ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Урок 2
Взаимное расположение прямых на плоскости
Прямые на плоскости могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.
1. Пусть на плоскости заданы общими уравнениями две прямые L1 и L2:
L1: A1x + B1y + С1 = 0,
L2: A2x + B2y + С2 = 0,
где  и  – нормальные векторы прямых L1 и L2, соответственно.
Тогда, прямые:
а) совпадают, если
− нормальные векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;
− точка, лежащая на первой прямой, лежит также и на второй прямой
То есть
 .
б) параллельны, если
− нормальные векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;
− точка, лежащая на первой прямой, не лежит на второй прямой.
То есть
 .
в) пересекаются, если нормальные векторы прямых не коллинеарны, а значит, их координаты не пропорциональны, т.е.
 .
2. Пусть на плоскости заданы прямые L1 и L2 каноническими уравнениями:
Тогда, прямые:
а) совпадают, если
− направляющие векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;
− точка, лежащая на первой прямой, лежит также и на второй прямой
То есть
 и  .
б) параллельны, если
− направляющие векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;
− точка, лежащая на первой прямой, не лежит на второй прямой.
и  .
в) пересекаются, если направляющие векторы прямых не коллинеарны, а значит, их координаты не пропорциональны, т.е.
3. Если прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом
L1: y = k1x + b1,
L2: y = k2x + b2,
то прямые:
а) совпадают, если k1 = k2 и b1 = b2;
б) параллельны, если k1 = k2 и b1 b2;
в) пересекаются, если k1 k2.
Угол между прямыми на плоскости
Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.
1. Пусть на плоскости заданы прямые L1 и L2 общими уравнениями:
L1: A1x + B1y + С1 = 0;
L2: A2x + B2y + С2 = 0.
Тогда косинус наименьшего угла между прямыми L1 и L2 на плоскости равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих прямых:
В случае если прямые L1 и L2 перпендикулярны, их нормальные векторы также перпендикулярны, а значит, скалярное произведение нормальных векторов должно быть равно нулю, т. е.  .
2.Пусть прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:
Тогда косинус наименьшего угла между прямыми L1 и L2 равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых:
2. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом
L1: y = k1x + b1,
L2: y = k2x + b2.
Тогда тангенс наименьшего угла между прямыми L1 и L2 можно найти по формуле:
 ,
где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2.
Очевидно, что две прямые будут параллельны, если их угловые коэффициенты будут равны.
Итак, условие параллельности двух прямых:
k1 = k2.
Если две прямые перпендикулярны, т.е. угол φ = /2, мы получим
tg φ = tg /2.
Это будет иметь место, когда
1 + k1 k2 = 0, т.е. k1 k2 = −1.
Итак, условие перпендикулярности двух прямых:
k1 k2 = −1.
Расстояние от точки до прямой на плоскости
Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Расстояние от точки до прямой можно вычислить:
1) Как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот;
2) Используя координатно -векторный метод.
Пусть на плоскости заданы прямая L и точка M, не принадлежащая этой прямой
L: Ax + By + C = 0; М(x1, y1) L,
тогда
 –
расстояние от точки М0(x0, y0) до прямой L.
Замечание. Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости можно найти по последней формуле, если находить расстояние от любой точки, принадлежащей одной прямой, до другой прямой.
Пример 1.
Даны координаты точек A(4, 1), B(2, −1), C(−3, 5). Найти угол между медианой и высотой, проведенными из вершины A.
Решение
Напишем уравнение высоты AH. Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой AH, вектор  перпендикулярен вектору  , а значит, скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю, т.е.  .
Координаты векторов
 и  ,
тогда
Итак, уравнение высоты AH:
Напишем уравнение медианы, проведенной из вершины A. Найдем координаты точки D. Точка D − середина отрезка BC, значит, ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C. Координаты точек B(2, −1) и C(−3, 5), тогда координаты точки D:
Для любой точки N(x, y), лежащей на медиане AD, вектор  коллинеарен вектору  , а значит, координаты этих векторов должны быть пропорциональны. Найдем координаты векторов и :
Запишем условие пропорциональности координат:
 (умножим на (1/2));
По свойству пропорций получим:
 .
Получили общее уравнение медианы AD:
 .
Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих прямых.
Уравнение прямой AH: Тогда нормальный вектор этой прямой −  . Уравнение прямой AD: . Тогда нормальный вектор этой прямой −  .
Тогда
 .
Ответ:  .
Пример 2.
Даны координаты точек A(4, 1), B(2, −1), C(−3, 5). Найти расстояние от точки A до прямой BC.
Решение
Напишем уравнение прямой BC. Для любой точки N(x, y), лежащей на прямой BC, вектор  коллинеарен вектору , а значит, координаты этих векторов должны быть пропорциональны:
 .
Перемножив по свойству пропорций, перейдем к общему уравнению прямой:
Тогда общее уравнение прямой BC:
 .
Точка A(4, 1)  BC. Расстояние от точки до прямой на плоскости можно найти по формуле:
 где  .
В нашем случае
 .
Ответ: расстояние от точки A до прямой BC равно  .
Пример 3.
Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2. Если прямые пересекаются, то найти угол между ними и координаты точки их пересечения, а если параллельны, то найти расстояние между ними:
L1:  ;
L2:  ;
Решение
Запишем координаты нормальных векторов прямых L1 и L2:
L1: , тогда  – нормальный вектор прямой L1;
L2: , тогда  – нормальный вектор прямой L2.
Найдем отношение координат нормальных векторов прямых:
 .
Так как координаты нормальных векторов пропорциональны, то векторы  и  коллинеарны, а значит, прямые L1, и L2 либо параллельны, либо совпадают.
Прямые параллельны так как
 .
Расстояние между прямыми найдем, как расстояние от точки М1, лежащей на прямой L1, до прямой L2 по формуле:
где
 .
Найдем координаты точки M1, принадлежащей прямой L1. Для этого одну из координат, например y0, примем равной нулю, тогда x0 = 4, значит, точка  .
Тогда
Ответ: прямые параллельны, расстояние между ними равно  .
Пример 4.
Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2. Если прямые пересекаются, то найти угол между ними и координаты точки их пересечения, а если параллельны, то найти расстояние между ними:
Решение
Найдем направляющие векторы прямых L1 и L2:
Так как
 ,
то координаты направляющих векторов не пропорциональны. Следовательно, прямые L1 и L2 пересекаются.
Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых.
Тогда
Найдем координаты точки пересечения прямых L1 и L2. Для этого получим общие уравнения этих прямых.
Пусть точка М (x0, y0) − точка пересечения прямых L1 и L2. Тогда координаты точки М должны удовлетворять обоим уравнениям. Решим систему уравнений:
 
Следовательно, точка  − точка пересечения прямых L1 и L2.
Ответ:
прямые пересекаются;
угол между прямыми  ;
точка пересечения прямых − точка .
|
