Министерство образования и науки российской федерации федеральное агенство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионалбного образования

Скачать 1.1 Mb.

Название	Министерство образования и науки российской федерации федеральное агенство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионалбного образования
страница	4/4
Дата публикации	30.06.2013
Размер	1.1 Mb.
Тип	Учебно-методическое пособие

100-bal.ru > Математика > Учебно-методическое пособие

1 2 3 4

§4. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
4.1. Определить вероятность того, что в номере первой встретившейся автомашины: а) имеется одна цифра пять; б) имеются две цифры пять; в) нет цифры пять; г) есть хотя бы одна цифра пять. Известно, что все номера трёхзначные, неповторяющиеся и равновозможные.

4.2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трёх, но и не более восьми.

4.3. Имеется таблица двузначных чисел от 00 до 99. Из этой таблицы наудачу выписываются 200 чисел. Какова вероятность того, что среди выписанных чисел число 33 встретится а) три раза; б) четыре раза; в) не более четырёх раз?

4.4. Производятся три выстрела по некоторой цели. Вероятности попадания в цель изменяются в соответствии с номерами выстрелов: . Найти распределение вероятностей возможного числа попаданий.

4.5. Монета бросается m раз. Найти вероятность того, что «герб» появится не менее чем k, но и не более чем l раз, .

4.6. Монета бросается девять раз. Определить вероятность того, что число выпадений «герба» будет нечётным. Обобщить задачу для случая, когда количество бросаний нечётное число.

4.7. Монета бросается десять раз. Определить вероятность того, что число выпадений «герба» будет нечётным. Обобщить задачу для случая, когда количество бросаний чётное число.

4.8. Что вероятнее: а) выиграть у равносильного противника три партии из четырёх, или выиграть пять партий из восьми; б) выиграть не менее трёх партий из четырёх, или выиграть не менее пяти партий из восьми?

4.9. Имеется n лунок, в которые случайным образом разбрасываются m шариков. Найти вероятность того, что в заранее отмеченную лунку попадёт ровно k шариков.

4.10. Вероятность попадания в цель бомбы, сброшенной с самолёта, равна . Производится серии из десяти одиночных бомбометаний. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель и вероятность этого числа попаданий.

4.11. Орудия артиллерийской батареи сделали четырнадцать выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при одном выстреле равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; б) вероятность полного разрушения объекта, если для этого требуется не менее четырёх попаданий.

4.12. Вероятность наступления некоторого события A в каждом из n=6 независимых испытаний равна p. а) Какова вероятность того, что событие наступит только последовательно (подряд) три раза? б) Какова вероятность того, что событие A будет наступать только последовательными сериями по два раза?

4.13. Три игральных кости подбрасываются пять раз. Найти вероятность того, что а) два раза выпадут три единицы; б) три раза выпадут две единицы.

4.14. Найти вероятность того, что при проведении 2n испытаний появятся n+m успехов, при этом все испытания с чётными номерами закончатся успехом. Вероятность успеха в одном испытании равна p, а вероятность неудачи – q.

4.15. Монета брошена n раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет хотя бы один раз.

4.16. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем P=0,9 быть уверенным, что герб выпадет хотя бы один раз.

4.17. Получена партия приборов для проведения испытаний на надёжность. Вероятность отказа прибора при испытании равна . Сколько приборов нужно подвергнуть испытаниям, чтобы с вероятностью не менее, чем: а); б); в)получить хотя бы один отказ?

4.18. Вероятность попасть при одном выстреле в «десятку» для данного стрелка равна p. Сколько нужно произвести выстрелов этому стрелку, чтобы с уверенностью не менее чем P утверждать, что у него будет хотя бы одно попадание в «десятку»?

4.19. За один цикл работы станок-автомат изготовляет 15 деталей. За какое количество циклов работы вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее чем 0.9, если вероятность изготовления бракованной детали равна 0.01?

4.20. В одном из матчей на первенство мира по шахматам был установлен следующий регламент. За выигрыш партии участник получал одно очко, за проигрыш – ноль очков, ничьи не учитывались. Победителем матча назывался тот участник, который первым набрал шесть очков. Считая результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что проигравший участник матча наберёт k очков .

4.21. В урне находятся три шара: чёрного, белого и красного цветов. Производится пять извлечений по одному шару, причём каждый раз после фиксирования цвета шар возвращается обратно. Какова вероятность того, что шары чёрного и белого цветов были извлечены: а) по два раза каждый; б) не менее, чем по два раза каждый?

4.22. Мишень состоит из центрального круга и двух колец, образованных концентрическими окружностями. Вероятность попадания при одном выстреле в круг равна , вероятности попадания в первое, внутреннее и во второе, внешнее кольца равны соответственно и , . Стрелок произвёл шесть выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что стрелок три раза попал в круг, два раза – во внутреннее кольцо и один раз – во внешнее кольцо.

4.23. Монета бросается до тех пор, пока «герб» не выпадет пять раз. Что более вероятно: монета будет бросаться восемь раз или десять раз?

4.24. Игральная кость бросается до тех пор, пока число очков кратное трём не появится k раз. Определить вероятность того, что будет сделано n бросаний.

4.25. Для победы в волейбольном состязании команде необходимо выиграть три партии. Команды – неравносильные. Определить вероятность выигрыша одной партии для сильной команды, если для уравнивания шансов на победу она должна дать «фору» слабой команде: а) два очка; б) одно очко.

4.26. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске у них соответственно равны: и . Найти вероятность того, что: а) у них будет равное количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго; в) у второго баскетболиста будет больше попаданий, чем у первого.

4.27. Вероятность забросить мяч в корзину при одном броске для данного баскетболиста равна 0,4. Произведено десять бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

4.28. Игральная кость брошена шесть раз. Найти вероятность того, что на верхней грани появятся одна, две, три, четыре, пять и шесть точек по одному разу.

4.29. Матч между двумя шахматистами проводится на следующих условиях: 1) учитываются только результативные партии; 2) победителем считается тот, кто первым наберёт четыре очка при условии, что у его противника при этом будет не более двух очков; 3) если у обоих игроков будет по три очка, то победителем считается тот, кто первым наберёт пять очков. Определить вероятность победы в матче для каждого из игроков, если вероятности выигрыша любой партии у них относятся как три к двум.

4.30. Для прикуривания гражданин пользовался двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку. Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Какова вероятность того, что во второй коробке при этом осталось k спичек, если вначале в каждой коробке было по n спичек? (Задача Банаха).

Ответы

4.1. а); б); в); г). 4.2. а); б).

4.3. а); б); в).

4.4. Обозначим - случайное событие: «в результате трёх выстрелов по цели имелось k попаданий. .

4.5. . 4.6. . 4.7. . 4.8. а); б). 4.9. .

4.10. , , .

4.11. , . Обозначим случайное событие B – «объект полностью разрушен», тогда .

4.12. а); б). 4.13. а) ;

б) . 4.14. .

4.15. . 4.16.

4.17. а); б) ;

в) ; 4.18. . 4.19. Если n общее количество изготовленных деталей, то необходимое количество циклов определяем из неравенства: , то есть необходимо 16 циклов. 4.20. Пусть p и q – вероятности выигрыша одной партии для первого и второго игрока, соответственно. Обозначим случайное событие - «матч выиграл первый игрок, а второй игрок набрал k очков». Ясно, что: . Аналогично, если случайное событие - «матч выиграл второй игрок, а первый игрок набрал k очков», то: . Обозначим случайное событие C - «к моменту окончания матча проигравший игрок набрал k очков». Ясно, что . Тогда: . 4.21. а); б). 4.22. . 4.23. . 4.24. , где: . 4.25. Если p вероятность выигрыша одной партии для сильной команды, то а); б)p - решение уравнения: .

4.26. Обозначим случайное событие C – «у баскетболистов равные количества попаданий» и случайные события D – «у первого баскетболиста больше попаданий, чем у второго» и E – «у второго баскетболиста больше попаданий, чем у первого». Тогда: ; и , где и - случайные события – «баскетболист попал k раз», соответственно первый и второй. Ясно, что . 4.27. Из двойного неравенства следует: . Соответствующая вероятность: . 4.28. .

4.29. Пусть случайное событие A- «в матче победил первый игрок». Выдвигаем две гипотезы: - «первый игрок на первом этапе матча набрал четыре очка» и - «игроки на первом этапе матча набрали по три очка ». В первом случае игрок может победить в матче со счётом 4:0, или 4:1, или 4:2. Следовательно: и .

Пусть на первом этапе матча счет будет равным - 3:3, вероятность этой гипотезы: . Тогда событие A осуществится, если после второго этапа счёт в матче будет 5:3 или 5:4, то есть: . Здесь и .

По формуле полной вероятности получаем:

.

Аналогично, считая и , для случайного события B- «в матче победил второй игрок» по формуле полной вероятности получаем: .

Ясно, что обязательно будет: . 4.30. Если в одной из коробок осталось k спичек, то гражданин пользовался коробками спичек для прикуривания 2n-k раз. Эти 2n-k использований коробков спичек мы можем рассматривать как проведение 2n-k повторных независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностями равными 0,5 достаётся любой из двух коробков. При этом один коробок доставался n раз, а другой коробок доставался n-k раз. Тогда .

§5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРЯТНОСТИ

В круг, длина радиуса которого равна r, наудачу бросается точка. Возможность попадания точки в любую область круга не зависит от места положения области в круге и пропорциональна лишь площади этой области. Какова вероятность того, что расстояние от точки до центра круга будет меньше, чем половина длины радиуса?
В круг, длина радиуса которого равна r, наудачу бросается точка. Возможность попадания точки в любую область круга не зависит от места положения области в круге и пропорциональна лишь площади этой области. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг квадрата?
Прямоугольная решётка состоит из прутьев цилиндрической формы, радиус которых равен r. Расстояния между осями прутьев равны a и b. В решётку наудачу бросается шарик диаметром d. Траектория полёта шарика перпендикулярна плоскости решётки. Определить вероятность того, что шарик не заденет прутьев решётки.
На плоскости проведены параллельные прямые, расстояния между которыми попеременно равны 1,5см и 8см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на плоскость круг радиуса 2,5см не пересечёт ни одной линии.
В круге радиуса длиною R параллельно заданному направлению проводятся хорды. Какова вероятность того, что длина наудачу проведённой хорды будет не более чем R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром перпендикулярным заданному направлению?
Из наудачу выбранной на полуокружности точки на диаметр опускается перпендикуляр. Какова вероятность того, что длина этого перпендикуляра будет меньше, чем половина длины радиуса?
В круге радиуса r наугад выбирается точка. Из этой точки, перпендикулярно отрезку, соединяющему точку с центром круга, проводится хорда. Какова вероятность того, что длина этой хорды не превосходит r?
Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится экран длиной 2h, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину экрана с центром диска, перпендикулярна этому экрану. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы в экран, если расстояние между ним и центром диска равно l.
На отрезке длиною l наудачу выбраны две точки, в результате чего этот отрезок оказался разделённым на три части. Определить вероятность того, что из трёх получившихся частей можно построить треугольник.
На отрезке длиною l наудачу выбраны две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше kl, где ?
На отрезке AB длиною l наудачу поставлены две точки L и M. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M, чем к точке A.
На отрезке длиною l наудачу поставлены две точки. Определить вероятность того, что длины каждого из трёх получившихся отрезков не превосходит заданной величины a, где .
В квадрате, вершины которого имеют координаты: и , ставится наудачу точка M, координаты которой . Определить вероятность случайного события .
В круге радиуса r с центром в начале координат наудачу ставится точка M. Пусть - её координаты. Определить вероятность случайного события .
Около одной из двух окружностей, имеющих одинаковые радиусы, описан правильный треугольник. В другую окружность правильный треугольник - вписан. Что более вероятно: попасть наудачу брошенной точкой в часть треугольника, лежащую вне первой вписанной окружности, или в часть круга ограниченного второй окружностью и лежащую вне вписанного треугольника?
Два товарища договорились о встрече в течение промежутка времени T. Тот, кто первым придёт на место встречи ждёт товарища не более t минут. Определить вероятность того, что встреча состоится, если время прихода на место встречи каждого из них равновозможно в течение договоренного промежутка времени T.
Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из кораблей придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого корабля у причала один час, а второго – два часа.
На окружности радиуса R наудачу поставлены три точки. Какова вероятность того, что получившийся треугольник будет остроугольным?
Из множества положительных чисел, которые не превосходят единицу, наудачу выбираются два числа. Определить вероятность того, что сумма квадратов этих чисел не превосходит число 0,75.
Начало прямоугольной системы координат находится в центре круга единичного радиуса. Определить вероятность того, что сумма абсолютных значений координат наудачу выбранной внутри круга точки не превосходит длины радиуса круга.
Начало прямоугольной системы координат находится в центре шара единичного радиуса. Определить вероятность того, что сумма абсолютных значений координат наудачу выбранной внутри шара точки не превосходит длины радиуса шара.
Какова вероятность того, что из трёх наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит l, можно построить треугольник?
Какова вероятность того, что сумма длин трёх наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит l, будет больше l?
Стержень, длина которого равна l, ломается на части. а) Определить вероятность того, что, если точек излома – две, то часть стержня, оказавшаяся между точками излома, будет иметь длину не более . б) Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня, оказавшаяся между точками излома, будет иметь длину не более , если точек излома - три. Точки излома равновозможны в любом месте стержня.
На сфере произвольно выбираются две точки A и B. Через эти точки проводится окружность, центр которой совпадает с центром сферы. Какова вероятность того, что дуга AB этой окружности стягивает центральный угол меньший, чем , .
В шаре, длина радиуса которого равна R, наудачу выбирается точка. Определить вероятность того, что эта точка окажется внутри куба вписанного в этот шар.
Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма будет меньше единицы, а произведение – больше ?
Определить вероятность того, что корни квадратного уравнения: будут вещественными, если значения коэффициентов уравнения равновозможны в прямоугольнике: . Какова вероятность того, что при указанных условиях корни этого уравнения будут положительными?
Из множества чисел наудачу выбираются два числа. Найти вероятность того, что сумма их квадратов будет меньше, чем .
На отрезке наудачу выбираются две точки: и . Найти вероятность случайного события .
Плоскость разграфлена параллельными прямыми линиями, отстоящими друг от друга на расстоянии L. Найти вероятность того, что наудачу брошенная на плоскость игла, длина которой равна l, пересечёт какую-нибудь линию. (Задача Бюффона).

Ответы

5.1. . 5.2. . 5.3. . 5.4. . 5.5. . 5.6. . 5.7. . 5.8. . 5.9. . 5.10. . 5.11. . 5.12. , если . , если .

5.13. . 5.14. . 5.15. 5.16. . 5.17. . 5.18. . 5.19. . 5.20. . 5.21. . 5.22. . 5.23. . 5.24. а) б) . 5.25. . 5.26. . 5.27. .

5.28. Корни уравнения будут вещественными, если . Если , то . Если , то . Вещественные корни уравнения будут положительными, если и . Если , то . Если , то . 5.29. .

5.30. .

5.31. Положение иглы на плоскости однозначно определяется расстоянием от одной из параллельных линий до её левого конца и углом , который образует игла с параллельными линиями. Областью возможных значений координат, определяющих положение иглы, будет область: . Мера этой области будет равна:.

Обозначим случайное событие A – «Брошенная наудачу игла пересекла одну из параллельных линий». Областью координат , благоприятствующих наступлению этого события, будут координаты, удовлетворяющие условию:

Мера области, благоприятствующей наступлению события A, равна значению определённого интеграла: .

Окончательно получаем: .

1 2 3 4

	Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное... Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию		Министерство образования и науки российской федерации федеральное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Методические указания разработаны кандидатом экономических наук,... Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение...		Министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Инистерство образования и науки российской федерации федеральное агентство по образованию Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Рабочие программы учебных дисциплин (модулей) министерство образования... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Правила оформления дипломных работ Министерство образования и науки... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Методические указания Новокузнецк 2012 Министерство образования и... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Магистрской диссертации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального...
	Программа учебной практики министерство образования и науки российской... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Министерство по образованию и науке Российской федерации Федеральное... Данный урок является вторым. Использованы дифференцированный
	Министерство образования и науки российской федерации учебно-методическое... Санкт-Петербургского государственного политехнического университета в г. Череповце		Министерство образования и науки российской федерации федеральное... Негосударственное образовательное частное учреждение высшего профессионального образования

Похожие: