Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 313.21 Kb.
|
Рис. 5  Рис. 6  Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста». На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части. На стенде вы можете познакомиться с двадцатью тремя такими доказательствами. А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке. Т е о р е м а. «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис. 7). Рис. 7  Д а н о: ∆ АВС, < С = 900 . Д о к а з а т ь: АВ2 = АС2+ ВС2. Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведём высоту CD из вершины прямого угла С . Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому в ∆ ACD cos A  , а в ∆ АВС cos А  Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно,  . Отсюда, по свойству пропорции, получаем: АС2 = AD ∙ АВ . (1) Аналогично, в ∆ ВCD cos В  , а в ∆ АВС cos В  Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно,  . Отсюда, по свойству пропорции, получаем: ВС2 = В D ∙ АВ . (2) Сложим почленно равенства (1) и (2), и вынесем общий множитель за скобки: АС2 + ВС2 = AD ∙AB + BD ∙ AB = AB ∙ (AD + BD) = AB ∙ AB = AB2. Получили, что АВ2 = АС2 + ВС2 . Итак, Если дан нам треугольник И притом, с прямым углом То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путем К результату мы придем. (И. Дырченко) 2.9.3. Мини проект группы учащихся «Практики» На уроках, на зачётах и экзаменах иногда бывают случаи, когда мы, вытянув билет, помним формулировку теоремы, но забываем с чего начать доказательство. Чтобы этого не произошло с нами, предлагаем рисунок - опорный сигнал (рис. 1) и, думаем, Теорема Пифагора надолго останется в нашей памяти. Рис . 1  Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли. На математическом языке это означает: провели в ∆ АВС высоту CD, и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC . Вспомнив этот рисунок, вы вспомните дополнительное построение и начало доказательства теоремы. Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач. Особенностью теоремы Пифагора является то, что она неочевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении С2 = а 2 + b2 . Решим устно несколько задач по готовым чертежам. Задача № 1 Рис. 2  Р е ш е н и е. ∆АВС - прямоугольный с гипотенузой АВ , по теореме Пифагора: АВ2 = АС2+ ВС2, АВ2 = 82 + 62, АВ2 = 64 + 36, АВ2 = 100, АВ =  , АВ = 10 . Ответ: 10 З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня: АВ =  . АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10. Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями, и каждый раз не будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются.Задача № 2 Рис. 3  Р е ш е н и е. ∆ DCE - прямоугольный с гипотенузой DE (рис. 3), по теореме Пифагора: DE2 = D С2 + CE2, DC2 = DE2 – CE2, DC2 = 52 – 32, DC2 = 25 - 9, DC2 = 16, DC = 4 .  Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в «правиле верёвки» для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей… Задача № 3 Рис. 4  Р е ш е н и е. ∆ KLM вписан в окружность и опирается на диаметр KM (рис. 17). Так как, вписанные углы, опирающиеся на диаметр, - прямые. То < KLM - прямой. Значит, ∆ KLM – прямоугольный. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KLM с гипотенузой КМ: KM2 = KL2 + KM2, KM2 = 52 + 122, KM =  , KM =  , KM = 13. А теперь письменно решим следующую задачу. Задача № 4. Высота, опущенная из вершины ВD ∆АВС , делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см . Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см (рис. 5). Рис. 5  Д а н о: ∆ АВС , BD ┴ АС , АВ = 20 см , AD = 16 см , DC = 9 см . Н а й т и: ВС . Р е ш е н и е. 1) По условию задачи BD ┴ АС , значит, ∆ ABD и ∆CBD – прямоугольные. 2) По теореме Пифагора для ∆ ABD : АВ2 = AD2 + BD2 , отсюда BD2 = AB2 – AD2, BD2 = 202 – 162, BD2 = 400 – 256, BD2 = 144, BD =  , BD = 12 см . 3) По теореме Пифагора для ∆ С BD : ВС2 = В D2 + D С2 , отсюда BC2 = 122 + 92, BC2 = 144 + 81, BC2 = 225, BC =  , BC = 15 см . О т в е т: ВС = 15 см . Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон». Этой теореме даже посвящены стихи. О теореме Пифагора Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна… (Отрывок из стихотворения А. Шамиссо) Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды, выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ приписывалось учителю и о многом другом, советуем прочитать книгу А.В. Волошинова «Пифагор», которая имеется в нашей школьной библиотеке. Приложение № 1 ЛЕГЕНДЫ, СВЯЗАННЫЕ С ИМЕНЕМ ПИФАГОРА По одной из легенд отцом Пифагора был сириец Мнесарх. Однажды по торговым делам он прибыл из своего родного Тира на остров Самос. Год был неурожайным, население голодало, и Мнесарх устроил бесплатную раздачу хлеба народу. В благодарность его удостоили самосского гражданства. По словам историка Апулея «Мнесарх славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство». Сохранилось предание, согласно которому Мнесарх вместе со своим учеником вырезал перстень дивной красоты. Этот перстень перешёл к правителю острова Самос Поликрату и ценился им превыше всего на свете. Однажды египетский фараон Амасис, состоящий с самосским тираном в дружеских отношениях, встревожился его великим преуспеванием и написал Поликрату письмо, в котором говорил так: «приятно узнать, что друг мой счастлив. Но всё те твои успехи не радуют меня, так я знаю, сколь ревниво божество к человеческому счастью. Поэтому я желал бы, чтобы и у меня самого, и моих друзей одно удавалось, а другое - нет, чтобы лучше на своём веку мне непременно сопутствовали успехи и неудачи, чем быть счастливому всегда. Ведь мне не приходилось слышать ещё ни об одном человеке, кому бы всё удавалось, а в конце концов он не кончил плохо. Поэтому послушайся моего совета теперь и ради своего счастья поступи так: обдумай, что тебе дороже всего на свете и потеря чего может больше всего огорчить тебя. Эту вещь ты закинь так, чтобы она не попадалась никому в руки. И если и тогда успехи у тебя не будут сменяться неудачами, то и впредь применяй, то же средство по моему совету». Поликрат нашёл совет Амасиса мудрым. «Посадив людей на корабль, он сам поднялся на борт и приказал затем выйти в море. Когда корабль отошёл далеко от острова, Поликрат снял перстень и на глазах у всех своих спутников бросил в море. После этого, опечаленный потерей, он вернулся во дворец. А спустя пять или шесть дней какой-то рыбак поймал большую красивую рыбу и решил, что это достойный подарок Поликрату. Он принёс рыбу во дворец, а слуги, выпотрошив её, нашли в брюхе тот Поликратов перстень. Поликрат понял тогда, что это божественное знамение, и написал Амасису обо всём. Амасис же, прочтя послание Поликрата, убедился, что ни один человек не может уберечь другого от предречённой ему участи и что Поликрат не кончит добром, так как он преуспевает во всём и даже находит то, что забросил». Пророчество Амасиса сбылось. Опасаясь владычества Поликрата на море, персы хитростью выманили Поликрата из Самоса, и зверски убили его. Легенда о Поликратовом перстне, в котором нашла отражение вечная тема непостоянства земного счастья, стала популярным литературным сюжетом. Вспомним «Поликратов перстень» Шиллера: На кровле он стоял высоко И на Самос богатый око С весельем гордым преклонял. «Сколь щедро взыскан я богами! Сколь счастлив я между царями!» Царю Египта он сказал. Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли её Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына – Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына. Наконец, многие, имея на то основания, считали, что Пифагор – это не имя, а прозвище. Поскольку мудрый учитель высказывал истину столь же постоянно и авторитетно, как и дельфийская Пифия, он был прозван Пифагором. Слово Пифагор можно перевести как вещающий (прорицающий) как Пифия. Версия о том, что Пифагор это имя не собственное, а прозвище, представляется наиболее правдоподобной. Ведь и знаменитый философ Аристокл известен нам не по своему настоящему имени, а по прозвищу, которое он получил за свою мускулатуру гимнаста, – широкий, широкоплечий, по-гречески Платон. Приложение № 2 ПИФАГОРОВЫ ЗАКОНЫ И НРАВСТВЕННЫЕ ПРАВИЛА Кротон... Здесь начинается самый славный период биографии Пифагора. Сорок лет, возраст акме- вершина творческих сил человека - стал и временем рас- цвета философии Пифагора. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни - это был одновременно и религиозный союз , и политический клуб, и научное общество. Он быстро завоевал широкую известность и стал ведущим центром духовной и общественной жизни. Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников, которые и сегодня достойны подражания. Система морально-этических правил, завещанная ученикам Пифагора, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев - «Золотые стихи». Они переписывались и дополнялись па протяжении всей тысячелетней истории античности, а затем и в эпоху средневековья и Возрождения. В 18 - 19 в.в. «Золотые стихи» были особенно популярны в России. В 1808 году в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка «Пифагоровы законы и нравственные правила», начинавшаяся словами: Зороастр был законодателем персов. Ликург был законодателем спартанцев. Солон был законодателем афинян. Нума был законодателем римлян. Пифагор есть законодатель всего человеческого рода. Вот некоторые из 325 Пифагоровых заповедей: Мысль – превыше всего между людьми . Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов. Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества. Юные девицы! Помятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу. Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются. Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться. Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать. Не пренебрегай здоровьем своего тела. Научись жить просто и без роскоши. Через весы не шагай – избегай алчности. Не садись на хлебную меру – не живи праздно. Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания. Ласточек в доме не держи – не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык. Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день. По торной дороге не ходи – следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих. Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выражают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда, покуда жив человек. Пифагорейцы с равным усердием заботились и о духовном развитии, и о физическом. У них был особый распорядок дня, в котором находилось время для гимнастических упражнений. Не случайно среди дошедших до нас имён олимпийских победителей так много кротонцев: шестикратный победитель Олимпийских игр среди борцов ученик Пифагора Милон; легендарный прыгун Фаилл. А однажды в беге на одну дистанцию все семь победителей оказались кротонцами. В те времена в ходу были поговорки: «Последний из кротонцев - первый из ос- тальных греков» или «Здоровье кротонца», что означало высшую степень физического развития. Но вместе с этими благородными истинами было в учении Пифагора и много мистического, туманного и просто смешного не только для наших современников, но и для современников Пифагора. Среди такого было учение о бессмер-тии души, о переселении души человека в животных после смерти, «что всё рождённое вновь рождается через промежутки времени, что ничего нового на свете нет, и что всё живое должно считаться родственным друг другу». Из учения о переселении душ следовали и предписания, запрещающие убивать животных и питаться их мясом, так как в животном могла обитать душа умершего человека. Но это табу Пифагора грекам приходилось не по душе, и они не упускали случая вспомнить Пифагору его собственные прегрешения. Многие историки видят в пифагорейском учении о переселении душ след пребывания Пифагора в Египте, так как они первыми создали учение о посмертном круге души. Египетские влияния просматриваются и других сторонах жизни пифагорейского братства. Как и египетские жрецы, пифагорейцы запрещали употреблять в пищу бобы и даже прикасаться к ним, потому что по легенде бобы произошли из капель крови растерзанного Диониса - Загрея. Забота о чистоте духа не заслоняла для пифагорейцев заботу о чистоте тела. Сам Пифагор всегда облачался в ослепительно белые одежды, подобно египетским жрецам, и любил носить восточный тюрбан. Возможно, жреческой замкнутостью объясняется и тайный характер всего пифагорейского учения. Поскольку учение Пифагора было тайным, то оно, видимо не записывалось. Вот почему не сохранилось ни одной строчки трудов самого Пифагора, скорее всего он их просто не писал. В силу этого, а также в силу существовавшей в античности традиции приписывались результаты открытий учеников своему учителю, поэтому сегодня невозможно определить, что сделал в науке сам Пифагор, а что - его ученики. Древние верили, что идеи, подобно вину, только улучшаются с возрастом. Поэтому ученики щедро приписывали свои открытия учителям, которые чаще всего об этих открытиях и не подозревали. Споры по этому вопросу, начатые Аристотелем, ведутся третье тысячелетие, однако общего мнения не существует. Вот почему вместо слов «учение Пифагора» принято говорить «пифагорейское учение». Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружён множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. Попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос учителя, а видеть его разрешалось только после нескольких лет очищения и аскетической жизни. Пифагорейский аскетизм для новичка сводится, прежде всего, к обету молчания. Обет молчания нашел своё отражение в символе - «Бык за зубами», что на современный лад означает «Держи язык за зубами». 2.10. Материалы по формирующему и итоговому оцениванию 2.10.1.Критерии оценивания мини проекта групп учащихся
2.10.2. Критерии оценивания презентации учителя
|
