2.3.5 ДПФ-модулированный банк фильтров с объединением субканалов
В практических приложениях часто приходится выполнять анализ сигнала, занимающего определенный частотный диапазон. При этом положение сигнала и его полоса могут изменяться со временем. Для построения таких систем предлагается использовать ДПФ-модулированный банк фильтров с объединением субполос.
Основные понятия
Банком фильтров анализа называется совокупность фильтров   , которые раскладывают входной сигнал на  субполосных сигналов  . Для случая  типичная частотная характеристика банка фильтров показана на рис. 2.43.
Рис. 2.43 – АЧХ 4-канального бака фильтров анализа
Банком фильтров синтеза называется набор фильтров  , которые объединяют сигналов  в один сигнал  , который называют реконструированным. Соединение банка анализа и синтеза называют системой анализ/синтез, типовая структура которой изображена на рис. 2.44.
-канальный банк фильтров, у которого все коэффициенты децимации/интерполяции одинаковы и равны , называют предельно децимированным. Структура на Рис. 2.44 позволяет вывести важное выражение для z-образа реконструированного (либо восстановленного) сигнала [5Error: Reference source not found,5Error: Reference source not found]:
|
((2.34)
|
 Рис. 2.44 – Структура системы анализ/синтез
Из данного выражения видно, что наряду с исходным сигналом восстановленный сигнал содержит  составляющих наложения. Появление данных составляющих есть негативное последствие децимации канальных сигналов. Часто формулу ((2.34) записывают в следующем виде [5Error: Reference source not found]:
|
(1.35)
|
где
|
(2.26)
|
В выражении (1.35)  является передаточной функцией системы анализ/синтез, в то время как  представляют собой передаточные функции компонентов наложения спектров, которые определяют, насколько хорошо подавляются компоненты наложения  .
Важным классом банков фильтров являются те, которые обладают свойством полного восстановления. Полное восстановление (от англ. «perfect reconstruction») означает, что сигнал на выходе схемы анализ/синтез полностью идентичен сигналу на входе этой схемы с точностью до задержки, т.е.  . Условие полного восстановления для системы анализ/синтез, состоящей из банка фильтров анализа  и банка фильтров синтеза  , можно записать в матричной форме
|
(2.37)
|
Выражение (2.37) эквивалентно тому, как если бы мы задали следующие ограничения на передаточную функцию системы анализ/синтез и на передаточные функции компонент наложения спектров [551]:
|
(2.38)
|
Однако на практике проектирование банка фильтров, отвечающего таким жестким требованием, как (2.37) является непростой задачей. Получаемые при этом банки фильтров, обладают не высоким уровнем затухания в полосе подавления (порядка 40–50 дБ см. [552]).
К счастью, во многих практических приложениях свойство полного восстановления не является критичным, поэтому условие (2.37) ослабляют, допуская небольшие колебания в передаточной функции системы анализ/синтез , получаемую таким образом систему называют банком фильтров с почти полным восстановлением (от англ. «near-perfect reconstruction»). Условие почти полного восстановления записывается как
|
(2.39)
|
где  и  это величины малого порядка ( дБ).
ДПФ-модулированный банк фильтров
Построение ДПФ-модулированного банка фильтров начинается с проектирования фильтра-прототипа  , который является КИХ-фильтром нижних частот N-ого порядка с линейной ФЧХ и импульсной характеристикой 
|
(2.40)
|
Частота среза фильтра-прототипа  должна находиться около частоты  , где — это количество каналов банка фильтров. В некоторых случаях, когда хотят добиться лучшего подавления компонент наложения, для банков фильтров анализа и синтеза рассчитывают различные фильтры-прототипы. Однако в данном разделе рассматривается случай, когда в роли фильтра-прототипа для банков анализа и синтеза выступает один и тот же фильтр .
Импульсные характеристики фильтров анализа и синтеза записываются следующим образом:
|
(2.41)
|
|
(2.42)
|
где  —  -ый фильтр анализа,  — -ый фильтр синтеза,  порядок фильтра-прототипа, и  означает комплексное сопряжение.
Исходя из (2.41) можно записать z-преобразование для банка фильтров анализа:
|
(2.43)
|
следовательно для частотной характеристики -того фильтра банка анализа справедливо выражение
|
(2.44)
|
Выражение (2.44) говорит о том, что фильтры анализа задаются путем сдвига в частотной области АЧХ фильтра-прототипа. В результате мы получаем -канальный банк фильтров, у которого амплитудно-частотные характеристики всех фильтров анализа и синтеза это равномерно сдвинутые в частотной области версии фильтра-прототипа, поэтому подобный банк фильтров называют равнополосным.
Описываемый ниже метод расчета фильтра-прототипа для ДПФ-модулированного банка основывается на работе [5Error: Reference source not found], где приводится метод расчета фильтра-прототипа для косинусно-модулированного банка фильтров. Таким образом, данный метод является расширением метода [5Error: Reference source not found] на случай ДПФ-модулированного банка фильтров.
Для проектирования фильтра-прототипа вводится следующая функция ошибки:
|
(2.45)
|
В данном выражении  частота отсечки полосы подавления фильтра-прототипа  . Как правило, для задания частоты используется коэффициент перекрытия смежных полос [553]  (от англ. «roll-of-factor»):
|
(2.46)
|
Используя функцию ошибки формулируется взвешенная, среднеквадратичная целевая функция:
|
(2.47)
|
где  функция стоимости (от англ. «cost function»), и   .
Теперь задача расчета фильтра-прототипа сводится к минимизации функции (2.47). Оптимальное решение, которое минимизирует (2.47) трудно получить в аналитическом виде, поэтому для поиска минимума в [5Error: Reference source not found] использовался алгоритм, который состоит из двух итеративных процедур, одна из которых находится внутри другой. Внутренний цикл итеративно оптимизирует коэффициенты фильтра-прототипа, в то время как во внешнем цикле процедуры итеративно корректируется значения функции стоимости . В данном разделе рассматривается упрощенный вариант расчета, в котором  и не изменяется на верхнем уровне алгоритма.
Индекс  обозначает значения функции или коэффициенты фильтра на i-той итерации. Частотная характеристика фильтра  записывается как
|
(2.48)
|
где
|
(2.49)
|
и
|
(2.50)
|
|
(2.51)
|
оператор  обозначает наибольшее целое число меньшее  .
Учитывая сделанные замечания, целевая функция принимает вид:
|
(2.52)
|
Применяя выражение (2.49), функция ошибки (2.52) принимает следующий вид
|
(2.53)
|
где
Используя введенные обозначения, найдем первую производную целевой функции (2.52) по 
где
Пусть теперь  является оптимальным решением, при котором  равно нулю. Чтобы определить  разложим в ряд Тейлора в окрестности точки оптимума:
|
(2.54)
|
где  это матрица вторых производных (матрица Гессе) для функции  , которая имеет вид
|
(2.55)
|
Не учитывая члены высших порядков в (2.54), корректирующий вектор можно получить следующим образом:
|
(2.56)
|
Таким образом, оптимизирующая процедура начинает работу с некоторого начального решения  , которое является грубым приближением оптимального. Далее на i-той итерации рассчитывается корректирующий вектор , по формуле (2.56), после чего вычисляются новые значения коэффициентов
Итерационная процедура заканчивается, когда  .
Для иллюстрации работы описанного метода, приведем пример расчета фильтра-прототипа для 16-канального ДПФ-модулированного банка фильтров. Порядок фильтра-прототипа равен  , коэффициент перекрытия смежных полос  . В качестве начального приближения выбираем КИХ-фильтр с частотой среза  , который рассчитан методом взвешивания на прямоугольное окно.
Рис. 2.45 – Частотная характеристика банка фильтров анализа
На рис. 2.45 показана амплитудно-частотная характеристика полученного банка фильтров анализа. Нужно отметить, что для вычисления коэффициентов фильтра-прототипа потребовалось двенадцать итераций оптимизационной процедуры. Ниже на рис. 2.46 приведена частотная характеристика передаточной функции анализ/синтез для полученного банка фильтров.
Рис. 2.46 – Передаточная функция  системы анализ/синтез
Из графика функции  можно сделать вывод, что банк фильтров не вносит в реконструированный сигнал искажений по уровню больших  дБ.
Полифазная структура ДПФ-модулированного банка фильтров
Первым шагом при получении полифазной структуры M-канального ДПФ-модулированного банка фильтров является полифазная декомпозиция фильтра-прототипа, которая заключается в разбиении его на полифазных компонент:
|
(2.57)
|
где
|
(2.58)
|
Другими словами импульсная характеристика перегруппирована в подпоследовательностей  . Далее объединим выражения (2.43) и (8)
|
(2.59)
|
В ходе вывода последнего выражения использовалось тождество  . Перепишем уравнение (2.59) в виде произведения вектора строки на вектор-столбец:
|
(2.60)
|
Теперь все уравнений (для каждого  ) можно переписать в матричной форме:
|
(2.61)
|
Выражение (2.61) является ключевым для построения полифазной структуры ДПФ-модулированного банка фильтров, поскольку матрица  в правой части выражения есть не что иное, как матрица обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ), умноженная на константу . Это уравнение показывает путь к эффективной реализации банка фильтров анализа, структура которого приведена на рис. 2.47. Кстати, именно присутствие в чистом виде ДПФ в структуре банка фильтров и дало название данному классу банков фильтров.
Вычислительная сложность структуры на рис. 2.47 значительно меньше, чем у прямой реализации банка фильтров. Так для аппаратной реализации M-канального ДПФ-модулированного банка фильтров с фильтром-прототипом -ого порядка понадобится  операций умножения, в то время как для прямой реализации их потребуется  .
Рис. 2.47 – Структура ДПФ-модулированного банка фильтров анализа
При расчете числа операций умножения был учтен тот факт, что M-точечное ОДПФ эффективно вычисляется с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Объединение субполос
Механизм объединения субполос позволяет получать [60] желаемую частотную декомпозицию сигнала. Хороших результатов можно достичь, если имеется большое число узких субполос, чьи выходы можно интерпретировать как отсчеты в частотной области, и затем просто группировать, чтобы оценить содержимое заданной частотной полосы. Пример банка фильтров анализа с объединением субполос показан на рис. 2.48.
Рис. 2.48 –ДПФ-модулированный банк фильтров анализа с объединением субполос
Рис. 2.49 – Частотные характеристики банка фильтров объединении субполос ( )
На рис. 2.49 приведен пример ДПФ-модулированного банка фильтров анализа с объединением каналов в полосы неравной ширины: амплитудно-частотная характеристика банка фильтров анализа, амплитудно-частотная характеристика банка фильтров анализ-синтез, групповая задержка.
Процессор ДПФ-модулированного банка фильтров
Процессор ДПФ-модулированного банка фильтров анализа состоит из нескольких модулей: линии задержки, полифазных фильтров, схемы БПФ и блока объединения субполос. В качестве вычислительной платформы процессора выбираются программируемые логические интегральные схемы (типа FPGA), так как они наилучшим образом позволяют найти компромисс между вычислительными ресурсами и потребляемой мощностью.
Линия задержки необходимая для построения процессора банка фильтров может быть получена последовательным соединением регистров. Далее следует блок полифазной фильтрации. Входом полифазных компонент служат выходы линии задержки (рис. 2.48). На рис. 2.50 показана общая схема формирования выхода первого полифазного компонента.
Рис. 2.50 – Первый полифазный компонент
Вычисление k-ого выхода полифазного компонента соответствует вычислению скалярного произведения векторы выходов цепочки задержек с вектором коэффициентов полифазного компонента:
|
(2.62)
|
Для реализации скалярных произведений при практической реализации алгоритмов ЦОС широко применяется распределенная арифметика (РА). Принципиальным отличием этого подхода от прямой реализации с использованием MAC-ядер является то, что в РА нет умножителей в чистом виде. Рассмотрим скалярное произведение двух векторов:
|
(2.63)
|
и представим что входные данные  это числа в дополнительном коде нормированные к единице, т.е.  , где  это биты двоичного представления числа . Подставляя последнее выражение в (2.62) и, делая перегруппировку, получаем выражение
|
(2.64)
|
которое является ключевым для РА. Надо заметить, что сумма  может принимать лишь  различных значений, поэтому все эти значения могут быть заранее вычислены и занесены в память (ПЗУ). При этом вектор разрядов  является адресом ПЗУ, в котором по этому адресу храниться значение . Таким образом, для реализации выражения (2.62) требуется ПЗУ объемом ячеек сумматор-вычитатель и регистр для хранения промежуточных данных. Объем ПЗУ можно уменьшить в два раза, если интерпретировать входные данные, как представленные в смещенном двоичном коде [61].
Схема реализации полифазного компонента в общем виде с использованием РА приведена на рис. 2.51. Нужно отметить, что количество полифазных компонент определяется числом каналов банка фильтров (и равно ), порядок каждого полифазного компонента определяется параметром  .
Рис. 2.51 – Схема реализации полифазного компонента с использованием распределенной арифметики
В работе не рассматривается конкретной реализации БПФ, поскольку для данного алгоритма разработано множество эффективных аппаратных схем. Для реализации блока объединения субполос используется мультиплексор в соединении с блоком суммирования. При помощи мультиплексора выбираются заданные для группировки каналы банка фильтров, которые затем объединяются в блоке суммирования. Общая схема банка фильтров приведена на рис. 2.52.
Рис. 2.52 – Схема процессора ДПФ-модулированного банка фильтров
|
