Итоговая государственная аттестация на присвоение квалификации математик по специальности 010101.65 “Математика” Междисциплинарный экзамен по специальности “Математика”.
Защита дипломной работы.
Итоговая государственная аттестация на присвоение квалификации математик, системный программист по специальности 010501.65 “Прикладная математика и информатика” Междисциплинарный экзамен по специальности “Прикладная математика и информатика”.
Защита дипломной работы.
Итоговая государственная аттестация на присвоение степени бакалавра прикладной математики и информатики по направлению 010500.62 “Прикладная математика и информатика”
Междисциплинарный экзамен по направлению “Прикладная математика и информатика”.
Защита бакалаврской работы.
Итоговая государственная аттестация на присвоение степени бакалавра математики по направлению 010300.62 “Математика. Компьютерные науки”
Междисциплинарный экзамен по направлению “Математика. Компьютерные науки”.
Защита бакалаврской работы.
Итоговая государственная аттестация на присвоение степени бакалавра математики по направлению 010100.62 “Математика”
Междисциплинарный экзамен по направлению “Математика”.
Защита бакалаврской работы.
Итоговая государственная аттестация на присвоение степени магистра прикладной математики и информатики по направлению 010400.68 “Прикладная математика и информатика”
Междисциплинарный экзамен по направлению “Прикладная математика и информатика”.
Защита магистерской диссертации.
Итоговая государственная аттестация на присвоение степени магистра математики по направлению 010200.68 “Математика и компьютерные науки”
Междисциплинарный экзамен по направлению “Математика. Компьютерные науки”.
Защита магистерской диссертации.
Итоговая государственная аттестация на присвоение степени магистра математики по направлению 010100.68 “Математика”
Междисциплинарный экзамен по направлению “Математика ”.
Защита магистерской диссертации.
Согласно положению об итоговой государственной аттестации выпускников ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» от 05.06.2010 г. “к междисциплинарному экзамену по направлению (специальности) и защите выпускной квалификационной работы допускаются лица, завершившие полный курс теоретического обучения по одной из основных профессиональных образовательных программ и успешно прошедшие все предшествующие аттестационные испытания, предусмотренные учебным планом. Итоговый экзамен по отдельной дисциплине может проводиться до завершения полного курса обучения по профессиональной образовательной программе”.
3 Программы итоговых экзаменов
3.1 Программа междисциплинарного экзамена по специальности 010101.65 “Математика”
Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями 
Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы.
Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.
Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Жорданова форма матрицы.
Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-гo порядка.
Основная теорема арифметики, сравнения, кольцо  .Теорема Ферма о сравнениях по простому модулю, теорема Эйлера (о функции Эйлера) и теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы.
Приведение формул исчисления высказываний (ИВ) к нормальным формам.
Доказуемые и тождественно истинные формулы ИВ. Теорема о полноте ИВ.
Рекурсивность основных арифметических функций.
Машины Тьюринга для вычисления простейших рекурсивных функций.
Классификация состояний в неприводимой Марковской цепи. Теорема солидарности.
Предел последовательности и предел функции в точке.
Непрерывность функции в точке и на отрезке, точки разрыва 1-гo и 2-го рода.
Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала.
Формула Лагранжа конечных приращений.
Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.
Схема исследования функции и построения ее графика.
Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции.
Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой.
Формула Эйлера для нормальной кривизны поверхности в заданном направлении.
Первообразная функции, определенный интеграл, его геометрический и механический смысл, теорема о среднем значении. Интегрируемые функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Дифференцирование интегралов с параметром.
Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.
Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании функциональной последовательности и функционального ряда.
Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).
Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества.
Фундаментальная последовательность, полное пространство.
Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в  .
Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости.
Мера Лебега и интеграл Лебега.
Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана.
Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.
Разложение в ряд Тейлора голоморфной функции, формулы выражения коэффициентов через производную и интеграл. Теорема единственности.
Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана. Теорема Руше и принцип аргумента.
Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование.
Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка.
Линейные ДУ  -гo порядка с постоянными коэффициентами.
Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек (узел, седло, фокус, центр и др.).
Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка.
Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач.
Метод разделения переменных.
Определение интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции.
Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.
Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости.
Схема построения разностного решения дифференциальных задач.
Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
Неявная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.
Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Бинарные деревья.
Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.
Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов.
Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения.
Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.
Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных.
Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения.
Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.
Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.
Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.
Список литературы
Беклемишев, Р. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Р.В. Беклемишев. – М.: Наука, 1981.
Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1968.
Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1970.
Мальцев, А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1965.
Ершов, Ю. Л. Математическая логика / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. – М.: Наука, 1979.
Никольский, С. М. Курс математического анализа: в 2 т. / С.М. Никольский. – М.: Наука, 1975.
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1970.
Зорич, В. А. Математический анализ: в 2 т. / В.А. Зорич. – М.: Наука, 1981.
Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.
Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1985.
Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1989.
Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. – М.: Наука, 1986.
Севастьянов, Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б.А. Севастьянов. – М.: Наука, 1982.
Ивченко, Г.И. Математическая статистика: учеб. пособие. /
Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев. – М.: Высш. шк., 1984.
Турчак, Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – М.: Физматлит, 2003.
Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1971.
Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. – М.: Наука, 1982.
Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. – М.: Наука, 1970.
Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1984.
Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. – М.: Наука, 1983.
Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1977.
Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н.Вирт. – М.: Мир, 1989.
Хоменко, А. Д. Базы данных: Учеб. для высших учебных заведений / А.Д. Хоменко, В.М. Цыганков, М.Г. Мальцев. – СПб: КОРОНА принт, 2000.
Карпова, Т.C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т.C. Карпова. – СПб: Питер, 2001.
3.2 Программа междисциплинарного экзамена по специальности 010501.65 “Прикладная математика и информатика”
Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями 
Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы.
Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.
Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Жорданова форма матрицы.
Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-ro порядка.
Приведение формул исчисления высказываний (ИВ) к нормальным формам.
Теорема о функциональной полноте ИВ.
Предел последовательности и предел функции в точке.
Непрерывность функции в точке и на отрезке, точки разрыва 1-гo и 2-го рода.
Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала.
Формула Лагранжа конечных приращений.
Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.
Схема исследования функции и построения ее графика.
Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции.
Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой.
Первообразная функции, определенный интеграл, его геометрический и механический смысл, теорема о среднем значении. Интегрируемые функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Дифференцирование интегралов с параметром.
Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.
Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании функциональной последовательности и функционального ряда.
Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).
Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества.
Фундаментальная последовательность, полное пространство.
Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в .
Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости.
Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана.
Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.
Разложение в ряд Тейлора голоморфной функции, формулы выражения коэффициентов через производную и интеграл. Теорема единственности.
Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана.
Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование.
Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка.
Линейные ДУ -гo порядка с постоянными коэффициентами.
Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек (узел, седло, фокус, центр и др.).
Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка.
Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач.
Метод разделения переменных.
Определение интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции.
Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.
Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости.
Схема построения разностного решения дифференциальных задач.
Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
Неявная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.
Классификация интерфейсов вычислительных систем.
Основные функции операционной системы.
Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Бинарные деревья.
Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.
Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов.
Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения.
Матричные игры. Решение игры в смешанных стратегиях.
Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.
Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных.
Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения.
Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.
Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.
59.Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии. |
