Понятие вектора
Скачать 160.44 Kb.
|
Оглавление: 1. Введение 2. Понятие вектора. 3. Сложение векторов 4. Равенство векторов 5.Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 6. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 7. Свойства операций над векторами 8. Применение векторов к решению задач 9. Заключение 10. Примечание 11. Список литературы Введение Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике. Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике. В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики. Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: «Вектором называется всякий параллельный перенос». Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах. Понятие вектора   Вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1). Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху,            Той же буквой, но не жирной , а светлой (а в тетради и на доске- той же буквой без черточки) обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или IаI. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить, что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому. Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор). Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными.Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены. Векторы называются противоположно направленными, если их полупрямые противоположно направлены. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор называется нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулем с черточкой (ō). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю. Сложение векторов Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику» – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе. Суммой векторов а и в с координатами а1, а2 и в1, в2 называется вектор с с координатами а1 + в1, а2 + в2, т.е.  а (а1; а2) + в (в1;в2) = с (а1 + в1; а2 + в2).Следствие: а  + в = в + а , (коммутативность)а    + ( в + с ) = (а + в) + с. (ассоциативность)   Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример. а и в – векторы (рис.5). Пусть ОА =а, ОВ = в.1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.  2. а = ОА = ВС,  в = ОВ = АС, т.к. параллелограмм. 3. ОА + АС = ОВ + ВС = ОС, значит а + в = в + а. ч.т.д. Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем: АВ + ВС =АС.(    а + в ) + с = (ОА + АВ) + ВС = ОВ + ВС = ОС,а + (в + с ) = ОА + (АВ + ВС) = ОА + АС = ОС,о   ткуда и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов. Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор», имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор» изображается «отрезком нулевой длины», т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.Равенство векторов Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Из данного определения равенства векторов следует, что разные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны. Действительно, пусть векторы АВ и СD – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис.6). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, то есть параллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ. Значит, векторы АВ и СD равны, что и требовалось доказать.         Скалярное произведение двух векторов и его свойства Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число, равное произведению числовых значений длин этих векторов на косинус угла между векторами.  Обозначение: а х в = IaI * IbI * cos ( а, в).Свойства скалярного произведения:  1. а х в = в х а. 2. Для того, чтобы два нулевых вектора а и в были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. а х в = 0. 3. Выражение а х а будем обозначать а2 и называть скалярным квадратом вектора а.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 7). Коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо противоположно направлены. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: учащиеся должны знать понятие вектора, абсолютной величины и направление вектора, равенство векторов, сложение и вычитание... |  | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать: понятие координат вектора в данной системе координат; форма разложения вектора по координатным векторам I, j, k; правила сложения,... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: сформировать у учащихся понятие вектора как направленного отрезка, показать применение вектора к решению простейших задач познакомить... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Понятие вектора. Правила сложения, вычитания, умножения вектора на число. Алгебраическая сумма векторов |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основная цель: сформировать понятие вектора как направленного отрезка, показать учащимся применение вектора к решению простейших... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать: представление о прямоугольной системе координат, понятие координат вектора уравнение прямой и плоскости. Знать и выводить... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... На прошлых уроках мы познакомились с понятием «вектора», мы научились выполнять с векторами действия сложения, вычитания векторов... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Связь между координатами вектора и координатами точек. Простейшие... |
| Урок 3 Связь между координатами вектора и координатами его начала... Цели: рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины... | | Календарно-тематическое планирование. № Требования к зун тема урока Знать: определение вектора и равных векторов, законы сложения, определение разности двух векторов, противоположный вектор, произведение... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Модуль 1 (контрольный) Векторы в пространстве. Направление и модуль вектора. Равенство векторов. Действия над векторами. Сложение... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Задачи урока: ввести понятие о скалярных и векторных величинах, раскрыть особенности действий с ними; сформировать умения находить... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: дать понятие о векторе, о равных векторах, о коллинеарных и неколлинеарных векторах, о сложении и вычитании векторов, умножение... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: ввести понятие вектора и действия над векторами как это принято в физике( направленный отрезок); подготовить учащихся к восприятию... |
| Конспект по теме «Векторы в пространстве» Определение вектора: Вектор это | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Понятие интеграции в образовании. Понятие интегрированного обучения в начальном образовании. Интеграция в учебной деятельности: понятие;... |
