Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Тольяттинский государственный университет
Кафедра «Оборудование и технология сварочного производства и пайки»
Моделирование технических объектов
Курс лекций дисциплины «ПМТО» для студентов специальности 120500 «Оборудование и технология сварочного производства» очной и заочной форм обучения.
Тольятти 2007 г.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР
Математическое обеспечение (МО) автоматизированного проектирования включает в себя математические модели объектов проектирования, а также методы и алгоритмы проектных операций и процедур. Математическое моделирование характеризуется использованием для описания реальных явлений и процессов абстрактных математических объектов, таких как переменные, вектора, числа, множества и т.д.
При автоматизации проектирования, как правило, требуется построение математического описания объекта проектирования, т.е. его математической модели. Различают два основных вида математического описания: функциональное и морфологическое (существует еще информационное).
Функциональное описание дает характеристику назначения объекта проектирования через его эксплуатационные функции: принципы действия, свойства и способности, обеспечивающие выполнение целевых заданий. В основе функционального описания объекта проектирования лежат функциональные модели и критерии оценки качества функционирования.
Функциональные модели устанавливают связи между входными, выходными, режимными, управляющими и внешними параметрами с помощью функциональных зависимостей, функционалов, операторов, вероятностных зависимостей, неравенств и т.п.
Описание устройства объектов, их структур, геометрий и т.п. называют их морфологическим описанием.
Морфологическое описание проектируемого объекта осуществляется на основе структурных и геометрических моделей. Структурные модели применяются для отображения взаимного расположения элементов в пространстве и их взаимодействия. Они носят характер графов, схем, матриц, векторов и обычно не учитывают особенности физических процессов в проектируемом объекте. Геометрические модели описывают пространственные соотношения, формы проектируемого объекта и его составных частей.
Морфологическое и функциональное описание объекта взаимосвязаны: например, описание морфологии объекта дает исходный материал для определения параметров в функциональных моделях, в частности, для их оптимизации.
Построение математических моделей в САПР не является конечной целью. В типовой проектной процедуре на основе моделей в зависимости от выбранного критерия эффективности и ряда дополнительных ограничений (технологических, эксплуатационных) решается математическая задача по выбору вариантов проектных решений. Проектные задачи в САПР носят разнообразный характер, и здесь необходимо правильно выбрать и применять методы и алгоритмы решения конкретных задач (это является другой важной компонентой математического обеспечения).
Эффективность САПР во многом определяется качеством математического обеспечения, поэтому к последнему предъявляются следующие требования:
точность - степень совпадения расчетных и реальных результатов должна быть достаточно высокой без излишнего усложнения модели;
надежность - модели и алгоритмы для рассматриваемого класса задач должны обеспечивать сходимость к решению и его получение, и быть строго обоснованы;
экономичность - минимум затрат машинного времени и памяти;
универсальность - МО должно быть применимо к однотипным проектируемым объектом без существенной корректировки математических моделей и алгоритмов.
Необходимо найти компромисс между указанными требованиями.
Морфологическое описание объектов проектирования в общем виде:
S = {Σ, R, C},
где Σ - множество элементов, R - связей, С - структур системы, разложенных по ступеням иерархии.
Структурные модели
Структурные модели отражают взаимное расположение и наличие связей между элементами объекта проектирования (отсюда второе название их - топологические.) Наиболее распространены в САПР структурные модели в виде графов. Достоинства графовых моделей: простота и наглядность представления структуры объекта; возможность постановки большого числа различных формальных задач на графах; простота представления графов в ЭВМ (Пример: сетевые модели в экономике).
Формально графом называется пара множеств: X = {xi, i =1, n} - множества вершин и U = {uk, = 1, m} - множество ребер, соединяющих вершины. Каждое ребро иk есть пара вида (xi, xj), где xi, xj X. Вершины, связанные ребром, называются смежными. Наличие ребра между вершинами xi, и xj означает связь элементов xi, и xj (электрическую, физическую, логическую). Часто, кроме самого факта связи элементов, важным бывает направление этой связи. Направление связи моделируется ребром со стрелкой (ориентированный граф). Если некоторые вершины в графе связаны сразу несколькими ребрами, их называют мультиграфами, а число ребер, связывающих данную пару вершин, - кратностью ребра. Дополнительная информация о ребрах и вершинах задается с помощью числовых меток, присваиваемых ребрам или вершинам, - весов (граф тогда называется взвешенным).
Для представления графа в ЭВМ удобно использовать специальные матрицы смежности и инцидентности.
Матрица смежности [А] - квадратная матрица размерности h с элементами аij, определяемыми по следующему правилу:
aij =
|
{
|
1, если вершины хi, и xj, связаны ребром;
|
0 в противном случае.
|
Матрица инцидентности [В] - прямоугольная матрица размерности их/я, элементы bik которой находятся по следующему правилу:
bik =
|
{
|
1, если вершины хi, и uk, связаны ребром;
|
0 в противном случае.
|
Бинарный характер матриц А и В позволяет экономно записывать матрицы в память ЭВМ, отводя на каждый элемент по одному двоичному разряду машинного слова. Это дает возможность хранить и обрабатывать матрицы большой размерности.
Пусть в графе последовательность смежных ребер вида ..., (х1, хj), (хi, xk), (xk, хl), цепь - путь, в котором нет повторяющихся ребер, цикл -замкнутая цепь. Граф, у которого нет циклов, ациклический (дерево).
Геометрические модели
Под геометрическими моделями (ГМ) понимают модели, которые с определенной точностью описывают геометрические свойства исследуемого объекта. Под геометрическими свойствами понимаются прежде всего пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре.
В современной геометрии понятия "пространства" и "фигуры" определяются исходя из понятия "множества". Пространство - множество каких-либо элементов ("точек") с условием, что в этом множестве установлены некоторые отношения, сходные с обычными пространственными отношениями. Фигура - произвольное множество точек в данном пространстве.
Обобщение понятий пространства и геометрической фигуры позволяет изучать геометрическими методами не только свойства физических тел, но и других явлений и объектов совершенно иной природы посредством построения их геометрических моделей.
Способы моделирования геометрии объектов:
1) посредством построения материальной модели, геометрические свойства которой отображают геометрические свойства изучаемого объекта с некоторой точностью;
2) с помощью графических представлений (чертежей, графиков, диаграмм);
3) с помощью математического представления (аналитические и вычислительные или числовые модели).
В автоматизированном проектировании одной из важных задач является организация взаимодействия математического и графического представлений геометрических объектов, преимущественно технических (задача инженерной геометрии).
Для любого геометрического объекта можно определить совокупность независимых условий, однозначно задающих этот объект, т.е. позволяющих для любой точки пространства установить, принадлежит она данному объекту или нет (такую совокупность независимых условий называют определителем геометрического объекта). В число условий, определяющих геометрические объекты, входят геометрические фигуры (точки, линии, поверхности) и алгоритм воспроизведения объекта: последовательность действий, с помощью которой осуществляется построение геометрического объекта из геометрических фигур.
Количественно геометрические объекты характеризуются параметрами. Выделение совокупности параметров (параметризация геометрического объекта) - важная часть геометрического моделирования.
Основные понятия теории параметризации
Параметры - независимые величины, позволяющие выделить единственную (либо подмножество) из множества фигур, соответствующих одному и тому же определению.
Процесс параметризация - процесс выделения параметров и подсчета их количества и определения областей, существование которых необходимо для решения конкретной задачи.
Система параметризации - схема правил, описывающих каждую параметризованную фигуру соответствующим упорядоченным множеством чисел - параметров, которой подчиняется процесс параметризации.
Для описания геометрической фигуры выделяют параметры двух типов:
1. Параметры формы - характеризуют только форму и размеры геометрической фигуры; не изменяют своих значений при изменении положения фигуры в пространстве - движении, т.е. описывают фигуры с точностью до движения;
2. Параметры положения - характеризуют только положение геометрической фигуры. Параметризация фигуры осуществляется относительно некоторой системы координат:
a) параметризация формы - в системе, связанной с параметризуемой фигурой и перемещаемой вместе с ней (внутренняя);
b) параметризация положения - в системе, независимой от параметризуемой фигуры (внешняя).
Параметрическое число фигуры
К = Кf + Кp,
где число параметров Kf - формы, а Кp - положения.
Важную роль в определении параметрического числа фигуры играют геометрические условия - геометрические отношения между элементами самой фигуры или элементами данной фигуры и элементами других фигур. Наиболее типичными являются отношения взаимной принадлежности, параллельности, перпендикулярности, касания. Если на фигуру наложены геометрические условия, то расчет ее параметрического числа должен производиться с их учетом. Для этого необходимо выявить эти условия и установить количество параметров, заменяемое каждым из условий.
Некоторые приемы подсчета параметров
В системе подсчета параметров точка считается непроизводной фигурой. В качестве системы параметризации принимаем декартову систему координат.
Положение точки, принадлежащей линии, определяется одним параметром - координатой. На плоскости точка определена двумя, а в пространстве тремя координатами. Параметров формы у точки нет. Количество координат, определяющих точку в пространстве R, называют размерностью этого пространства и обозначают Rn, где п - размерность.
Более сложные фигуры могут рассматриваться как множества точек. Из геометрии известно, что многие фигуры можно задать с точностью до алгоритма воспроизведения некоторым конечным числом точек. Например, прямая может быть задана двумя произвольными и принадлежащими ей точками, окружность и плоскость - тремя точками, принадлежащими им и не лежащими на одной прямой, и т.п.
Произвольная точка линии определяется одним параметром. Изменяя этот параметр, можно выделять любую точку линии. Принято говорить, что точки линии образуют однопараметрическое множество. Обозначаем его ∞1. В дальнейшем п - параметрическое множество фигур - будем обозначать ∞n.
Для задания прямой двумя точками понадобятся четыре параметра на плоскости и шесть в пространстве. Таким образом, на плоскости множество пар точек, задающих прямую, является четырехпараметрическим (∞4), а в пространстве - шестипараметрическим (∞6). Но пары точек, располагающиеся на параметризуемой прямой, образуют двухпараметрическое множество ∞2. Переход от одной пары к другой в этом множестве не изменяет положения прямой, поэтому для подсчета параметров, определяющих положение прямой в пространстве, необходимо из общего множества пар точек в данном пространстве вычесть то множество пар, которое принадлежит прямой. В принятых обозначениях, содержащих параметры в качестве степеней, эта операция соответствует делению:
- на плоскости,
- в пространстве.
Таким образом, прямая определяется на плоскости двумя, а в пространстве R3 - четырьмя параметрами положения. Параметров формы прямая не имеет.
Точка - непроизводная фигура с 3-мя параметрами положения и не имеющая параметра формы.
Прямая – множество однопараметрических точек не имеющее параметров формы с четырьмя параметрами положения в пространстве. З-х параметрическая точка с введением принадлежности к прямой превращается в однопараметрическую.
Отрезок – четырехпараметрическая фигура, имеет один параметр формы и три параметра положения. Если отрезок принадлежит прямой, то остается 2 параметра.
Взаимные отношения между фигурами: принадлежность; параллельность; перпендикулярность; касание; симметрия; подобие; совмещение; выделение границ.
Плоские (2Д) фигуры.
Геометрическое отношение
|
Эквивалентное (заменяемое) число параметров
|
Точка принадлежит линии
Параллельность прямых
Перпендикулярность прямых
Касание прямых
Касание в заданной точке
|
1
1
1
1
1
|
Параметры фигур, принадлежащих плоскости
Наименование фигуры
|
Параметры:
|
Всего: К
|
Формы: Кf
|
Положения: Кp
|
Точка
Прямая
Отрезок прямой
Окружность
n-угольник
Кривая второго порядка
Кривая n-го порядка
|
2
2
4
3
2n
5
n(n + 3)/2
|
--
--
1
1
2n-3
2
n(n + 3)/2-3
|
2
2
3
2
3
3
3
|
Пространственные фигуры (3Д)
Геометрическое отношение
|
Эквивалентное (заменяемое) число параметров
|
Точка принадлежит линии
Точка принадлежит плоскости
Параллельность прямых
Перпендикулярность прямой и плоскости
Перпендикулярность плоскостей
Касание фигур
Касание в заданной точке
|
2
1
2
2
1
1
3
|
Параметры фигур в пространстве
Наименование фигуры
|
Параметры:
|
Всего: К
|
Формы: Кf
|
Положения: Кp
|
Точка
Прямая
Отрезок прямой
Плоскость
Сфера
Многоугольник с числом вершин n и тремя гранями
Цилиндр бесконечный
Цилиндр ограниченный
Конус усеченный
|
3
4
6
3
4
3n
5
7
8
|
--
--
1
--
1
3n-6
1
2
3
|
3
4
5
3
3
6
4
5
5
|
|
