Основные понятия

Скачать 84.3 Kb.

Название	Основные понятия
Дата публикации	08.07.2013
Размер	84.3 Kb.
Тип	Документы

100-bal.ru > Математика > Документы

Основные понятия.

Логика – это наука о формах и способах мышления. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Понятие – это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличить их от других.

Высказывание – это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-то утверждается, либо что-то отрицается. Высказывание бывает истинным или ложным.

Высказывания бывают простые и сложные. Высказывание, значение истинности которого не зависит от других высказываний, называется простым.

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение.

Логические выражения и операции.

Алгебра – это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не с числами, а с другими математическими объектами, в том числе и высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики. Алгебра логики отвлекается от смысла содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее принято обозначать латинской буквой A, C, D. Значением переменной может быть только ИСТИНА или ЛОЖЬ (0 или 1).

Составное высказывание – логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. логическая функция обозначается F(A,B) =

Логическая операция – это логическое действие.

Любую логическую функцию F(A,B,…K) можно задать формулой, содержащей логические переменные, соединенные знаками логических операций, или таблицей истинности. В левой части такой таблицы выписаны все возможные наборы аргументов, а в правой – столбец значений функции. Число строк в такой таблице равно 2ⁿ – числу различных комбинаций 0 и 1 длиной n. Количество столбцов равно количеству переменных + количество логических операций.
Логические операции называются «булевыми операциями» по имени английского математика Джорджа Буля (1815 – 1864). Он считается создателем особой области математики – математической логики.

Алгебра логики применяется в электронике, автоматике, теории вычислительных устройств. Кроме того, программы для вычислительных машин часто содержат условные переходы и связанные с ними логические условия. Поэтому логические операции имеются практически во всех языках программирования.

Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических функций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА.

Рассмотрим три базовых операции – дизъюнкция, конъюнкция и отрицание; и две дополнительные: импликация и эквивалентность.
Определение. Соединение простых высказываний А и В в одно с помощью союза «ИЛИ» называется логическим сложением или дизъюнкцией. Результат операции – логической суммой. Записывается логическая сумма – АVВ.

Составим таблицу истинности для сложного высказывания АVВ.

А	В	АVВ
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Из таблицы истинности видно, что высказывание АVВ ложно тогда и только тогда, когда ложны и высказывание А и высказывание В, и истинно при всех остальных комбинациях А и В..
Определение. Соединение простых высказываний А и В в одно с помощью союза «И» называется логическим умножением или конъюнкцией. Результат операции – логическим произведением. Записывается логическое произведение – АВ или А^В.

Составим таблицу истинности для сложного высказывания А^В.

А	В	А^В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Из таблицы истинности видно, что высказывание А^В истинно тогда и только тогда, когда истинно и высказывание А и высказывание В, и ложно при всех остальных комбинациях А и В.

A	A
1	0
0	1

ростейшей операцией алгебры логики является одноместная операция отрицания. Она образуется присоединением частицы «НЕ» к высказыванию А и записывается А.

Таблица истинности для этой операции выглядит совсем просто:
Импликация. Название происходит от лат. Implication – тесно связывать – логическое следование.

А	В	А→В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Обозначается операция А → В. Здесь А – условие, В – следствие.

В естественном языке это высказывание выглядит так: «Если А, то В; когда А, тогда В» и т.п.

Например: «Если число 10 четное, то оно является отрицательным» = ЛОЖЬ.

Таким образом, результат будет ложным тогда и только тогда, когда из истинного основания (А) следует ложное следствие (В).

Эквивалентность. Название происходит лат. – равноценное – логическое равенство.

А	В	А↔В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Обозначается операция А ↔ В.

На естественном языке высказывание звучит «А тогда и только тогда, когда В».

Вывод: результат будет истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно или истинны, или ложны.
Логические операции сложение и умножение являются двуместными операциями, т.е. объединяют два простых выражения. Для соединения трех и более высказываний должны применяться скобки, показывающие порядок выполнения операций. При выяснении истинности значения логического выражения сначала определяется истинность высказывания, находящегося в скобках, а затем определяется истинность значения всего выражения. При этом порядок выполнения операций; инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Законы логики.

Если логическое выражение содержит большое число операций, то формулу следует привести к нормальной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при логических переменных.

Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований.

Закон тождества: А ≡ А (можно записать А = А).
Закон непротиворечия: А & А = 0
Закон исключающего третьего: A v A = 1
Закон двойного отрицания: А = А
Свойства констант:

А & 0 = 0 A v 0 = A

A & 1 = A A v 1 = 1

Законы де Моргана (докажем их с помощью таблиц истинности).

-й закон де Моргана: отрицание логического умножения равносильно логическому сложению отрицаний, т.е. А & В = А v В

А	В	А & В	A v B
1	1	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
0	0	1	1

-й закон де Моргана: отрицание логического сложения равносильно логическому умножению отрицаний: A v B = A & B

А	В	А v В	A & B
1	1	0	0
0	1	0	0
1	0	0	0
0	0	1	1

Правило отсутствия степеней и коэффициентов:

A & A = A

A v A = A

Правило ассоциативности:

(A v B) v C = A v (B v C)

(A & B) & C = A & (B & C)

Правило дистрибутивности:

(A & B) v (A & C) = A & (B v C)

(A v B) & (A v C) = A v (B & C)

Правило коммутативности:

A v B = B v A

A & B = B & A

На основании приведенных законов можно получить наиболее распространенные соотношения:

A v A & B = (A & 1) v (A & B) = A & (1 v B) = A & 1 = A – поглощение

A

& B v A & B = A & (B v B) = A & 1 =A – склеивание

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

	Программа по дисциплине «прикладные протоколы интернет и www» Глобальные вычислительные сети: os unix – основные понятия, Internet – структура и основные понятия, аппаратное обеспечение, программное...		Опорный конспект лекций Основные понятия, термины, законы, схемы... Л. Н. Блинов, Н. Н. Ролле. Экология: опорный конспект лекций. Основные понятия, термины, законы, схемы. Спб.: Изд. Спбгпу. 2005....
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «кинематика», основные понятия, основные формулы кинематики, подготовиться к контрольной работе		Рабочая программа дисциплины административное право Направление подготовки... Знать основные понятия и термины, используемые в административном праве, уметь объяснить их содержание и применить на практике. Знать...
	Статья Основные понятия, используемые в Законе Современное состояние и тенденции развития фармацевтической технологии. Государственное нормирование производства лекарственных препаратов...		Рабочая программа дисциплины административное право Направление подготовки... Знать основные понятия и термины, используемые в административном праве, уметь объяснить их содержание и применить на практике. Знать...
	Вопросы к экзамену Современные проблемы науки как объект журналистики.... Объем понятия «научная информация». Основные признаки и структура научной информации		Анатомия опорно-двигательного аппарата; основные вопросы нормальной... Знание – понимание, сохранение в памяти и умение воспроизводить основные понятия, факты науки и вытекающие из них теоретические обобщения...
	Программа учебного курса программа разработана в соответствии с государственным... Основные понятия: международные отношения, внешняя политика, дипломатия, мировой политический процесс. Особенности внешней политики...		Урока Тема урока Тип урока Основные понятия Требования к уровню Знать: определение понятий – простые, сложные вещества, химический элемент, атом, молекула. Различать понятия – тело, простое вещество,...
	Семинара: Основные положения теории права Изучить основные понятия теории права и сформировать понимание ценности права в обществе, получить представление о работе со справочными...		Тема урока Основные понятия
	Тема Цели, предмет и задачи курса "Психология высшего образования" Психология и педагогика высшей школы. Понятия психологической культуры и психологической компетентности. Основные психологические...		1. Введение в учебную дисциплину: основные понятия, предмет, методы,... Тема Введение в учебную дисциплину: основные понятия, предмет, методы, задачи и система курса «Таможенное право»
	1. Введение в учебную дисциплину: основные понятия, предмет, методы,... Тема Введение в учебную дисциплину: основные понятия, предмет, методы, задачи и система курса «Таможенное право»		Реферат по теме: «субд access. Основные понятия. Таблицы. Запросы.... «субд access. Основные понятия. Таблицы. Запросы. Формы. Отчёты. Создание базы данных»

Школьные материалы