Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»

2.3.3 Разработка банка фильтров на основе метода декомпозиции сигнала на эмпирические моды Понятие эмпирической моды и её свойства Эмпирическая мода – функция, заданная непрерывно на интервале существования сигнала или дискретно в виде вектора отсчетов, имеющая произвольную форму и произвольную аналитическую запись, но при этом удовлетворяющая двум необходимым условиям [44]: 1. Общее число максимумов и минимумов должно быть строго равно числу нулей либо отличаться от числа нулей по модулю не более, чем на единицу: или (2.14) где – число максимумов, минимумов и нулей функции соответственно, не считая краевые отсчеты сигнала, которые в некоторых случаях могут оказаться единственными экстремумами сигнала; 2. Локальное (мгновенное) среднее значение функции, определенное в виде полусуммы двух огибающих: верхней, полученной путем интерполяции найденных локальных максимумов, и нижней, полученной путем интерполяции найденных локальных минимумов, – должно быть меньше или равно заранее определенному пороговому значению зависящему от машинной точности и погрешностей, связанных с получением, преобразованием и передачей сигнальной информации. В качестве средства интерполяции чаще всего используются кубические сплайны. Аналитически данное условие записывается в виде: (2.15) где и – значения верхней и нижней огибающих сигнала в -й момент времени ( – номер отсчета сигнала); – общее количество сигнальных отсчетов; – некоторый порог, устанавливаемый обработчиком-экспертом и обычно принимающий близкие к нулю значения. Равенство числа экстремумов и нулей с точностью до 1 необходимо для того, чтобы ЭМ была узкополосной функцией, т. е. удовлетворяла следующему условию: (2.16) где – эффективная ширина Фурье-спектра; – несущая частота. Это дает преимущества при частотной локализации, так как мера узкополосности функции, как будет показано далее, связана с числом экстремумов и нулей. ЭМ является стационарной функцией относительно своего локального среднего значения, которое не превосходит некоторого порога в любой момент времени. Кроме того, для достижения этого условия ЭМ должна иметь положительные значения в точках максимумов и отрицательные значения в точках минимумов, поскольку иначе для отдельных моментов времени условие может не выполниться. Наконец, важно отметить, что ЭМ в общем случае обладает одновременно и амплитудной, и частотной модуляциями. Закон амплитудной модуляции может быть установлен из огибающих, полученных интерполяцией экстремумов или на основе преобразования Гильберта [45], а закон частотной модуляции устанавливается на основании закона изменения мгновенной частоты. В качестве информативного параметра на спектре Гильберта выступает цвет (цвет определяется значением наносимой абсолютной величины), так как именно по его перепадам можно определить соответствующие зависимости (изменение амплитудных соотношений, амплитудные модуляции, частотные модуляции и др.). Понятие огибающей, введенное для определения ЭМ, всегда рассматривается с учетом выбранного вида интерполяции. Используется в основном кубическая сплайн-интерполяция, а также эрмитова интерполяция. У сплайнов вообще, и кубических в частности, есть ряд преимуществ перед другими функциями, обладающими, как и они, высокой степенью гладкости. Во-первых, по сравнению с полиномиальными функциями у сплайнов нет эффекта “раскачивания” – сильных осцилляций интерполирующей функции в случае, если фрагмент (участок сигнала) имеет заведомо не полиномиальную природу. Кроме того, кубические сплайны являются непрерывными (подразумевается равенство значений на стыках) и дважды дифференцируемыми. Последнее означает, что сам сплайн не имеет острых углов (определенность первой производной) и в любой точке определен радиус его кривизны (определенность второй производной), что дает возможность оценивать интенсивность осцилляций самой ЭМ. Но самым важным является то, что кубический сплайн минимизирует осциллирующее поведение функции – т. е. из всех дважды дифференцируемых, непрерывных на некотором интервале функций интерполирующих заданную совокупность точек , кубический сплайн меньше всего осциллирует. Математически данное утверждение можно записать в следующем виде: (2.17) при условии, что , , где – кубический сплайн; – произвольная дважды дифференцируемая функция. ЭМ должна обладать симметрией относительно оси времени, которая подразумевает наличие чередующихся локальных максимумов и локальных минимумов, при этом интенсивность чередования, т. е. среднее число экстремумов за определенный интервал, определяется конкретной функцией. Между локальным максимумом и локальным минимумом, как правило, располагается хотя бы один нуль функции, который в дискретном случае рассчитывается не точно, а приближенно, с помощью алгоритмов интерполяции (линейной, квадратичной, сплайновой). При определении средней частоты функции, как было сказано, используется несколько различных подходов, однако здесь будет рассмотрен один из них, представляющийся наиболее точным: Вначале вводится полярное представление комплекснозначной функции с использованием амплитудной огибающей и фазовой функции, зависящими от времени: (2.18) где – амплитудная огибающая сигнала; – фазовая функция. Обе функции могут быть получены с помощью преобразования Гильберта. К огибающей и фазовой функции предъявляется ряд требований, основанных на физических представлениях. Во-первых, малым изменениям сигнала должны соответствовать малые изменения огибающей и фазовой функции. Во-вторых, фазовая функция не должна зависеть от энергии сигнала. Наконец, в-третьих, для немодулированного гармонического сигнала огибающая должна равняться амплитуде сигнала, а фазовая функция – его полной фазе, состоящей из линейно нарастающего члена и константы (начальной фазы). Можно показать, что из всех возможных операторов, позволяющих вычислить огибающую и фазовую функцию, этим требованиям удовлетворяет только оператор Гильберта. Если функция имеет Фурье-спектр то среднюю частоту можно определить как первый начальный момент квадрата модуля Фурье-спектра (энергетического спектра), что соответствует принятию энергетического спектра как некоторой ПВ (для этого энергетический спектр нормируется, чтобы выполнялось условие нормировки ПВ). Соответствующая формула имеет вид (2.19) Далее используется известное в теории сигналов равенство Парсеваля, заключающееся в том, что скалярное произведение сигналов равно скалярному произведению их Фурье-спектров (с точностью до постоянного множителя). Используя также теорему о дифференцировании функции во временной области (что соответствует умножению на ее Фурье-спектра), среднюю частоту можно преобразовать следующим образом (выражение приведено без учета постоянного множителя): (2.20) Чтобы воспользоваться свойством преобразования Фурье дифференцированной функции, необходимо подынтегральное выражение умножить и разделить на и использовать линейность оператора Фурье (2.21) Используя представление функции в виде огибающей и фазы (огибающая – модуль а фаза – аргумент ), получаем: (2.22) поскольку первым слагаемым можно пренебречь (в подынтегральном выражении находится производная от медленно меняющейся функции и эта производная близка к нулю). Кроме того, поскольку частота всегда вещественна, первый интеграл должен равняться нулю по физическим соображениям (это обеспечивается соответствующим видом функции которая должна быть медленно меняющейся по сравнению с несущим колебанием). Наконец, поскольку огибающая является функцией с интегрируемым квадратом, т. е. принадлежащим пространству то выполняется следующее условие: при (2.23) Данное равенство является справедливым при интегрировании в бесконечных пределах, когда постоянный множитель не играет роли. С учетом равенства нулю огибающей при и интегрирования в бесконечных пределах получаем: и первый интеграл в выражении для средней частоты обращается в нуль. Средняя частота может быть также выражена во временной области, если ввести для комплексного сигнала некоторую функцию являющуюся мгновенной частотой для сигнала . В этом случае средняя частота определится как Используя вновь равенство Парсеваля, а также вводя требование равенства средних частот, вычисленных во временной и частотной областях, можно прийти к следующему соотношению: (2.24) Если сигнал не имеет ни экстремумов, ни нулей (что может встретиться у монотонно убывающей или возрастающей последовательности), то к нему можно применить операцию дифференцирования либо подвергнуть его любому другому преобразованию с целью порождения хотя бы одного экстремума или нуля. В конце все полученные ЭМ должны быть проинтегрированы для возврата к исходному множеству значений. При отсутствии нулей (если именно они необходимы для конструирования огибающей) можно применить операцию центрирования (вычитания глобального среднего значения). Очевидно, центрирование не исказит результаты работы алгоритма, ведь ни форма сигнала, ни соотношение между отсчетами, ни его наиболее информативные статистические характеристики (дисперсия, СКО, коэффициент асимметрии, эксцесс и т. д.) при этом не изменятся. В некоторых случаях применяется построение только одной огибающей, одновременно проходящей через все максимумы и все минимумы, а также через все существующие у сигнальной функции нули. Примеры ЭМ приведены ниже: 1) – гармонический сигнал с параметрами 2) – ЛЧМ-сигнал с параметрами 3) – гауссов радиоимпульс с параметрами 4) – периодическая последовательность прямоугольных импульсов. В качестве примеров функций, не являющихся ЭМ, можно привести дискретную экспоненту и гармонику с постоянной составляющей: 1) – дискретная экспонента с параметрами , Эта функция не является ЭМ, поскольку ее локальное среднее отлично от нуля во всех точках; 2) не является ЭМ, поскольку данная функция имеет экстремумы, но не имеет нулей, так как 3) не является ЭМ, поскольку данная функция не имеет экстремумов (так как нет точек, где производная обращается в ноль), но имеет нули (можно рассматривать только несобственные экстремумы, где производная обращается в бесконечность). На исходный сигнал накладываются определенные требования, чтобы из него можно было извлечь хотя бы одну ЭМ. Эти требования заключаются в том, что необходимо наличие хотя бы одного экстремума каждого вида, т. е. хотя бы одного максимума и хотя бы одного минимума (или хотя бы одного нуля, если огибающая строится по нулям), иначе процедура формирования одной из огибающих потеряет смысл. Однако для построения кривой нужны, по меньшей мере, две точки (при использовании линейной интерполяции), а для более высокой точности – три (при использовании квадратичной интерполяции). Алгоритм разложения сигнала на основе ДЭМ. ДЭМ как диадический банк фильтров Основные этапы работы алгоритма ДЭМ Алгоритм ДЭМ представлен ниже в виде упорядоченных этапов и соответствующей иллюстрирующей его блок-схемы [47].

Похожие:

	Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы		Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы
	Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы		Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы
	Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы		Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы
	Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы		Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы
	Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы		Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы
	Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы		Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... «Разработка новых методов индивидуальной коррекции сводно-радикального статуса при бактериальных инфекциях»