Тема: Основные понятия математической логики

A7 (повышенный уровень, время – 3 мин)

Тема: Основные понятия математической логики.

• 
  условные обозначения логических операций
  

,

,

,

• 
  таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» (см. презентацию «Логика»)
  
• 
  операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
  

=

• 
  если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»
  
• 
  иногда полезны формулы де Моргана¹:
  

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B

Пример задания:

1. 
   определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках
   
2. 
   выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 – ложное); сначала определяем результаты сравнения в двух внутренних скобках:
   

   X	X > 2	X > 3	(X > 2)→(X > 3)	¬((X > 2)→(X > 3))
   1	0	0
   2	0	0
   3	1	0
   4	1	1

3. 
   по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец (значение выражения в больших скобках), применив операцию «импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой строке):
   

   X	X > 2	X > 3	(X > 2)→(X > 3)	¬((X > 2)→(X > 3))
   1	0	0	1
   2	0	0	1
   3	1	0	0
   4	1	1	1

4. 
   значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и наоборот):
   

   X	X > 2	X > 3	(X > 2)→(X > 3)	¬((X > 2)→(X > 3))
   1	0	0	1	0
   2	0	0	1	0
   3	1	0	0	1
   4	1	1	1	0

5. 
   таким образом, ответ – 3.
   

1. 
   обозначим простые высказывания буквами:
   

2. 
   тогда можно записать все выражение в виде
   

3. 
   выразим импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» (см. выше):
   

4. 
   раскрывая по формуле де Моргана операцию «НЕ» для всего выражения, получаем
   

5. 
   таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно (X > 2), а B – ложно (X ≤ 3), то есть для всех X, таких что 2 < X ≤ 3
   
6. 
   из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,
   
7. 
   таким образом, ответ – 3.
   

Возможные проблемы: нужно помнить законы логики (например, формулы де Моргана) при использовании формул де Моргана нужно не забыть заменить «И» на «ИЛИ» и наоборот нужно не забыть, что инверсией (отрицанием) для выражения X > 3 является X ≤ 3, а не X < 3

1. 
   в данном случае, наверное, проще первый вариант решения (прямая подстановка всех предложенных ответов)
   
2. 
   второй вариант позволяет не только проверить заданные значения, но и получить общее решение – все множество X, для которых выражение истинно; это более красиво для человека, обладающего математическим складом ума.
   

Задачи для тренировки:

1. 
   Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание
   

2. 
   Для какого числа X истинно высказывание ((X > 3)(X < 3)) →(X < 1)
   

3. 
   Для какого числа X истинно высказывание X > 1  ((X < 5)→(X < 3))
   

4. 
   Для какого имени истинно высказывание:
   

5. 
   Для какого символьного выражения неверно высказывание:
   

6. 
   Для какого числа X истинно высказывание (X > 2)(X > 5)→(X < 3)
   

7. 
   Для какого из значений числа Z высказывание ((Z > 2)(Z > 4)) →(Z > 3) будет ложным?
   

8. 
   Для какого имени истинно высказывание:
   

9. 
   Для какого из значений числа Y высказывание (Y < 5)  ((Y > 1) → (Y > 5)) будет истинным?
   

10. 
    Для какого символьного выражения верно высказывание:
    

A8 (базовый уровень, время – 1 мин)