить? Как изменится это количество вариантов цветов, если будет четыре банки красок разных цветов?
Из колоды карт (36 штук) наудачу без возвращения извлекают три карты. Сколько всего различных наборов по три карты можно сделать? Сколько можно составить наборов, в которых будут три «картинки»? Сколько можно составить наборов, в которых будут одни «короли»? Сколько можно составить наборов, в которых будут только три карты бубновой масти?
Из колоды карт (36 штук) наудачу по одной, возвращая каждый раз карту после фиксирования её номинала, извлекают три карты. Сколько всего различных наборов по три карты можно составить? Сколько можно составить наборов, в которых будут три «картинки»?
Сколько можно составить наборов, в которых будут одни «короли»? Сколько можно составить наборов, в которых будут только три карты бубновой масти?
В партии домино имеется 28 костей. В домино играют четыре человека, которые, начиная игру, разбирают все кости. Сколько всего вариантов разбора костей партии домино возможно?
Для «интеллектуальной» игры каждому из четырёх игроков из колоды имеющей 36 карт раздают по шесть карт. Сколько возможно вариантов раздачи карт? Как изменится это число вариантов раздачи, если игроков будет шесть?
В урне имеются 15 шаров. Из них: 6 шаров белого цвета и 9 шаров чёрного цвета. Извлекаются наудачу три шара а) с возвращением; б) без возвращения. Сколько всего наборов для каждого способа извлечения можно сделать. Сколько в каждом случае можно сделать наборов, в которых все шары будут: 1) белого цвета; 2) чёрного цвета; 3) одного цвета. 4) Сколько наборов можно сделать, в которых будут шары разных цветов?
Наудачу подбрасываются две игральных кости. Возможным исходом опыта будет пара чисел (a,b), где a и b – количества очков на верхних гранях первой и второй кости, соответственно. Опишите множество возможных исходов опыта и определите количество его элементов. Выделите на этом множестве следующие подмножества: событие A -«сумма выпавших очков равна девяти »; событие B –«сумма выпавших очков будет не больше девяти »; событие C –«на первой кости выпало чётное число очков»; событие D –«на обеих костях выпали чётные числа очков»; событие E –«сумма выпавших очков есть чётное число»; событие F –«произведение выпавших очков есть чётное число». Определите количество элементов в каждом из этих подмножеств.
В ящике находятся 100 деталей, среди которых 90 штук – хороших и 10 штук – бракованных. Наудачу для контроля отбираются шесть штук. Сколько наборов можно сделать, в которых: а) все детали – хорошие; б) все детали – бракованные; в) половина деталей – хорошие, половина деталей – бракованные.
В библиотеке в очереди стоят десять студентов. Сколько вариантов очередей возможно? Сколько будет вариантов очередей, в которых: а) три определённых студента A, B и С стоят рядом в последовательности ABC; б) три определённых студента A, B и С стоят рядом?
В библиотеке в очереди стоят десять студентов. Сколько будет вариантов очередей, в которых между A и B стоят: а) два студента; б) три студента?
В урне находятся шары трёх цветов: 7 – белых, 5 – красных и 3 – синих. Наудачу без возвращения извлекаются три шара. Сколько всего различных наборов по три шара можно сделать? Сколько можно сделать наборов, в которых будут шары только белого, красного, синего цвета? Сколько можно сделать наборов, в которых будут шары только одного цвета? Сколько можно сделать наборов, в которых будут шары всех цветов?
Сколько трёхзначных чисел можно образовать из цифр множества , если при выборе цифр не допускать повторений? Сколько трёхзначных чисел окажется меньше, чем 500? Сколько будет нечётных трёхзначных чисел?
Сколько трёхзначных чисел можно образовать из цифр множества , если при выборе цифр допускать повторения? Сколько трёхзначных чисел окажется меньше, чем 500? Сколько будет трёхзначных чисел, которые делятся на 111?
Два шахматиста A и B играют матч из двенадцати партий. Сколькими способами может быть получен такой общий результат матча: в четырёх партиях победил игрок A, в четырёх партиях зафиксирована ничья, в четырёх партиях победил игрок B?
В каждом регионе Российской Федерации государственный номер автомобиля состоит из трёх (из двенадцати возможных) букв латинского алфавита и трёхзначного числа (от 001 до 999). Например: «А 621 ТЕ» или «В 384 СК». Сколько всего автомобилей может быть зарегистрировано таким образом в каждом регионе?
Комитет состоит из 12 членов. Минимальный кворум на заседаниях этого комитета должен насчитывать 8 членов. Сколькими способами может достигаться минимальный кворум? Сколькими способами может достигаться какой-нибудь кворум?
В урне находятся 8 белых и 6 красных шаров. Найти число способов выбора пяти шаров, если: а) эти шары могут быть любого цвета; б) три шара должны быть белого, а два – красного цвета; в) все пять шаров должны быть одного цвета.
Необходимо разделить группу из 20 человек на одну группу в 10 и две группы по 5 человек. Сколькими способами можно это сделать?
В генетическом эксперименте из выборки, содержащей по десять белых, красных и розовых цветков, для опыления были взяты 4 белых, 7 красных и 5 розовых цветков. Сколькими способами это можно сделать?
Из группы в десять мужчин и десять женщин нужно выбрать десять человек. а) Каково число способов выбора десяти человек? б) Каково число способов выбора десяти человек, если по крайней мере восемь из них должны быть женщинами? в) Каково число способов выбора, при которых в группе из десяти человек мужчин окажется больше, чем женщин?
Монета бросается до тех пор, пока «герб» не появится четыре раза. Результаты бросаний монеты записываются в виде последовательности: , где запись «1» соответствует выпадению «герба», а запись «0» – выпадению «решки». Сколько таких типов последовательностей можно записать, если известно, что в четвёртый раз «герб» выпал при десятом бросании? Обобщить полученный результат, если: монета бросается до k-того появления «герба» и было сделано n бросаний монеты.
В урне имеются шары с номерами 1,2,3,4,5,6. Наудачу извлекаются три шара и раскладываются в порядке появления. Сколько трёхзначных чисел могут образовать номера извлечённых шаров? Сколько возможно комбинаций, в которых номера извлечённых шаров будут образовывать возрастающую последовательность?
Найти общее решение задачи: если в урне имеются n шаров с номерами от 1 до n, а извлекаются и раскладываются в порядке появления m шаров. Сколько возможно комбинаций, в которых номера извлечённых шаров будут образовывать возрастающую последовательность?
Ответы
0.1. ; . 0.2. . 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. . 0.9.
0.10. а) б)
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4) 0.11. 0.12. а) б) в)
0.13. а) ; б) ; в) .
0.14. а) ; б) .
0.15. 0.16. 0.17. 0.18. . 0.19. .
0.20. 0.21. 0.22.
0.23. 0.24. 0.25. Если было сделано 10 бросаний, то «решка» выпадала 6 раз, значит количество возможных последовательностей из четырёх «1» и шести «0», в которых на последнем месте записана «1», равно: . В общем случае число таких последовательностей равно: .
0.26. Число комбинаций номеров трёх шаров, образующих возрастающую последовательность, равно .
Ниже приведена схема построения комбинаций возрастающих номеров трёх извлекаемых шаров. Она позволяет построить решение общей задачи.
Пусть в урне имеются n шаров с номерами от 1 до n, а извлекаются и раскладываются в порядке появления m шаров. Если m=2, то число возрастающих последовательностей номеров шаров будет равно:
, или, если заменить , .
Если m=3, то число возрастающих последовательностей номеров шаров будет равно:
, или, если заменить : .
Продолжая дальше, получаем, если m=4, то число возрастающих последовательностей номеров шаров будет равно: , или, если заменить : . Значит, для произвольных натуральных чисел n и m, можем записать, что - число возрастающих последовательностей номеров шаров будет равно: .
§1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Случайно выбранная кость домино оказалась не «дублем». Найти вероятность того, что вторую, также взятую наудачу кость домино можно приставить к первой.
Две игральных кости подбрасываются наудачу. Определить элементарные исходы, которые могут произойти в результате опыта, и построить множество элементарных исходов. Указать подмножества множества элементарных исходов, определяющих случайные события: А - «количества очков выпавших на верхних гранях костей – одинаково»; В - «сумма очков выпавших на верхних гранях костей равна восьми». Найти вероятности наступления этих событий.
Из колоды карт (36 штук) наудачу извлекаются последовательно две карты. Найти вероятности следующих событий:
А - «извлеченные карты - туз и шестёрка»;
В- «первая извлечённая карта – туз, а вторая – шестёрка».
Как изменятся вероятности этих событий, если перед извлечением второй карты первую карту возвращают в колоду?
На десяти одинаковых карточках написаны цифры от 0 до 9. Наудачу по одной берут две карточки и кладут в ряд в порядке появления, получая двузначное число. Построить множество элементарных исходов этого опыта. Выделить в нём подмножество, соответствующее случайному событию А - «полученное число делится на девять». Найти вероятность этого события. Как изменятся множества элементарных исходов и подмножество А, если изменить опыт: первую карточку, после записи появившейся цифры, возвращают обратно, а затем наудачу берут вторую?
Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь: а) три окрашенных грани; б) две окрашенных грани; в) одну окрашенную грань; г) не будет иметь окрашенных граней.
Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность того, что из трёх наудачу взятых отрезков можно построить треугольник.
Студент успел выучить 17 вопросов программы из 20. Каждый экзаменационный билет состоит из двух неповторяющихся вопросов. Какова вероятность того, что студент ответит: а) на все вопросы наудачу взятого билета; б) только на один из вопросов билета; в) только на первый вопрос билета?
На восьми одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наудачу выбираются две карточки. Первая карточка берётся в качестве числителя дроби, а вторая – знаменателя. Определить вероятность того, что полученная дробь будет сократимой.
Имеется четыре отрезка длиною 5 единиц и четыре – длиною 7 единиц. Определить вероятность того, что из четырёх наудачу взятых отрезков можно построить параллелограмм.
В урне находятся 5 белых и 6 чёрных шаров. Наудачу из урны извлекаются два шара. Определить вероятность того, что будут извлечены: а) два шара белого цвета; б) два шара чёрного цвета; в) шары разного цвета; г) шары одного цвета.
В группе, насчитывающей 25 студентов, 5 юношей и 20 девушек. Наудачу из списка выбирается пять студентов. Какова вероятность того, что среди выбранных студентов будет ровно три девушки?
В урне имеются шары трёх цветов: два белых, три чёрных и пять красных. Наудачу извлекаются сразу три шара. Какова вероятность того, что: а) это будут шары одного цвета; б) это будут шары разных цветов; в) среди извлечённых шаров хотя бы два разного цвета? Как изменятся эти вероятности, если шары извлекаются по одному с возвращением в урну каждого шара (после фиксирования его цвета) перед следующим извлечением?
Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу извлекаются без возвращения пять карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт будут два туза?
Среди десяти лотерейных билетов – два выигрышных. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов: а) будет только один выигрышный; б) будут оба выигрышных; в) не будет ни одного выигрышного; г) будет хотя бы один выигрышный.
Наудачу подбрасываются две игральных кости. Что более вероятно: сумма выпавших очков равна шести, или сумма выпавших очков равна восьми?
В партии, содержащей штук деталей, штук доброкачественных и штук – бракованных деталей. Определить вероятность того, что среди взятых для контроля штук деталей окажется ровно штук доброкачественных. Указать границы для возможных значений чисел и .
В урне находятся m шаров белого и n шаров чёрного цвета. Наудачу без возвращения извлекаются k шаров, причём и . Определить вероятность того, что при этом будут извлечены: а) все белые; б) все чёрные шары.
Обозначим через случайное событие: «в игре «Спортлото 6 из 49» угадано чисел». Определить вероятности случайных событий , если
Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу без возвращения извлекают шесть карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт окажется не менее чем два туза?
Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу без возвращения извлекают шесть карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт: а) окажется «король пик»; б) окажется один «король»; в) будут «короли»?
Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу последовательно по одной извлекаются три карты. Определить вероятность того, что последовательно появятся карты: «тройка», «семёрка» и «туз». Как изменится вероятность появления этих трёх карт, если нам не будет важен порядок их следования?
В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли четыре человека. Считая, что каждый из них с равной возможностью, независимо о других, может выйти из лифта на любом этаже, начиная со второго, найти вероятность того, что все пассажиры выйдут из лифта: а) на одном этаже; б) на разных этажах.
Определить вероятность того, что выбранное наудачу натуральное число n: а) при возведении в квадрат; б) при возведении в четвёртую степень; в) при умножении на произвольное натуральное число m даст число, оканчивающееся единицей.
На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трёх карточек и раскладывании их в порядке появления в ряд слева направо. Найти вероятность того, что полученное трёхзначное число будет чётным числом.
Набирая номер телефона, абонент понял, что он забыл последние три цифры. Помня лишь, что эти цифры различные и нечётные, он набрал их наудачу. Определить вероятность того, что абонент дозвонился туда, куда ему было необходимо.
Полная колода карт (52 штук) делится наудачу пополам. Определить вероятность того, что количества черных и красных карт в каждой половине колоды будут одинаковыми.
Десять книг расставляются наудачу на книжной полке. Определить вероятность того, что при этом три определённые книги окажутся поставленными рядом.
Определить вероятность того, что в тщательно перемешанной колоде (36 карт) четыре туза будут расположены рядом.
В зале, насчитывающем мест, случайным образом занимают места n человек. Определить вероятность того, что будут заняты заранее отмеченные m мест ( ).
Друзья (n – человек) наудачу рассаживаются за круглым столом. Найти вероятности наступления следующих событий:
а) «два лица А и В сидят рядом»;
б) «три лица А, В и С сидят вместе»
в) «три лица А, В и С сидят вместе, причём А сидит посередине».
1.31. Из множества, состоящего из n различных натуральных чисел, наудачу выбираются m чисел, которые располагаются в ряд в порядке появления. Определить вероятность того, что эти выбранные числа будут образовывать возрастающую последовательность.
Ответы
1.1. 1.2. . 1.3.
1.4. 1.5. 1.6. 0,3. 1.7. 1.8. 1.9.
1.10.
1.11. 1.12. а) б) в) а) б) в) 1.13. 1.14. а) б) в) г) 1.15. 1.16. . Должны одновременно выполняться неравенства: и . 1.17. а) ; б) . 1.18. . 1.19. .
1.20. а) ; б) ; в) . 1.21. а) ; б) . 1.22. а) ; б) . 1.23. 0,2; 0,4; 0,04. 1.24. 0,4. 1.25. . 1.26. .
1.27. . 1.28. . 1.29. . 1.30. а) ; б) ; в) . 1.31. Первый вариант решения. Количество последовательностей, состоящих из m чисел, которые можно образовать из n чисел, будет равно . Все последовательности, являясь элементарными исходами опыта, будут равновозможными. Количество последовательностей, составляющие числа которых образуют возрастающую последовательность – случайное событие A, будет равно (см. задачу 0.26). Применяя классическое определение вероятности, получаем: .
Другой вариант решения. Пусть мы имеем в своём распоряжении m различных натуральных чисел, которые выбраны из данных n чисел. Если из этих чисел образовывать различные последовательности, то всего можно составить последовательностей. Все последовательности будут равновозможными. И только у одной из них числа, её образующие, будут составлять возрастающую последовательность. Следовательно: .
|
