Пояснительная записка Данный элективный курс рассчитан на учащихся 9-11 классов, обучающихся в классах физико-математического и информационного профиля. Основная цель курса

П.12. Применение координат при решении задач на компьютере

Прямая на плоскости задана уравнением , а отрезок определен своими концами:

П.13. Задачи для самостоятельного решения

1. 
   Дайте определение ЛВП. Приведите несколько примеров уравнений, которые задают ЛВП.
   
2. 
   Вычислите координаты фокусов а) эллипса, б) гиперболы, если a=13, b=5.
   
3. 
   Составьте каноническое уравнения а) эллипса, б) гиперболы, если известно, что эта линия проходит через точки с координатами (5, 6) и (-8, 7).
   
4. 
   Проверьте, что прямая, заданная уравнением (9) действительно пересекается с параболой, заданной уравнением (3) только в точке с координатами . (Указание: сначала подставьте уравнение касательной в уравнение параболы, а затем убедитесь, что дискриминант получившегося квадратного уравнения равен нулю.)
   
5. 
   Составьте уравнение касательной к гиперболе с действительной полуосью 8 и мнимой – 4 в точке с координатой x=11, если вторая координата точки отрицательна.
   
6. 
   Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: A(-6;1), B(0;5), C(6;-4), D(0,-8). Докажите, что это прямоугольник и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
   
7. 
   Окружность задана уравнением . Составьте уравнения прямых, проходящих через центр этой окружности и параллельных координатным осям. Найдите также уравнение касательной к окружности, параллельной оси ОХ, и наиболее близко расположенной к началу координат. Обоснуйте свои действия.
   
8. 
   Найдите длину средней линии треугольника, параллельной стороне АВ, если координаты вершин таковы: A(-3;-6), B(-8;6), C(4;-10).
   
9. 
   Высота AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки BD=10 см и CD=4 см. Введите удобную систему координат и определите координаты вершин этого треугольника, если угол при вершине В равен 45 градусов. Объясните, почему выбранная система – наиболее удобная.
   
10. 
    Определите геометрическое место точек плоскости, удовлетворяющих следующему условию: расстояния от каждой из этих точек до концов данного отрезка относятся как 2:3.
    
11. 
    Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А(2;4) и перпендикулярной прямой, заданной уравнением . Определите, в каких точках эта прямая пересекает координатные оси.
    
12. 
    Составьте параметрические, каноническое и общее уравнения прямой, проходящей через середину отрезка АВ, и пересекающей отрезок АС в точке М, так, что АМ=3МС. Если А(8;0), В(-4; 8) и С(12;16).
    

13. 
    Постройте несколько эллипсов по следующему методу: закрепите лист бумаги на фанере и воткните в бумагу (но не до конца) пару кнопок. Возьмите кусок нитки и свяжите концы. Накиньте получившуюся петлю на обе кнопки (фокусы будущего эллипса), острым концом карандаша натяните нить и аккуратно проведите линию, следя за тем, чтобы нить была натянута. Изменяя размеры петли, вы сможете построить несколько софокусных эллипсов. Попробуйте объяснить с помощью Теоремы 1, что полученные линии действительно эллипсы и объясните, как, зная расстояние между кнопками и длину нитки, можно рассчитать полуоси эллипса.
    
14. 
    Составьте программу для ЭВМ, которая строит линии, заданные уравнением f(x,y)=0. Используйте алгоритм из пункта 11.3.
    

2 Самостоятельно найдите координаты вектора и составьте каноническое уравнение этой прямой, используя формулу (13).