Скачать 90.01 Kb.
|
Юридический техникум Рассмотрено и одобрено ПЦК г. Кропоткин программирования Председатель ПЦК Покалицына О.В. План чтения лекции по учебной дисциплине «Математические методы» Раздел № 2. Линейное программирование. Тема № 2.1. Виды задач линейного программирования. Занятие № Учебные и воспитательные цели: изучить основные виды задач линейного программирования, их математические модели. Время Место проведения: аудитория. Учебные вопросы: Задача линейного программирования (ЗЛП). Трудности решения ЗЛП. Классификация задач оптимизации: задача о пищевом рационе, задача о планировании производства, задача о загрузке оборудования, задача о снабжении сырьем. Литература: 1. Венцель Е.С. Исследование операций. Задач, принципы, методология. – М.: Наука, 1980. 2. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.:ЮНИТИДАНА, 2001 Учебные вопросы и расчет времени
1. Задача линейного программирования (ЗЛП). Термин линейное программирование появился в Америке в середине 40-х годов (первая американская работа по частной задаче линейного программирования опубликована в 1941 г.). В Советском Союзе исследования в этой области начались ранее. В конце 30-х годов целый ряд существенных результатов по линейному программированию был установлен Л.В. Канторовичем. Задача линейного программирования – это задача нахождения значений параметров, обеспечивающих экстремум функции при наличии ограничений на аргументы. Задачи линейного программирования являются самыми простыми и лучше изученными задачами. Для них характерно: показатель эффективности (целевая функция) выражается линейной зависимостью; ограничения на решения – линейные равенства или неравенства. 2. Трудности решения ЗЛП. Трудности решения задач линейного программирования зависят от: вида зависимости, связывающей целевую функцию с элементами решения; размерности задачи, то есть от количества элементов решения х1, х2,…, xn; вида и количества ограничений на элементы решений. 3. Классификация задач оптимизации. Задача о рациональном питании (задача о пищевом рационе). ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Ферма производит откорм скота с коммерческой целью. Для простоты допустим, что имеется всего четыре вида продуктов: П1, П2, П3, П4; стоимость единицы каждого продукта равна соответственно С1, С2, С3, С4. Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, который должен содержать: белков – не менее bi единиц; углеводов – не менее b2 единиц; жиров – не менее b3 единиц. Для продуктов П1, П2, П3, П4 содержание белков, углеводов и жиров (в единицах на единицу продукта) известно и задано в таблице, где aij (i=1,2,3,4; j=1,2,3) – какие – то определённые числа; первый индекс указывает номер продукта, второй – номер элемента (белки, углеводы, жиры).
Требуется составить такой пищевой рацион (т.е. назначить количества продуктов П1, П2, П3, П4, входящих в него), чтобы условия по белкам, углеводам и жирам были выполнены и при этом стоимость рациона была минимальна. МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ. Обозначим x1, x2, x3, x4 количества продуктов П1, П2, П3, П4, входящих в рацион. Показатель эффективности, который требуется минимизировать, - стоимость рациона (обозначим её L): она линейно зависит от элементов решения x1, x2, x3, x4. Целевая функция: Система ограничений: a11x1+a21x2+a31x3+a41x4≥b1 a12x1+a22x2+a32x3+a42x4≥b2 a13x1+a23x2+a32x3+a43x4≥b3 Эти линейные неравенства представляют собой ограничения, накладываемые на элементы решения x1, x2, x3, x4. Таким образом, поставленная задача сводится к следующей: найти такие неотрицательные значения переменных x1, x2, x3, x4, чтобы они удовлетворяли ограничениям – неравенствам и одновременно обращали в минимум линейную функцию этих переменных: Задача о планировании производства. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Предприятие производит изделия трёх видов: U1, U2, U3. По каждому виду изделия предприятию спущен план, по которому оно обязано выпустить не мене b1 единиц изделия U1, не мене b2 единиц изделия U2 и не мене b3 единиц изделия U3. План может быть перевыполнен, но в определённых границах; условия спроса ограничивают количества произведённых единиц каждого типа: не более соответственно 1, 2, 3 единиц. На изготовление изделий идёт какое-то сырьё; всего имеется четыре вида сырья: s1, s2, s3, s4, причём запасы ограничены числами 1, 2, 3, 4 единиц каждого вида сырья. Теперь надо узнать какое количество сырья каждого вида идёт на изготовление каждого вида изделий. Обозначим aij количество единиц сырья вида si (I= 1, 2, 3, 4), потребное на изготовление одной единицы изделия Uj (j= 1, 2, 3). Первый индекс у числа aij – вид изделия, второй – вид сырья. Значения aij сведены в таблицу (матрицу).
При реализации одно изделие U1 приносит предприятию прибыль c1, U2 – прибыль c2, U3 – прибыль c3. Требуется так спланировать производство (сколько каких изделий производить), чтобы план был выполнен или перевыполнен (но при отсутствии «затоваривания»), а суммарная прибыль обращалась в максимум. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Элементами решения будут x1, x2, x3 – количества единиц изделий U1, U2, U3, которые мы произведём. Обязательность выполнения планового задания запишется в виде трёх ограничений – неравенств: x1b1, x2b2, x3b3. Отсутствие изделий продукции (затоваривания) даёт нам ещё три ограничения – неравенства: x11, x22, x33. Целевая функция: L=c1x1+c2x2+c3x3→ max. Система ограничений: a11x1+a21x2+a31x31. a12x1+a22x2+a32x32. a13x1+a23x2+a33x33. a14x1+a24x2+a34x34. Задача о загрузки оборудования. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Ткацкая фабрика располагает двумя видами станков, из них N1 станков типа 1 и N2 станков типа 2. Станки могут производить три вида тканей: T1, T2, T3, но с разной производительностью. Данные aij производительности станков в таблице (первый индекс – тип станка, второй – вид ткани). Каждый метр ткани вида T1 приносит фабрике доход c1, вида Т2 – доход с2, Т3 – доход с3.
Фабрике предписан план согласно которому она должна производить в месяц не менее b1 метров ткани Т1, b2 метров ткани Т2, b3 метров ткани Т3; количество метров каждого вида ткани не должно превышать соответственно 1, 2, 3 метров. Кроме того, все без исключения станки должны быть загружены. Требуется так распределить загрузку станков производством тканей Т1, Т2, Т3, чтобы суммарный месячный доход был максимален. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Введём букву x с двумя индексами (первый – тип станка, второй – вид ткани). Всего будет шесть элементов решения: x11 x12 x13 x21 x22 x23 . Здесь x11 – количество станков типа 1, занятых изготовлением ткани Т1, x12 – количество станков типа 1, занятых изготовлением ткани Т2 и т.д. Запишем суммарный доход от производства всех видов тканей. Суммарное количество метров ткани Т1, произведённое всеми станками, будет равно a11x11+a21x21 и принесёт доход c1(a11x11+a21x21). Целевая функция: L=c1 (a11x11+a21x21)+c2 (a12x12+a22x22)+c3 (a13x13+a23x23) → max. Система ограничений: Обеспечим выполнения плана ограничениями по минимальным параметрам: a11x11+a21x21b1, a12x12+a22x22b2, a13x13+a23x23b3, После этого ограничим выполнение плана по максимальным параметрам: a11x11+a21x211, a12x12+a22x222, a13x13+a23x233, Теперь запишем ограничения, связанные с наличием оборудования и его полной загрузкой. Суммарное количество станков типа 1, занятых изготовлением всех тканей, должно быть равно N1; типа 2 – N2. x11+x12+x13=N1, x21+x22+x23=N2, Задача о снабжении сырьём. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Имеется три промышленных предприятия: П1, П2, П3, требующих снабжения определённым видом сырья. Потребности в сырье каждого предприятия равны соответственно a1, a2, a3 единиц. Имеются пять сырьевых баз, расположенных от предприятий на каких – то расстояниях и связанных с ними путями сообщения с разными тарифами. Единица сырья, получаемая предприятием Пi c базы Бj , обходится предприятию в сij рублей (первый индекс – номер предприятия, второй – номер базы).
Возможности снабжения сырьём с каждой базы ограничены её производственной мощностью: базы Б1, Б2, Б3, Б4, Б5 могут дать не более b1, b2, b3, b4, b5 единиц сырья. Требуется составить такой план снабжения предприятий сырьём (с какой базы, куда и какое количество сырья везти), чтобы потребности предприятий были обеспечены при минимальных расходах на сырьё. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Обозначим xij количества сырья с j – ой базы. Всего план будет состоять из 15 элементов решения: x11 x12 x13 x14 x15 x21 x22 x23 x24 x25 x31 x32 x33 x34 x35. Целевая функция: Система ограничений: x11+x12+x13+x14+x15=a1, x21+x22+x23+x24+x25=a2, x31+x32+x33+x34+x35=a3, x11+x21+x31b1, x12+x22+x32b2, x13+x23+x33b3, (4.3.) x14+x24+x34b4, x15+x25+x35b5, |
План чтения лекции по учебной дисциплине «Математические методы» Раздел №2 Венцель Е. С. Исследование операций. Задач, принципы, методология. – М.: Наука, 1980 | Курса «Математические методы в психологии» Выписка из образовательного стандарта по дисциплине «Математические методы в психологии» | ||
Методические рекомендации к самостоятельной работе студентов по дисципли... Содержание внеаудиторной самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математические методы в психологии» включает в себя различные... | Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математические методы в исторических исследованиях» Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 030600. 62 «История», изучающих... | ||
Методические указания по выполнению реферата по учебной дисциплине... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования | Методические указания по выполнению реферата по учебной дисциплине... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования | ||
Методические указания по выполнению реферата по учебной дисциплине... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования | Учебно-методический комплекс по дисциплине «бизнес-планирование» Разработка основных разделов бизнес-плана: план маркетинга. Производственный план предприятия как раздел бизнес-плана. Организационный... | ||
Математические методы и модели Габрин К. Э., Математические методы и модели: Семестровое задание и методические рекомендации к решению задач. – Челябинск: Издательство... | Учебно-методическое обеспечение учебной дисциплины 7 раздел рабочая... Фгбоу впо «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации» | ||
Дисциплины «математические методы в инженерных задачах» Кафедра математики Направление Математические методы в инженерных задачах – это прикладная математическая дисциплина, в которой изучаются, способствующая развитию... | Фгбоу впо «сгэу» от 09. 11. 2012г. № Решение ученого совета Самарского... «Математическое моделирование», «Математические модели в финансовых операциях», «Методы оптимизации», «Экономико-математические методы... | ||
Учебно-методический комплекс по дисциплине математические методы... | Программа дисциплины «математические методы в инженерных расчетах» Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 222900. 62 «Электроника... | ||
Васильев е. П. Экономико математические методы и модели часть I Лукинова С. Г., Шатохина Л. В., Васильев Е. П. Экономико-математические методы и модели Часть I. Учебно-методический комплекс. –... | Рабочая программа по учебной дисциплине Электронная коммерция Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины «Электронная коммерция» аспирантам очной и заочной форм обучения по специальности... |