Решение. Ответ. 20

Решение.

Координатная прямая

• 
  Координатной прямой называют прямую, на которой заданы положительное направление, начало отсчета (точка О) и единичный отрезок.
  
• 
  Каждой точке на координатной прямой соответствует некоторое число, которое называют координатой этой точки. Например, А(5). Читают: точка А с координатой пять.  В(-3). Читают: точка В с координатой минус три.
  

Начертим прямую, стрелкой покажем положительное направление, поставим точку О(0) — начало отсчета и выберем единичный отрезок 1 клетку. На полученной координатной прямой отметим заданные точки. Точка А(-7) отстоит от начала отсчета — точки О влево на 7 единичных отрезков (7 клеток). Точку В(-3) отметим на 3 клетки левее начала отсчета. Точка С(2) будет находиться правее нуля на 2 клетки, а точку D (5) отметим на 5 клеток правее начала отсчета.

Пример 2. Изобразить на координатной прямой точки А(-4,5), В(-2), С(2,5) и D (6).

Начертим координатную прямую, за единичный отрезок возьмем 1 клетку. От начала отсчета отложим четыре с половиной клетки влево и поставим точку А. Точка С будет находиться справа от нуля на расстоянии двух с половиной клеток. Точку В отметим на 2 клетки левее точки О, а точку D на 6 клеток правее точки О.

Пример 3. Изобразить на координатной прямой числа: 5; -4; -1; 3; -6; 7. Сравнить с помощью координатной прямой: а) 0 и 5; б) -1 и 7; в) -6 и -4; г) 5 и -6; д) 0 и -6; е) -4 и 3. Сделать выводы.

Выбрав единичный отрезок равным 1 клетке, отметим числа -6, -4 и -1 слева от нуля, а числа 3, 5 и 7 справа от нуля. Меньшее число располагается левее на координатной прямой, а большее — правее.

а) 0<5;      б) -1<7;       в) -6<-4;     г) 5>-6;      д) 0>-6;      е) -4<3.

Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Построение точек в координатной плоскости

• 
  Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке О — начале отсчета, образуют прямоугольную систему координат, называемую также декартовой системой координат.
  
• 
  Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью. Координатные прямые называются координатными осями. Горизонтальная — ось абсцисс (Ох), вертикальная — ось ординат (Оy).
  
• 
  Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части — четверти. Порядковые номера четвертей принято считать  против часовой стрелки.
  
• 
  Любая точка в координатной плоскости задается своими координатами - абсциссой и ординатой. Например, А(3; 4). Читают: точка А с координатами 3 и 4. Здесь 3 — абсцисса, 4 — ордината.
  

 

I. Построение точки А(3; 4).

Абсцисса 3 показывает, что от начала отсчета — точки О нужно отложить вправо 3 единичных отрезка, а затем вверх отложим 4 единичных отрезка и поставим точку. Это и есть точка А(3; 4).

Построение точки В(-2; 5).

От нуля отложим влево 2 единичных отрезка, а затем вверх 5 единичных отрезков. Ставим точку В.

Обычно за единичный отрезок принимают 1 клетку.

II. В координатной плоскости xOy построить точки: 

A (-3; 1);  B (-1; -2);

C (-2: 4);  D (2; 3);

F (6: 4);    K (4; 0)

III. Определить координаты построенных точек: A, B, C, D, F, K.

Ответы.

А(-4; 3);   В(-2; 0);

С(3; 4);     D (6; 5);

F (0; -3);    K (5; -2).

Простейшие комбинаторные задачи.
Комбинаторика — своеобразный и очень интересный раздел математики, в котором решаются задачи выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Простейшие комбинаторные задачи связаны с перебором различных вариантов, удовлетворяющих поставленным условиям. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 3, 5, 7?

Если бессистемно начать составлять всевозможные числа, можно что-то упустить или написать какое-то число дважды. Поэтому лучше всего придумать способ перебора, при котором ни одно из возможных чисел от нас бы не ускользнуло и, с другой стороны, который исключил бы возможность повторения. Один из таких способов — записывать возможные числа в порядке возрастания: 33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77. В итоге получилось 9 чисел.

2. К завтрашнему дню нужно сделать: литературу, географию и математику. В какой последовательности — безразлично. Сколько всего существует таких последовательностей?

Введем для удобства обозначения: Л — литература, Г — география, М — математика. Выпишем все возможные последовательности в алфавитном порядке: ГЛМ, ГМЛ, ЛГМ, ЛМГ, МГЛ, МЛГ. Получилось 6 последовательностей — уроки можно сделать шестью способами!

При решении задач нужно обязательно выписывать все возможные варианты.
Определение.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

В реальной жизни комбинаторные задачи решают конструкторы при создании новой модели механизма; агроному при планировании размещения культур; химики при изучении строения органических молекул.

Комбинаторика возникла в Древнем Китае и Греции. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 веке.

По мере развития комбинаторики выяснилось, что центральное место занимают задачи, для решения которых либо надо перебрать все возможные варианты, либо определить число таких вариантов, либо сделать и то и другое.
Решение задач
1. Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.

Решение.

В записи числа на первом месте может стоять цифра 1 или 2, на втором месте также одна из двух цифр 1 и 2. На третьем месте также можно записать либо 1 либо 2. получили восемь чисел:

111, 112, 121, 122, 122, 212, 221, 222
2. Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 0 и 7. найдите сумму этих чисел и разделите ее на 211.

Решение.

Записи чисел на первом месте может стоять только цифра 7. на втором месте также цифра 7 и 0. на третьем месте также цифра 7 и 0. Получили четыре числа:

777, 707, 770, 700

Сложим: 777+707+770+700=2954

Разделим: 2954 : 211 =14
3. Сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение.

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей - любая из двух оставшихся. Получается: всего из данных цифр можно составить 4 _* 3_* 2 = 24 трехзначных числа.
4. В футбольной команде пятого класса 7 человек. Члены команды выбирают капитана и вратаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Капитаном можно выбрать одного из 7, после того как капитан выбран, можно выбрать вратаря уже из 6 оставшихся игроков. Значит капитана можно выбрать семью способами, а вратаря шестью. Следовательно, общее число способов выбрать капитана и вратаря равно: 7 _* 6 = 42.
5. В правлении фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президент. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Президентом можно выбрать одного из 5, а вице-президентом можно оставшихся членов правления, значит 5 _* 4 = 20 способами.
6. У Бориса до тренировки по плаванию оставалось время, и он решил съездить в зоопарк. От дома до зоопарка Борис может доехать на метро, от зоопарка до бассейна – автобусом, троллейбусом или на метро. Сколькими способами Борис может доехать от дома до бассейна, посетив зоопарк?

Решение.

От дома до зоопарка Борис может выбрать маршрут тремя способами. От зоопарка до бассейна тоже тремя. Значит, Борис может доехать от дома до бассейна, посетив зоопарк: 3 * 3 = 9 способами.