Пояснительная записка Данный элективный курс рассчитан на учащихся 9-11 классов, обучающихся в классах физико-математического и информационного профиля. Основная цель курса

П.10. Уравнение окружности Важным частным случаем эллипса является хорошо известная читателю линия – окружность. По определению, окружность представляет из себя множество точек плоскости, удаленных от данной точки О (центра окружности) на одинаковое расстояние R (радиус окружности). Получим уравнение окружности, считая, что ее центр – точка О(х0,у0), а радиус равен R. Пусть М(х,у) – произвольная точка окружности. По формуле (6) выразим расстояние от М до центра окружности: . Возведем теперь левую и правую части в квадрат, и, учитывая, что МО=R, получим уравнение окружности: . (29) Замечание. В некоторых задачах мы можем получить уравнение второй степени с двумя неизвестными, имеющее вид: . (30) Выделив в нем полные квадраты относительно x и y, мы получим уравнение: . (31) Если правая часть этого уравнения положительна, то это есть уравнение окружности с центром и радиусом . Заметим также, что если правая часть уравнения (31) отрицательна, то оно не имеет решения, а если она равна нулю, то существует только одно решение . П.11. Геометрический смысл знака выражения f(x,y) 11.1. Непрерывные функции двух переменных и их свойства В этом пункте мы будем рассматривать прямоугольную область координатной плоскости, заданную условиями: и некоторое выражение f(x,y), связывающее координаты точек области. От выражения f(x,y) потребуем непрерывности. Для функций двух переменных это свойство относится к высшей математике, мы дадим здесь его интуитивное толкование. Будем говорить, что функция f(x,y) непрерывна в области, если ее значения в любых двух близко расположенных точках этой области мало отличаются друг от друга. Сформулируем теперь одно важное свойство непрерывных функций одной переменной. Лемма. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка противоположные по знаку значения, то найдется, по крайней мере, одно значение , такое, что . Замечание о доказательстве. Данное утверждение должно быть интуитивно понятным и даже очевидным. Действительно, нельзя непрерывно изменять числовое значение с отрицательного на положительное или наоборот и миновать при этом ноль. 11.2. Геометрический смысл знака выражения f(x,y) Неравенства вида f(x,y)>0 или f(x,y)<0 задают на плоскости некоторые области (слово задают означает, что области принадлежат все точки, координаты которых удовлетворяют условию f(x,y)>0 (или f(x,y)<0)). Например, неравенство задает полуплоскость, а неравенство - область плоскости, из которой «вырезан» круг радиусом три с центром в начале координат (граница круга принадлежит области). Пусть на плоскости задана непрерывная функция от двух переменных f(x,y). Неравенства f(x,y)>0 и f(x,y)<0 задают на плоскости две области (эти области могут состоять из нескольких фрагментов каждая). Очевидно, что границы, разделяющие фрагменты разных областей, состоят из точек, удовлетворяющих условию f(x,y)=0. Другими словами, указанные выше области или их фрагменты, разделены линией, заданной уравнением f(x,y)=0. Сформулируем более строгое утверждение. Теорема 4. Пусть на плоскости задана линия  уравнением f(x,y)=0, причем функция f(x,y) – непрерывная. Далее, пусть в точке M1(x1,y1) f(x1,y1)<0, а в точке M2(x2,y2) f(x2,y2)>0. Тогда отрезок M1M2 пересекает линию  хотя бы в одной точке. Доказательство этой теоремы вытекает из сформулированной выше леммы и параметрических уравнений отрезка. Действительно, подставим в функцию f(x,y) вместо координат x и y параметрические уравнения для отрезка M1M2. Получим заданную на отрезке [0, 1] непрерывную функцию относительно параметра t: f=f(t). Причем f(0) = f(x1,y1) < 0, а f(1) = f(x2,y2) > 0. Согласно лемме найдется такое значение t0 [0,1], что f(t0) = f(x0,y0) = 0. При этом точка M0 (x0,y0) отрезка M1M2, соответствующая параметру t0, принадлежит линии , то есть, является точкой пересечения этой линии и отрезка. 11.3. Моделирование линий, заданных уравнением f(x,y)=0, на компьютере Построение линии, заданной уравнением f(x,y)=0 является в общем случае непростой задачей. Хорошо, если удается получить явную зависимость одной координаты относительно другой, то есть выразить, например, x через y: x=F(y). Чаще находят параметрические уравнения: x=x(t), y=y(t), такие, что f(x(t),y(t))=0. Например, параметрические уравнения окружности радиуса r с центром в точке M(x0,y0) имеют вид: (32) Уравнения эллипса, полуоси которого равны a и b, большая ось составляет с осью OX угол , а центр расположен в точке M(x0,y0), имеют вид: (33) Однако такие удачные представления не всегда можно найти, поэтому в общем случае приходится фиксировать одну из координат (подставлять, например, вместо переменной x конкретное значение x0) и каждый раз решать получившееся уравнение f(x0,y) = 0 относительно координаты y. При этом уравнения порой получаются весьма сложные, решение ищется приближенное (с некоторой погрешностью) и, если требуется найти много точек, процесс повторяется многократно. Заметим также, что далеко не при всех конкретных значениях x0 уравнение f(x0,y) = 0 будет иметь корни. Конечно, рутинную часть работы по решению уравнений можно поручить компьютеру, однако, если нас интересует общая форма кривой, а не координаты всех принадлежащих ей точек, можно воспользоваться простым, но очень эффективным приемом. Суть приема в следующем. Для каждой точки экрана (пикселя) вычисляется значение функции f(x,y). Если это значение положительно, то точка закрашивается одним цветом, в противном случае для окрашивания используют другой цвет. В результате на дисплее будет получено двухцветное изображение, а граница, разделяющая два цвета, будет (с определенной точностью) соответствовать искомой линии. 11.4. Задание фигур на плоскости системами неравенств. Возможность задать фигуру на плоскости с помощью уравнений или неравенств (либо их систем), связывающих координаты точек, принадлежащих данной фигуре – весьма заманчива и полезна. Действительно, вместо того, чтобы хранить информацию о координатах каждой точки фигуры достаточно запомнить неравенства, которые ее задают, и, в нужный момент, сгенерировать координаты нужных точек. Мы начнем с рассмотрения самого важного случая, когда фигура задается системой линейных неравенств: (34) При правильном подборе неравенств эта система может задать на плоскости выпуклый k – угольник. Если же к выбору неравенств отнестись менее щепетильно, то в результате можно получить довольно причудливую многоугольную область, границы которой будут лежать на k прямых линиях (уравнения этих прямых можно найти, если заменить в неравенствах знак «больше» на знак «равно»). На практике, для того, чтобы верно составить систему поступают так: сначала строят прямые, которые образуют границу многоугольника. Затем в уравнениях прямых знак равенства заменяют на знак «больше» или «меньше» так, чтобы точки многоугольника удовлетворяли этим неравенствам. Дадим практический совет, как правильно выбрать знак неравенства. Дело в том, что можно легко определить полуплоскость, которая содержит начало координат (если прямая не проходит через эту точку, то есть коэффициент c не равен нулю). Если , то выбирается знак «больше», а если , то знак «меньше». Для выбора знака будем ориентироваться на начало координат. Если начало координат лежит в нужной полуплоскости, то знак определяется по указанному выше правилу, в противном случае он изменяется на противоположный. 11.5. Задание ромба неравенством с модулями Сложные фигуры приходится задавать совокупностями нескольких систем неравенств. Иногда можно обойтись без громоздких записей, тут на помощь приходят модули. В качестве примера приведем важное неравенство, задающее на плоскости ромб, центр которого совпадает с началом координат, а диагонали направлены по координатным осям. Вот это уравнение: (35) Здесь a и b – числа, равные половинам длин диагоналей ромба.

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Элективный курс предназначен для учащихся 10-х классов, изучающих химию на базовом уровне. Курс рассчитан на 34 часа. Введение данного...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Элективный курс предназначен для учащихся 10-х классов, изучающих химию на базовом уровне. Курс рассчитан на 34 часа. Введение данного...
	Пояснительная записка Данный элективный курс составлен на основе... Элективный курс предназначен для учащихся 9 классов и является предметно-ориентированным. Данный курс относится к типу элективных...		Элективный курс по физике «Элементы биофизики»» Автор : Лимонов Н.... Элективный курс предназначен для учащихся 9 классов общеобразовательных учреждений. Курс основан на знаниях и умениях, полученных...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Данный курс предназначен для учащихся 9-х классов информационно-технологического и физико-математического профиля. Курс рассчитан...		Программа факультативного курса Самохвалова Т. В. Пояснительная записка Курс рассчитан на 68 часов учебного времени. Являясь факультативным в классах естественно-математического, социально-экономического,...
	Программа элективного курса Пояснительная записка. Элективный курс «индикаторы» Элективный курс «индикаторы» предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов. На изучение данного курса отводится...		Программа элективного курса 10 класс Часовская С. М. учитель мхк... Элективный курс «Культурное наследие нашего края» для учащихся старшей школы рассчитан на 34 часа
	Элективный курс по страноведению «Знакомьтесь: Соединенные Штаты Америки» Пояснительная записка Данный элективный курс заканчивается викториной on-line, позволяющей учителю закрепить и проконтролировать знания учащихся по всему...		Пояснительная записка Данный элективный курс предназначен для учащихся... Стилистика-наука разветвленная и многосторонняя. Область ее теории и практического применения охватывает всю речевую деятельность...
	Программа элективного курса по математике «Симметрия вокруг нас» «математического» курса было изменить отношение этих учащихся к математике. Для учащихся классов с углубленным изучением ма­тематики...		Пояснительная записка. Факультативный курс «Мир комнатных растений»... Цель факультативного курса углубить и расширить знания учащихся, интересующихся биологией, выращиванием и разведением комнатных растений;...
	Элективный курс по теме «Алгебра матриц. Методы решения систем линейных... Данный элективный курс рассчитан на 14 часов. Разработаны конспекты всех уроков элективного курса		Конкурс рефератов Элективный курс предназначен для учащихся 9 классов общеобразовательных учреждений. Курс основан на знаниях и умениях, полученных...
	Предмет и история эмбриологии Элективный курс предназначен для учащихся 9 классов общеобразовательных учреждений. Курс основан на знаниях и умениях, полученных...		Программа элективного курса для учащихся 10 11 классов «Деловой немецкий» Элективный курс предназначен для обучающихся 10-11 классов школ с углубленным изучением немецкого языка гуманитарного и филологического...