§3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА
Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причём в каждой партии одно изделие - бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую. После этого наудачу выбирается одно изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
В двух урнах находятся соответственно и белых и и чёрных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу выбирается один. Какова вероятность того, что этот шар будет белым?
Имеется одинаковых урн, в каждой из которых белых и k чёрных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну и т.д. Определить вероятность извлечения после таких перекладываний белого шара из последней урны.
Имеется три партии деталей. Для контроля качества деталей из наудачу выбранной партии наудачу взята одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной детали, если в одной из партий общего количества деталей - бракованные, а в двух других – все доброкачественные?
В двух из трёх одинаковых урн находятся по два чёрных и по два белых шара, а в третьей пять белых и один чёрный шар. Из наудачу выбранной урны извлекли один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что извлечение проводилось из урны, содержащей пять белых шаров?
В каждой из урн находится белых и штук чёрных шаров, а в каждой из урн - белых и штук чёрных шаров. Извлечённый из наудачу выбранной урны шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар извлечён: а) из урны первого типа; б) из урны второго типа?
Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля качества признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную признаёт пригодной с вероятностью 0,05. а) Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощённый контроль, будет признано пригодным. б) Изделие по результатам упрощённого контроля признано пригодным. Какова вероятность того, что контроль не ошибся?
Вероятность поступления k вызовов на телефонную станцию за промежуток времени длиною t равна . Считая, что количества вызовов за любые два соседних промежутка времени длиною t каждый - независимыми, определить вероятность поступления s вызовов за промежуток времени длиною 2t.
Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5.
В тире имеется пять ружей, вероятности попадания при одном выстреле из которых соответственно равны: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9.Стреляющий берёт винтовку наудачу и делает дин выстрел. Определить вероятность попадания.
Вероятность попадания снаряда в цель при одном выстреле равна 0,7, а вероятность разрушения цели при попадании в неё одного снаряда равна 0,9. Орудие произвело подряд три выстрела. Какова вероятность того, что цель будет разрушена?
В сосуд, содержащий n шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров в урне – равновозможные? Какова вероятность того, что в урне содержались: а) только белые шары; б) только чёрные шары, если извлечённый шар оказался белым?
В урне имеется n шаров, причём цвет каждого из них с равными вероятностями может быть белым или чёрным. Извлекаются последовательно m шаров с возвращением каждый раз шара обратно после фиксирования его цвета. Какова вероятность того, что в урне содержатся только белые шары, если чёрные шары не извлекались?
В ящике находится 15 теннисных мячей, из которых – 9 новых. Для первой игры наугад берут три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, - новые.
В правом кармане имеются три монеты по 50 копеек и четыре монеты по 10 копеек, а в левом – шесть монет по 50 копеек и три монеты по 10 копеек. Из правого кармана в левый карман наудачу перекладываются пять монет. После этого из левого кармана наудачу извлекается одна монета. Определить вероятность того, что это будет монета достоинством в 50 копеек. Как изменится эта вероятность, если сначала перекладывать монеты из левого кармана в правый карман, а потом из правого кармана наудачу брать монету такого же достоинства?
Из 30 вопросов программы составлено пятнадцать билетов, каждый из которых состоит из двух вопросов. Экзаменующийся студент может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен экзаменующимся будет сдан, если для этого надо ответить на два вопроса билета или на один из вопросов билета и на один дополнительный вопрос, заданный экзаменатором.
Преподаватель составил по программе курса M экзаменационных билетов. Студент успел выучить m билетов . Возникает вопрос: «Каким по списку ему лучше всего идти на экзамен (первым, вторым, третьим, …, последним), чтобы вероятность взять «хороший» билет была максимальной»?
В маршрутном такси едут n пассажиров. На ближайшей остановке каждый из них может выйти с вероятностью p. На этой остановке в такси с вероятностью могут войти два новых пассажира. С вероятностью может войти один новый пассажир и с вероятностью не войдёт ни один новый пассажир . Найти вероятность того, что, когда такси после этой остановке снова тронется в путь, в салоне будут: а) по-прежнему n пассажиров; б)n-1 пассажир.
Из восемнадцати стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8; семь – с вероятностью 0,7; четыре - с вероятностью 0,6 и два – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
Стрелки A и B поочерёдно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, и затем при последующих выстрелах эти вероятности попадания у каждого стрелка увеличиваются на 0,05. Какова вероятность того, что первым произвёл выстрел стрелок A, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень?
Вероятности попадания при одном выстреле для трёх стрелков равны соответственно . При одновременном выстреле всех трёх стрелков имелось два попадания в мишень. Определить вероятности того, что промахнулся: а) первый, б) второй, в) третий стрелок.
Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который в результате был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. Эти вероятности должны помочь установить долю каждого стрелка при делении трофея.
Из двух близнецов первый – мальчик. Какова вероятность того, что другой тоже мальчик, если среди близнецов вероятности рождения двух мальчиков и двух девочек соответственно равны a и b, а вероятности рождения разнополых близнецов в любой последовательности – одинаковы?
В колледже n студентов, из которых студентов учится k-тый год, то есть: . Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше другого. Найти вероятность того, что этот студент учится третий год?
Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что при приёме искажаются в среднем сигналов «точка» и сигналов «тире». То есть, в результате искажения сигнал «точка» принимается как сигнал «тире» и - наоборот. Известно, что в передаваемых сообщениях сигналы «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят без искажения передаваемый сигнал, если: а) принят сигнал «точка»; б) принят сигнал «тире».
Урна содержала m белых и n чёрных шаров. Но один шар, цвет которого неизвестен, утерян. 1) При испытании состава урны наугад извлекли один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что был утерян белый шар? 2) При испытании состава урны одновременно извлекли а белых и b черных шаров . Какова вероятность того, что был утерян белый шар?
Урна содержит два шара, про цвет каждого из них известно, что он с равными вероятностями может быть и белым, и чёрным. В урну добавляют два белых шара, затем наудачу извлекают два шара, которые оказались белого цвета. Какова вероятность того, что в урне остались шары чёрного цвета?
В первой урне белых и чёрных шаров, во второй - белых и чёрных шаров и в третьей - белых и чёрных шаров. Из первой урны наудачу берут один шар и перекладывают его во вторую. Затем перекладывают один шар из второй урны в третью и, наконец, из третьей урны перекладывают один шар в первую. Какова вероятность того, что: а) составы всех урн не изменится; б) состав первой урны не изменится?
Брошены три игральных кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпало по шесть очков, если известно, что, по крайней мере, на одной кости выпало шесть очков.
В первой урне находятся 1 белый и 9 чёрных шаров, а во второй – 1 чёрный и 4 белых. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что вынутый из третьей урны шар окажется белым.
При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулёзом у больного этой болезнью равна . Вероятность признать здорового человека больным равна . Пусть доля больных туберкулёзом по отношению ко всему населению равна . По результатам обследования человек был признан больным. Какова вероятность того, что диагноз ошибочен, то есть того, что в действительности этот человек здоров?
На сборку поступают детали с двух станков-автоматов. Первый станок даёт в среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. Найти вероятность того, что взятая слесарем-сборщиком деталь будет «хорошей», если с первого станка-автомата поступило 2000 штук деталей, а со второго – 3000 штук.
Имеются три урны, причём в k-той урне белых и чёрных шаров . Из двух наудачу выбранных урн взяли по одному шару. Определить вероятность того, что это будут шары разных цветов.
В кошельке имеются шесть монет достоинствами в 10 и 50 копеек. Наудачу извлекли две монеты, оказавшиеся пятидесятикопеечными. Определить вероятность того, что в кошельке было поровну десяти- и пятидесятикопеечных монет, если все предположения о первоначальном распределении количеств монет этих достоинств – равновозможные. Как изменится эта вероятность, если считать, что первоначально любая из шести монет с равной вероятностью могла быть или достоинством в 10 копеек, или достоинством в 50 копеек?
Имеются десять карточек, на которых написаны числа 3,3,3,4,4,5,5,6,6,6. Наудачу одна за другой извлекаются две карточки. Число, написанное на первой карточке, берётся в качестве числителя, а число, написанное на второй карточке, - в качестве знаменателя дроби. Найти вероятность того, что полученная дробь будет правильной, то есть – её числитель будет меньше знаменателя.
В двух ящиках находятся по десять деталей первого и второго сортов. В первом ящике две второсортных детали, а во втором – три. Из выбранного наудачу ящика взяли две детали, оказавшиеся разных сортов. Из какого ящика вероятнее всего проводилось извлечение?
Первое орудие артиллерийской батареи попадает в цель с вероятностью 0,3, два других орудия в эту же цель попадают с одинаковыми вероятностями – 0,2. Для поражения цели достаточно двух попаданий. Орудия одновременно произвели по одному выстрелу, в результате чего цель была поражена. Определить вероятность того, что первое орудие попало в цель.
В каждой из трёх партий находится 30 деталей. Третья часть деталей одной из этих партий является второсортной, остальные делали в партиях – первого сорта. 1) Деталь, взятая наудачу из одной из партий, оказалась первосортной. Определить вероятность того, что эта деталь была взята из партии имеющей второсортные детали. 2) Первая деталь, после проверки её качества, была возвращена обратно. Вторая деталь, взятая наудачу из этой же партии, так же оказалась первосортной. Какова вероятность того, что извлечения проводились из партии имеющей второсортные детали? 3) Вторую деталь, после проверки её качества, возвратили обратно. Из этой же партии взяли снова наудачу деталь. Эта третья деталь так же оказалась первосортной. Какова теперь вероятность того, что все три извлечения проводились из партии, имеющей второсортные детали? Сравнить полученные вероятности с аналогичными вероятностями, вычисленными при условиях, что две, три детали берутся одновременно. Проверяется их качество и все они оказываются первосортными. Как объяснить полученные результаты?
В первой урне общего числа шаров составляют шары белого цвета. Остальные шары – чёрного цвета. Во второй урне, наоборот, число шаров белого цвета составляет общего числа шаров. Остальные шары в этой урне – чёрные. Игрок наудачу выбирает урну и производит извлечения из неё по одному шару, возвращая каждый раз шар обратно после фиксирования его цвета. Известно, что в каждом из сделанных k извлечений появлялся только шар белого цвета. Как изменяются в связи с появлениями каждый раз шара белого цвета предположения игрока о том, что он проводит извлечения: а) из первой урны; б) из второй урны?
Получена партия из восьми изделий одного образца. Все предположения о количестве бракованных изделий в этой партии равновозможные. По данным проверки качества половины партии три изделия оказались технически исправными, а одно – бракованным. Какова вероятность того, что при проверке качества трёх последующих изделий одно окажется исправным, а два окажутся бракованными?
Ответы
3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. .
3.5. . 3.6. а) ; б) .
3.7. а) ; б) .
3.8. .
3.9. . 3.10. .
3.11. .
3.12. . а) ; б) . 3.13. .
3.14. .
3.15. Если k – количество переложенных монет достоинством в 50 копеек, то ; .
3.16. . 3.17. Вероятность взять «хороший» билет не зависит от номера экзаменующегося в списке студентов и во всех случаях равна для него: .
3.18. Пусть: случайное событие A – «после остановки в салоне такси - n пассажиров»; случайное событие B – «после остановки в салоне такси - n-1 пассажир». Сделаем четыре гипотезы: «на остановке из такси вышло k человек», . Тогда:
вышло 0 человек , ;
вышел 1 человек , ;
вышли 2 человека , ;
вышли 3 человека , ;
По формуле полной вероятности получаем: ; . 3.19.
3.20. . 3.21. а) ; б) ; в) . 3.22. , . 3.23. .
3.24. . 3.25. Обозначим:
; . Тогда: .
3.26. 1) ; 2) .
3.27. . 3.28. а) ; б) .
3.29. . 3.30. .
3.31. . 3.32. 0,9986.
3.33. .
3.34. 3.35. .
3.36. Так как , то вероятнее всего, что извлечение проводилось из второго ящика.
3.37. .
3.38. ;
б) . Извлечь одновременно две, три первосортных детали из партии, имеющей второсортные детали, менее вероятно, чем извлечь две, три первосортные детали, предварительно возвращая предыдущую обратно, так как в этом случае одна и та же деталь может быть извлечена дважды, трижды.
3.39. а) б) где событие - «при k-том извлечении появился шар белого цвета». 3.40. Случайное событие A – «среди первых четырёх проверенных изделий три – исправны и одно – бракованное». . Случайное событие B – «среди следующих трёх проверенных изделий одно – исправное и два – бракованные». .
|
