Учебно-методический комплекс дисциплины ен. Р. 2 (ЕН. Р. 1)«математические методы в педагогических исследованиях»

Тема 5. Проверка статистических гипотез с помощью математических методов. Непараметрические и параметрические критерии различий в уровне исследуемого признака (лекции 5-6). План. Статистические гипотезы, их виды. Уровни статистической значимости. Математико-статистические методы в педагогических исследованиях. Непараметрические критерии различий в уровне исследуемого признака (Q – критерий Розенбаума; U – критерий Манна-Уитни) и другие. Параметрические критерии (t – критерий Стьюдента, F – критерий Фишера). Гипотезой называется предложение, имеющее вероятностный характер, обладающее неопределенностью в отношении своей истинности. Различают два вида гипотез: Нулевая гипотеза Н0 - гипотеза об отсутствии различий в выборках или условиях эксперимента, о сходстве двух распределений и т.п. Альтернативная гипотеза Н1 – это гипотеза о значимости различий в выборках, о различии распределений и т.п., то есть гипотеза, противоположная по смыслу нулевой гипотезе. Нулевая и альтернативная гипотезы бывают направленными и ненаправленными. Направленная гипотеза – формулируется тогда, когда исследователь предполагает отсутствие или наличие различий в определенном направлении. Например, Н0 – гипотеза «Экспериментальная группа не превышает контрольную по…» Например, Н1 – гипотеза «Экспериментальная группа превышает контрольную по…» Ненаправленная гипотеза фиксирует лишь отсутствие или наличие различий, не указывая направления. Например, Н0 – гипотеза «Экспериментальная группа не отличается от контрольной по…» Например, Н1 – гипотеза «Экспериментальная группа отличается от контрольной по…» Проверка гипотез осуществляется с помощью критериев. Статистический критерий – это правило, которое позволяет принимать истинную и отклонять ложную гипотезу с большой вероятностью. Математически он представляет собой формулу, по которой можно получить значение критерия, то есть некоторое число. Параметрические критерии несколько более мощные, чем непараметрические, но их использование требует часто довольно громоздких вычислений. Уровень значимости – это вероятность отклонения нулевой гипотезы, в то время как она верна, то есть это вероятность ошибки отклонения нулевой гипотезы. Если вероятность ошибки равна р, то вероятность правильного решения равна 1-р. В психологии, педагогике, социологии и т.д. практически используют 3 уровня статистической значимости: Низший – 5 % уровень значимости (р≤0,05); Достаточный - 1 % уровень значимости (р≤0,01); Высший – 0,1 % уровень значимости (р≤0,001). Исходя из вышеизложенного получаем три уровня достоверности: 1 уровень достоверности ≥ 95 %; 2 уровень достоверности ≥ 99 %; 3 уровень достоверности ≥ 99,9 %; Q- критерий Розенбаума Назначение: Q-критерий Розенбаума применяется для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака или свойства, измеренного количественно. Ограничения: В каждой выборке должно быть не менее 11 наблюдений, то есть: n1≥11, n2≥11, и n1≈n2 При этом, если n1≤50, n2≤50, то |n1-n2| ≤ 10; если 51≤ n1 ≤ 100, 51≤n2≤100, то |n1-n2 | ≤ 20; если n1≥100, n2 ≥100, то n1:n2 ≤ 1,5, где n1 ≥ n2 Алгоритм использования: 1) Проверить выполнение ограничений критерия (n1≥11, n2 ≥11, n1≈n2). 2) Упорядочить значения признака в каждой выборке по убыванию. Определить в каждой выборке максимальное и минимальное значения исследуемого параметра. Считать первой ту выборку, в которой максимальное значение параметра больше, а второй - ту, в которой максимальное значение параметра меньше. 3) Сформулировать гипотезы: H0: Уровень признака в первой выборке не превышает уровня признака во второй выборке. H1: Уровень признака в первой выборке превышает уровень признака во второй выборке. 4)Подсчитать количество значений (SI) в первой выборке, которые больше максимального значения во второй выборке, и количество значений (S2) во второй выборке, которые меньше минимального значения в первой выборке. 5)Найти эмпирическое значение Q-критерия Розенбаума по формуле: Qэмп. = S1+S2. 6) По таблице для Q-критерия определить для данных n1 и п2 критические значения критерия с уровнями значимости р≤0,05 и р≤0,01. Сравнить Qэмп., и Qкр. Если Qэмп.≥Qкр. на некотором уровне значимости, то Н0 отклоняется на том уровне значимости, на котором вычислено критическое значение, а принимается Н1. Если Qэмп. Чем больше значения Qэмп., тем более достоверны различия. Ось значимости: Замечание: Критерий Розенбаума нежелательно применять тогда, когда максимальное и минимальное значения признака принадлежат одной группе. В этом случае погрешность слишком велика. Задача: У двух групп испытуемых (группа А и группа В) измерен по одной и той же методике уровень вербального интеллекта. Можно ли утверждать, что в одной группе оценки выше, чем во второй, если оценки таковы: гр. А: 121,104,115,116,115,109,115,109,108,112,112,109 гр. В: 121,113,123,124,121,121,120,121,111,116,118,125,125,125,126 U- критерий Манна-Уитни Назначение: U-критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака или свойства, измеренного количественно. Его можно применять как для малых, так и для больших выборок, а также для случаев, когда диапазон значений одной выборки включает в себя диапазон значений другой выборки, то есть тогда, когда Q-критерий Розенбаума неприменим. U-критерий является более мощным, чем Q-критерий, но вычисление его чуть более сложно. Ограничения: Объемы выборок должны удовлетворять условиям: n1≥3, n2≥3, но допускается случай n1=2, n2 ≥ 5. n1≤60, n2≤ 60, но на практике, если n1≥20 и n2≥20, то применение критерия затруднительно. При больших объемах выборок лучше использовать другие критерии. Алгоритм использования: 1) Проверить ограничения критерия. 2) Объединить выборки А и В в одну общую выборку AuВ, пометив принадлежность каждого индивидуального значения к данной группе (цветом, буквой, шифром). Упорядочить значения признака в объединенной выборке по возрастанию и проранжи-ровать все значения, приписывая меньшему значению меньший ранг, а равным значениям - равные ранги. Разделить выборку на две прежние выборки А и В, ориентируясь на пометки, и подсчитать суммы рангов отдельно для каждой из выборок, обозначить их за ТА и Тв. Считать первой ту выборку, в которой значения по предварительной оценке выше, а второй - ту, в которой значения ниже. Пусть nА - объем выборки А, а nв - объем выборки В. Если ранжирование и подсчет произведены верно, то должно выполняться контрольное равенство: ТА+Тв= (nА+nв)(nА+nв + 1):2. Занести данные в таблицу вида: Значения АUB x1 x2 x3 … xN Cуммы Место 1 2 3 … N - Ранг r1 r2 r3 … rN - Выборка … - Ранги А … ТА=? Ранги В … ТВ=? Где N= nА+nв – объем объединенной выборки 4) Сформулировать гипотезы: H0: Уровень признака в выборке I не выше уровня признака в выборке II. Н1: Уровень признака в выборке I выше уровня признака в выборке II. 5) Вычислить значения U-критерия для каждой из выборок UA=nA•nB + nA(nA+1) – TA, UB=nA•nB + nB(nB+1) – TB, 2 2 6) Найти Uэмп., равное наименьшему из значений UA и UB: Uэмп. = min(UA;UB) Ось значимости: Если Uэмп.≤Uкр. на некотором уровне значимости, то Н0 отвергается, a H1 принимается на этом уровне значимости. Если Uэмп.>Uкр. на некотором уровне значимости, то H0 принимается на том же уровне значимости. Чем меньше Uэмп. тем более вероятно, что сдвиг в типичном направлении статистически достоверен. Задача: Даны результаты тестирования двух групп испытуемых А и В по некоторому признаку или свойству: гр. А: 25,14,18,16,23,22,18,19 гр. В: 28,15,26,13,15,11,20,19,10,12 Можно ли считать, что результаты тестирования в группе В выше, чем в группе А? Многофункциональные критерии: Под многофункциональными критериями понимаются те, которые можно использовать для решения разнообразных задач, где данные могут быть изменены в любой шкале, а выборки могут быть зависимыми и независимыми. Суть многофункциональных критериев состоит в определении того, какая часть наблюдений в данной выборке характеризуется «эффектом», интересующим исследователя, а какая – нет. В качестве «эффекта» могут быть взяты: определенное значение качественно измеренного признака (согласен – не согласен; выбрал-не выбрал; мужской пол - женский пол; имеется свойство - отсутствует и т.д.); определенный уровень количественно измеренного признака (получил оценку выше - ниже проходного бала;выполнил задачу быстрее чем за одну минуту - медленнее и т.д.) Угловой φ-критерий Фишера Назначение: Угловой φ -критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости некоторого эффекта, интересующего исследователя. Особенно удобно его использовать при проверке "отсутствия - наличия эффекта" при сравнении контрольной и экспериментальной групп. Ограничения: Если n1 и n2 - объемы выборок, то n1 ≥5, n2≥5. Допускаются также случаи: а) n1=2, n2≥30; б) n1 =3, n2≥7; в) n1=4, n2≥5. 2) Ни одна из сопоставляемых долей в каждой выборке не должна быть равна нулю. Алгоритм использования: 1) Проверить выполнимость ограничений для n1 и n2. 2) Определить значения признака, которые будут делить испытуемых на тех, у которых "есть эффект" и "нет эффекта". Подсчитать количество таких испытуемых в I и II группах. Занести данные в таблицу. «есть эффект» «нет эффекта» сумма Гр. I a b a+b Гр. II c d c+d a+c b+d a+b+ c+d 3) Проверить совпадение контрольных сумм a + b + c + d = n1 + n2 Подсчитать процентные доли испытуемых, у которых "есть эффект" и "нет эффекта" в обеих выборках и занести в таблицу. «есть эффект» (%) «нет эффекта» (%) Гр. I m % k % Гр. II p % q % Проверить, не равны ли некоторые процентные доли нулю. Если одна из долей равна нулю, то можно сдвинуть точку деления признака на две группы. Сформулировать гипотезы: H0: Доля испытуемых, у которых «есть эффект» в выборке I не выше доли испытуемых в выборке II. Н1: Доля испытуемых, у которых «есть эффект» в выборке I выше доли испытуемых в выборке II. По таблице найти величины углов φ1 и φ2 для процентной доли тех, у кого «есть эффект» в каждой группе. 6) Подсчитать эмпирическое значение критерия по формуле: ____ φ эмп.=(φ1-φ2) √n1n2 n1+n2 7) По таблице определить р-уровень значимости различий для полученных процентных долей. Для контроля сравнить φэмп. (р≤0,05)=1,64 и φкр (р≤0,01)=2,31. Зона значимости: Если φэмп.≥ φкр. на некотором уровне значимости, то Н0 отвергается на этом уровне значимости. Если φэмп.<φкр. (р≤0,05), то принимается Н0. Задача: Имеются две группы детей из параллельных средних групп детского сада, одна из них – экспериментальная, другая контрольная. В экспериментальной группе проводилась работа по развитию пространственных представлений по новой методике, в контрольной группе – по обычной методике. После этого в обеих группах давалась задача на прохождение лабиринта. В экспериментальной группе из 20 человек с заданием справились 12, а в контрольной группе – 10. Достоверно ли различаются результаты в этих группах? Параметрические критерии: С помощью параметрических критериев чаще всего решаются задачи: Задача I: Установление сходства-различия двух дисперсий D1 и D2 в двух выборках. Задача II: Установление сходства-различия средних арифметических (М1 и М2) двух выборок или двух эмпирических распределений. Задача III: Установление отличия от нуля некоторых мер связи. F-критерий Фишера Назначение: F-критерий Фишера – параметрический критерий, наиболее часто применяется для решения задачи II, то есть установления сходства-различия двух дисперсий в двух независимых выборках. Ограничения: 1) Выборки должны быть независимыми. 2) Для выборки с большей дисперсией должны выполняться неравенства 2≤n≤51, для выборки с меньшей дисперсией – неравенства 11≤n≤51. Алгоритм использования: Проверить, являются ли выборки независимыми. 2) Найти дисперсии для каждой выборки. Пусть D1 – большая дисперсия, D2 – меньшая дисперсия. Найти число степеней свободы: v1=n1-1, v2=n2-1, где n1 – объем выборки с большей дисперсией, а n2 – объем выборки с меньшей дисперсией. Выборку с большей дисперсией считать первой, а выборку с меньшей дисперсией – второй. 3) Сформулировать гипотезы Н0: различия между дисперсиями выборок I и II случайны. Н1: Различия между дисперсиями выборок I и II не случайны. 4) Найти эмпирическое значение критерия Fэмп.=D1:D2 5) По таблице 8 приложения III и по числу степеней свободы для числителя (выборки I) и знаменателя (выборки II) найти Fкр. (р≤0,05) и Fкр. (р≤0,01) Если Fэмп.≥Fкр. на некотором уровне значимости, то Н0 отклоняется и принимается Н1 на этом уровне значимости, то есть различия между дисперсиями обеих групп статистически значимы. Если Fэмп. t-критерий Стьюдента Назначение: t-критерий Стьюдента – параметрический критерий, наиболее часто применяется для установления сходства-различия значений, измеренных для двух выборок (зависимых и независимых). Ограничения: Желательно, чтобы обе выборки были извлечены из нормальных распределений. В практике это пожелание часто опускается. Если выборки независимы, то число v=n1+n2-2, называемое числом степеней свободы, должно быть таким: 1≤v≤350, где n1 n2 – объемы выборки I и выборки II соответственно. Если выборки зависимы, то их объемы берутся равными, и число степеней свободы v=n-1 удовлетворяет аналогичному условию 1≤v≤350, где n – объем каждой выборки. Заметим, что под числом степеней свободы в статистике понимают количество возможных направлений изменчивости некоторой переменной. Алгоритм использования: а) для независимых выборок 1) Проверить, являются ли выборки (Xi) и (Yi) независимыми, найти число степеней свободы v=n1+n2-2. Проверить, выполняются ли неравенства 1≤v≤350. 2) Найти в каждой выборке М1, М2, D1, D2. M = 1/n (x1 + x2 + x3 + … + xn) D = 1/(n-1) ((x1 - M)2 + (x2 - M)2 + (x3 - M)2 + … (xn - M)2 ) Для удобства вычислений записать данные и результаты расчетов в таблицу. n xi xi-M1 (xi-M1)2 yi yi-Mi (yi-Mi)2 1 … Σ Σ xi Σ (xi-M1) Σ (xi-M1)2 Σ yi Σ (yi-Mi) Σ (yi-Mi)2 3) Сформулировать гипотезы: Н0: Различия между средними арифметическими М1 и М2 выборок I и II случайны. Н1: Различия между средними арифметическими М1 и М2 выборок I и II не случайны. 4) Найти эмпирическое значение t-критерия Стьюдента по формуле: [см. Математическая обработка результатов экспериментальных исследований / Составитель: Локоть Н.В. – Мурманск: МГПИ, 1999, с. 44] Если tэмп ≥ tкр на некотором уровне значимости, то H0 отклоняется на этом уровне значимости, то есть различия между средними арифметическими значениями выборок I и II статистически значимы на данном уровне значимости. Если tэмп < tкр (p≤0,05), то принимается H0 и различия между средними арифметическими значениями случайны.

Похожие:

	Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математические методы в исторических исследованиях» Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 030600. 62 «История», изучающих...		Учебно-методический комплекс по дисциплине математические методы...
	Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Математические методы в экономике» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы		Васильев е. П. Экономико математические методы и модели часть I Лукинова С. Г., Шатохина Л. В., Васильев Е. П. Экономико-математические методы и модели Часть I. Учебно-методический комплекс. –...
	Учебно-методический комплекс по дисциплине «Методология и методы... Дисциплина «Методология и методы психолого-педагогических исследований» представляет блок общепрофессиональных дисциплин Госстандарта....		Учебно-методический комплекс дисциплины опд. В. 4 Математические... Целями изучения дисциплины являются: формирование профессиональных навыков по изучению, анализу и оптимизации экономических процессов...
	Учебно-методический комплекс дисциплины сд. В. 01 Налоги и налогообложение... Рецензенты: кандидат экономических наук, доцент Савельева О. В., кандидат экономических наук, доцент Прибыткова Г. В		Учебно-методический комплекс дисциплины «Методы маркетинговых исследований» Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта высшего...
	Учебно-методический комплекс по дисциплине «Методы оптимальных решений» Учебно-методический комплекс предназначен для студентов очной формы обучения, содержит план лекционных, практических и лабораторных...		Математические методы в социологических исследованиях Охватывают огромный круг вопросов, который в свою очередь требует определенной классификации
	Учебно-методический комплекс дисциплины методология и методы научного исследования разработчики Учебно-методический комплекс дисциплины методология и методы научного исследования		Учебно-методический комплекс дисциплины красноярск 2012 пояснительная... Учебно-методический комплекс дисциплины (умкд) «Психодиагностика» для студентов заочной формы обучения (3,5 года обучения) по специальности...
	Учебно-методический комплекс дисциплины «Средства и методы управления качеством» Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального...		Дисциплины «математические методы в инженерных задачах» Кафедра математики Направление Математические методы в инженерных задачах – это прикладная математическая дисциплина, в которой изучаются, способствующая развитию...
	Учебно-методический комплекс дисциплины «Методология и методы научного исследования» Учебно-методический комплекс дисциплины«Методология и методы научного исследования»		Учебно-методический комплекс дисциплины «Методология и методы научного исследования»