Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»
Скачать 1.16 Mb.
|
Шаг 1. Рассматривается текущий остаток  (где  – первый остаток, который и есть сам исходный сигнал  . Определяются его экстремумы и формируются два конечных набора (множества): ;  где  и  – наборы максимумов и минимумов соответственно.Если экстремумы отсутствуют в текущем остатке, то возможно применение операции численного дифференцирования с помощью конечноразностных формул для их порождения. В этом случае по окончании работы всего алгоритма производится возврат к начальному множеству значений путем интегрирования каждой ЭМ на основе численных методов. Далее по найденным экстремумам строятся две огибающие с помощью интерполяции кубическими сплайнами:   где  и  – верхняя и нижняя огибающие, построенные, соответственно, по найденным локальным максимумам и минимумам;  – номер итерации отсеивания (см. ниже).Построенные огибающие должны заключать в себе весь текущий остаток, т. е. любой отсчет должен удовлетворять условию:  Однако в некоторых случаях наблюдаются так называемые “всплески” – явления, при которых какой-либо отсчет оказывается больше значения верхней огибающей или же меньше значения нижней огибающей в данной точке. Этот эффект сплайн-интерполяции объясняется плохой обусловленностью систем, использующихся при расчете коэффициентов сплайнов, что может являться следствием наличия шума в исходном сигнале. Также необходимо учитывать влияние начального и конечного отсчетов на интенсивность осцилляций на краях. Для уменьшения этих осцилляций используются методы зеркального отображения экстремумов, ближайших к краевым отсчетам, что позволяет сгладить эти осцилляции. После этого определяется полусумма двух огибающих (локальное среднее значение, зависящее от времени) и выполняется переход к шагу 2:  Шаг 2. Найденное среднее значение вычитается из сигнала (текущего остатка), и полученный результат  оказывается “претендентом” на то, чтобы стать очередной ЭМ: при   при  Однако необходимо проверить два обязательных условия отнесения функции к классу ЭМ. Если оба условия выполняются, то выполняется переход к шагу 3. Если какое-либо из них нарушено, то осуществляется возврат к шагу 1, но теперь уже в качестве исходного сигнала (текущего остатка) выступает полученный на втором шаге результат. Тем самым начинается так называемый процесс отсеивания, который может быть записан в следующем виде:  ...  где  – среднее значение функции на -й итерации процесса отсеивания; – текущий результат на -й итерации отсеивания;  – общее число итераций для данной ЭМ.На итерации с номером процесс отсеивания для извлечения очередной ЭМ прекращается и осуществляется переход к шагу 3.Шаг 3. После извлечения ЭМ в ее окончательном виде осуществляется ее вычитание из текущего остатка для формирования нового (т. е. для обновления остатка):  где  – полученная ЭМ; – текущий остаток;  – новый остаток.Шаг 4. Далее осуществляется переход к шагу 1, где в качестве функции, из которой будут извлекаться ЭМ с более высокими номерами (т. е. в качестве текущего остатка), выступит тот остаток, который был получен на третьем шаге, т. е.  На рис. 2.39 показана блок-схема выполнения всех этапов алгоритма ДЭМ, включая процесс отсеивания. На рис. 2.40 и 2.41 приведены примеры получения декомпозиции для зашумленных сигналов. Сами сигналы изображены в начале (первый график). В результате декомпозиции получено 11 и 9 компонент соответственно. Во всех разложениях прослеживается одинаковая общая динамика: в самом начале идут ВЧ-компоненты (шумовые компоненты), а затем их средняя частота постепенно уменьшается. При этом самая последняя компонента (либо несколько компонент) представляет собой тренд, описывающий общую тенденцию в исходных данных. По виду разложения можно также идентифицировать информативные компоненты, на основании анализа которых можно сделать вывод о свойствах и особенностях рассматриваемого сигнала. На рис. 2.40 и 2.41 четко видны гармонические составляющие, что говорит о гармонической природе сигнала.  Рис. 2.39 – Блок-схема выполнения алгоритма ДЭМ  Рис. 2.40 – Пример выполнения ДЭМ  Рис. 2.41 – Пример выполнения ДЭМ На примере разложения мультигармонического сигнала (рис. 2.40 и 2.41) можно увидеть, что две компоненты (  и  ) представляют собой соответствующие элементарные гармоники, а значит, данное разложение может эффективно использоваться для обнаружения компонент, входящих в исходный сигнал.Процесс отсеивания В настоящее время алгоритм ДЭМ пока еще не имеет такой стройной и глубоко разработанной теоретической базы, как анализ Фурье или вейвлет-анализ. Алгоритм имеет эмпирическую природу. Смысл слова “эмпирический” в данном случае двойной: во-первых, разложение осуществляется на эмпирические моды, которые в общем случае не поддаются аналитическому описанию даже в неявном виде, а во-вторых, многие положения данной технологии не имеют общего математического доказательства (оно часто существует лишь для частных случаев), но при этом базируются на рациональных эмпирических выводах и закономерностях. Существует несколько положений, заложенных в основу данной технологии:
Поскольку в основном сигналы, с которыми приходится работать при решении прикладных задач, являются дискретными, т. е. представляют собой набор дискретных отсчетов, взятых через фиксированные и, как правило, равные временны́е интервалы, то необходимо особо оговорить способ вычисления экстремумов. В основе технологии ДЭМ лежит предположение о том, что сигнал (вернее, текущий остаток после извлечения очередной компоненты) на каждом этапе представляется в виде двух функций: медленно и быстро осциллирующей функции. В роли последней выступает сама ЭМ, извлеченная на очередном этапе, в роли первой – полученный после этого остаток, подвергающийся дальнейшему разложению (если это возможно, т. е. если есть хотя бы по одному экстремуму каждого типа). Медленно осциллирующая компонента является аппроксимирующей составляющей сигнала (отвечает за передачу НЧ-составляющих), в отличие от быстро осциллирующей, которая является детализирующей (отвечает за передачу ВЧ-составляющих), так как воспроизводит его локальные особенности и тонкие детали. В роли детализирующей составляющей выступает ЭМ, а в роли аппроксимирующей – остаток на данном уровне разложения. Вышесказанное можно аналитически представить в следующем виде:  где  – произвольная функция;  – аппроксимирующая составляющая (локальный тренд);  – детализирующая составляющая (локальные детали).Ключевая роль в алгоритме отводится уже упоминавшемуся процессу отсеивания. Он имеет итерационную природу и предназначен для извлечения конкретной ЭМ, а если быть точнее, функции, удовлетворяющей тем двум необходимым условиям, о которых уже шла речь. Процесс отсеивания направлен на то, чтобы полученная ЭМ имела симметричные верхнюю и нижнюю огибающие и, следовательно, представляла собой амплитудно-модулированную функцию. Как будет показано в дальнейшем, мгновенная частота каждой ЭМ, вычисленная путем применения преобразования Гильберта, также не остается постоянной, а, в общем случае, меняется во времени (однако, например, при анализе мультигармонического сигнала, где отдельные ЭМ представляют собой соответствующие гармоники с фиксированной частотой, мгновенная частота этих ЭМ является константой). Поэтому помимо амплитудной модуляции ЭМ также обладает и частотной модуляцией, особенно отчетливо заметной на частотно-временном представлении сигнала. Поэтому ДЭМ представляет сигнал в виде конечного набора функций, обладающих амплитудной и частотной модуляциями. По сути, сам алгоритм представляет собой два вложенных друг в друга цикла: счетчик внешнего цикла увеличивается, когда производится переход к извлечению следующей по номеру компоненты, а внутренний цикл – это и есть сам процесс отсеивания. Он направлен на извлечение данной ЭМ, номер которой зафиксирован внешним циклом. Процесс отсеивания применяется для каждой ЭМ в отдельности, однако число итераций может отличаться, причем иногда на несколько порядков. Поскольку сам процесс является итерационным, то невозможно заранее предсказать, сколько именно итераций потребуется в каждом конкретном случае. В простейшем случае количество итераций ограничивают некоторым числом. Однако для получения более точных результатов были специально разработаны различные критерии остановки процесса отсеивания, некоторые из которых приведены ниже: – процесс отсеивания для очередной ЭМ прекращается, если число экстремумов и нулей на текущей итерации либо совпадает, либо отличается не более чем на 1. Преимущество данного критерия в том, что он непосредственно связан с определением ЭМ. При этом, если выполняется условие равенства числа нулей и экстремумов (или они отличаются на 1), то требование равенства нулю полусуммы верхней и нижней огибающих может оказаться невыполненным, что является недостатком критерия; – процесс отсеивания для очередной ЭМ прекращается, если значение показателя нормированной квадратичной разности между значениями функции на двух последовательных итерациях выходит за границы эмпирически установленного интервала  . В общем случае данный интервал может быть изменен в зависимости от решаемой задачи. (2.25)где  и  – номера двух последовательных итераций процесса отсеивания;  и  – значения функции на двух последовательных итерациях,  – маленькое положительное число (учитывающее случай обращения знаменателя в 0).В результате выполнения всей процедуры разложения получается набор ЭМ, каждая из которых представляет сигнал с определенной степенью точности. Последняя компонента является либо трендом, либо константой, либо нулевым остатком. Важно отметить, что даже для сигнала с нулевым средним результирующий остаток все же может оказаться отличным от нуля. Это явление объясняется тем, что в процессе реализации алгоритма используются сплайн-интерполяция и процесс отсеивания, которые в некоторых случаях могут порождать новые экстремумы, вследствие чего результирующий остаток (последняя ЭМ) в итоге оказывается отличным от нулевого. При этом результат суммирования всех компонент должен дать исходный сигнал:  (2.26)где  – результирующий остаток, являющийся либо трендом, либо константой. Данная формула справедлива при использовании всех ЭМ, полученных в результате разложения. В случае исключения отдельных компонент формула приобретает вид (2.27)В этом случае нижняя и верхняя границы в суммировании не указывается, а индекс суммирования  принадлежит индексному множеству  которое упорядочивается в зависимости от включения той или иной ЭМ.ДЭМ с параболической интерполяцией огибающих ДЭМ со сплайн-интерполяцией огибающих, описанный выше гарантирует относительно небольшую вычислительную сложность (при определении коэффициентов полиномов третьей степени на участках между локальными экстремумами) и точное аналитическое представление при расчетах. Основные недостатки – явления “всплесков” (резкое превышение значением функции среднего уровня в промежутке между узлами интерполяции), краевые эффекты (осцилляции в окрестности точек начала и окончания сигнала) и отрицательное влияние ошибок в определении местоположения экстремумов. Именно последние вносят довольно серьезную погрешность при применении метода ДЭМ, поскольку при их неточном определении возможно появление т.н. избыточности (возникновение в разложении компонент, являющихся следствием неточностей выполнения алгоритма ДЭМ, а не структурных особенностей сигнала) и искажения структуры самих компонент. Параболическая интерполяция огибающих (полиномом второй степени) направлена на более точное определение местоположения экстремумов и препятствие появлению ложных компонент, не имеющих физического смысла (т.е. являющихся неинформативными для конкретного сигнала). Поясним сказанное следующим образом. Одним из простейших и наиболее часто используемых алгоритмов определения экстремумов является следующий. Обозначим  как текущий отсчет сигнала, а  и  как предыдущий и последующий отсчеты соответственно. Для поиска экстремумов необходимо проверить следующие условия:1) если  и  или  и  , то отсчет с номером  – максимум;2) если  и  или  и  , то отсчет с номером – минимум;3) в противном случае отсчет с номером не является ни максимумом, ни минимумом.Таким образом, данный метод поиска экстремумов заключается в нахождении окрестности, соответствующей максимуму или минимуму. Соответственно точка, расположенная посередине окрестности, либо превышает (в случае максимума), либо уступает (в случае минимума) значениям в соседних точках. Очевидно, максимальная ошибка  определения экстремума составляет половину интервала дискретизации (если истинное значение экстремума лежит ровно посередине между двумя значениями отсчетов): , где  – интервал (период) дискретизации. Данная ошибка может довольно существенно повлиять на точность самого разложения. В связи с этим предлагается новый метод уточнения положения экстремумов с использованием параболической интерполяции. Сам метод заключается в следующем:1) Выбираются 3 первых отсчета исходного сигнала  ;2) По трем отсчетам строится квадратичный полином вида  , где  – коэффициенты подлежащие определению (для их нахождения необходимо решить систему из трех уравнений с тремя неизвестными);3) Если коэффициент при старшей (второй) степени отличен от нуля (  ), то среди трех точек есть экстремум, который располагается посередине (вторая точка в последовательности из трех точек). Координата экстремума уточненным способом определяется как координата вершины параболы;4) Если коэффициент при старшей степени равен нулю, то все 3 точки лежат на одной прямой (с положительным или отрицательным наклоном), и среди них нет экстремума. Далее необходимо сдвинуть скользящее окно (включающее 3 точки, среди которых ищут экстремальную) на 1 точку вправо (т.е. в новом окне сохранятся 2 точки из предыдущего окна и добавится одна новая) и повторить ту же последовательность действий. Следует отметить, что на практике коэффициент при старшей степени сравнивается не с нулем, а с некоторым порогом по той причине, что всегда присутствуют погрешности в вычислениях (сами вычисления проводятся не в аналитических, а численных системах, например, в системе MATLAB). Таким образом, условие наличия экстремума среди трех точек выглядит как  наличие экстремума,  отсутствие экстремума;В данном методе точность определения экстремумов повышается за счет определения их местоположения как координаты вершины параболы  : Огибающая в данной модификации метода ДЭМ будет состоять из кусочно-кубических участков, как и в классическом методе ДЭМ, однако определение экстремумов выполняется более точно за счет вычисления координаты вершины параболы. Одним из базовых положений (своего рода постулатов) метода ДЭМ является следующий. Если ДЭМ применяется к функции, которая заведомо является ЭМ (т.е. удовлетворяет двум необходимым условиям отнесения к классу ЭМ), то в результате разложения не должно получаться иной функции, кроме самой ЭМ. Например, применение ДЭМ к мультигармоническому сигналу не должно порождать ничего другого, кроме содержащихся в нем гармоник. Однако классическая ДЭМ в некоторых случаях приводит к появлению побочных (ложных) компонент в разложении, очень близких по значениям к нулю. Это и есть уже упоминавшаяся избыточность ДЭМ, на борьбу с которой и направлены параболическая интерполяция и уточнение местоположения экстремумов. Статистические свойства ЭМ При обработке сигналов на основе метода ДЭМ интерес представляет статистический анализ извлеченных компонент. Одним из важных этапов статистического анализа ЭМ является определение их ПВ. Для этого используется выражение, иллюстрирующее свойство полноты разложения (выражение уже было приведено ранее):  (2.28)На основе алгоритма ДЭМ можно записать следующее соотношение:  (2.29)где  и  – остатки, полученные на -м и  -м шаге выполнения алгоритма;  – ЭМ, извлеченная на -м шаге. Для определения закона распределения вероятностей для -й ЭМ, необходимо определить сначала аналогичные законы для остатков и . На помощь здесь приходят две известные в теории вероятностей теоремы:1. Центральная предельная теорема. Распределение суммы статистически независимых, равномощных случайных величин (под равномощностью подразумевается, что эти величины измеряются в единой шкале или, в частном случае, в одних и тех же единицах) при условии конечности моментов законов распределения каждой из этих величин стремится к гауссовскому при неограниченном увеличении их числа. 2. Линейная комбинация двух и более случайных величин с гауссовским (нормальным) законом распределения вероятностей порождает новую случайную величину с гауссовским распределением. Из центральной предельной теоремы непосредственно вытекает, что остатки и имеют распределение, очень близкое к гауссовскому, поскольку каждый из последующих остатков представляет собой, по сути, локальное среднее остатка на предыдущей итерации после выделения очередной ЭМ. Продолжая взятие остатков рекурсивно, начиная от последнего (который уже не может быть разложен далее в силу недостаточного числа экстремумов или нулей) и заканчивая исходным (исходный остаток есть не что иное, как сам сигнал), получаем, что первый остаток имеет распределение, близкое к гауссовскому, обусловленное присутствием шума в сигнале. Первая ЭМ является самой высокочастотной, и в определенной степени ее можно рассматривать как аппроксимацию исходного шума. Следовательно, ее распределение тоже очень близко к гауссовскому. Из второй теоремы непосредственно вытекает, что следующий (второй) остаток имеет близкое к гауссовскому распределение, поскольку он находится как разность первого остатка и первой извлеченной ЭМ. Продолжая эту цепочку рассуждений и опираясь на две приведенные теоремы, можно определить ПВ для всех остальных ЭМ и остатков.ДЭМ как банк фильтров Представленный алгоритм ДЭМ имеет ряд важнейших свойств, предопределивших его широкое использование при обработке различных классов сигналов [46]. Первое свойство – полнота. Очевидно, оно является одним из важнейших для любого базиса. Его смысл заключается в том, что сумма членов разложения при стремлении их общего числа к бесконечности сходится к исходной декомпозируемой функции (сигналу). В данном случае это обстоятельство является чрезвычайно важным, так как иначе не представлялось бы возможным восстановить исходный сигнал по набору извлеченных из него компонент. Для проверки данного свойства необходимо просуммировать ЭМ, что можно сделать как в направлении компонент с большими номерами, начиная от меньших (в этом случае восстановление осуществляется от “тонкого к грубому”, поскольку суммируются функции в порядке от самого тонкого масштаба к самому грубому), так и наоборот (в этом случае восстановление осуществляется от “грубого к тонкому”, поскольку суммируются функции в порядке от самого грубого масштаба к самому тонкому). Смысл этих двух модификаций суммирования становится понятным, если проследить динамику формы и поведения самих функций. Очевидно, что ЭМ с первым номером, извлеченная раньше всех, содержит самое большое число максимумов, минимумов и нулей (в некоторых случаях нулей может не быть, если ЭМ оказывается полностью положительно или отрицательно определенной) по сравнению со всеми остальными компонентами. Она также содержит наибольшую долю шума из исходной смеси полезного сигнала с шумом. Отсюда можно сделать вывод, что она является самой ВЧ. В дальнейшем, при извлечении следующей по порядку ЭМ число экстремумов, по которым строятся верхняя и нижняя огибающие, уже значительно меньше. Это означает, что вторая компонента разложения является менее ВЧ, чем первая. Примечательным является тот факт, что общая динамика сохраняется и по мере увеличения номера ЭМ, вплоть до получения результирующего остатка, и она также сохраняется для всех сигналов, к которым применим алгоритм ДЭМ. Таким образом, подводя черту под проведенными рассуждениями, первая ЭМ – самая ВЧ, вторая – менее ВЧ, чем первая, а -я – менее ВЧ (более НЧ), чем  -я. Результирующий остаток и вовсе может оказаться константой, имеющей, по определению, нулевую частоту, или же этот остаток может представлять собой медленно меняющийся тренд. Если рассматривать средний период ЭМ, трактуя его как величину, обратную средней частоте, то динамика будет прямо противоположной, т. е. первая ЭМ будет иметь самый маленький период, а последняя, наоборот, самый большой вплоть до бесконечности (для случая константы). Данное понятие периода не следует путать со строгим определением периода, которое применимо, например, к гармонической функции или меандру. ЭМ не обязана быть строго периодической, даже если сам сигнал обладает этим свойством.Таким образом, определив динамику свойств ЭМ, попытаемся перенести ее в частотную область. Для этого, прежде всего, необходимо вычислить ДПФ для каждой ЭМ. Интересно отметить, что ДПФ может не иметь смысла для самого исходного сигнала (если он нестационарный), однако ДПФ тем не менее может применяться к ЭМ для получения качественной картины ее частотной структуры. Частотный спектр первой ЭМ, очевидно, самый широкополосный, поскольку наблюдается большой удельный вес спектральных компонент с высокими частотами (главным образом, вследствие наличия ВЧ-шума), необходимыми для передачи БМС (напомним, что первая ЭМ – самая ВЧ, т. е. самая быстро меняющаяся). В дальнейшем с увеличением номера ЭМ эффективная ширина ее Фурье-спектра уменьшается, что связано с сокращением общего числа осцилляций в ее временной реализации. Наконец, последняя ЭМ имеет самый узкий спектр, объясняющий ее выраженную монотонную природу. Вытекающие отсюда автокорреляционные свойства также вполне объяснимы. Первая ЭМ имеет самый узкий главный лепесток АКФ и малые по величине боковые лепестки (это обстоятельство является следствием теоремы Винера–Хинчина, устанавливающей связь между АКФ и СПМ через преобразование Фурье), т. е. АКФ первой ЭМ очень быстро спадает до нуля. Последняя же ЭМ имеет АКФ, характеризующуюся самым широким главным лепестком и самым большим интервалом корреляции (эффективной длительностью АКФ). Особенности спектрального представления позволяют сделать следующие важные выводы. Спектр первой ЭМ является полосовым, т. е. пропускание исходного сигнала через фильтр с АЧХ, совпадающей с модулем ДПФ первой ЭМ, и ФЧХ, совпадающей с фазовой функцией ДПФ первой ЭМ, позволяет извлечь эту самую ЭМ из исходного сигнала. Спектр второй ЭМ тоже, как правило, носит полосовой характер, однако он смещен по частоте по сравнению с первым случаем в сторону низких частот. И опять-таки фильтр, построенный на основе рассчитанного ДПФ-спектра, позволяет выделить соответствующую ЭМ из сигнала. С увеличением номера компоненты характер АЧХ соответствующих фильтров становится все более НЧ в связи с уменьшением эффективной ширины спектра соответствующих ЭМ. Если расположить АЧХ всех фильтров на одной частотной оси, то становится видно, что процесс декомпозиции представляет собой, по сути, синтез совокупности перекрывающихся по частоте полосовых фильтров с эффективной полосой, уменьшающейся по мере увеличения номера соответствующей ЭМ. Данная методика позволяет создавать банки фильтров на основе конкретных сигналов и использовать их как для быстрого выделения конкретных ЭМ, так и для применения к анализу похожих по свойствам сигналов, позволяя сэкономить значительное количество времени и ресурсов памяти компьютера [46]. На рис. 2.42 проиллюстрировано представление декомпозиции в виде банка фильтров, отражающее все вышеперечисленные особенности. Для восьми компонент был вычислен Фурье-спектр с использованием ДПФ, значения которого совпадают со значениями спектра в дискретных точках [48]. Ширина спектра может оцениваться по различным критериям. Среди наиболее часто используемых на практике – критерии по заданному уровню (0.707 или 0.1 от максимума) и по заданной мощности в полосе частот.  Рис. 2.42 – Представление декомпозиции в виде банка фильтров: слева – временны́е реализации ЭМ; справа – их Фурье-спектры Табл. 2.1 – Частотные свойства ЭМ, образующих банк фильтров
Как видно из табл. 2.1, ранее упомянутая общая тенденция, связанная с уменьшением числа экстремумов и нулей при увеличении номера компоненты, подтверждается. Аналогичная тенденция имеет место применительно к средней частоте и среднему периоду. Несмотря на то, что определение среднего периода и средней частоты при наличии шума является не совсем корректным (так как и они изменяются при добавлении шума), общая тенденция, которая прослеживается в табл. 2.1, сохраняется. Свойство полноты Рассмотрев частотное представление ЭМ, можно снова вернуться к обсуждению свойства полноты. Было сказано, что полнота проверяется посредством суммирования ЭМ, которое может проводиться в разных направлениях. Смысл этих направлений как раз кроется в частотных свойствах ЭМ. Суммирование, начиная с первой ЭМ, есть суммирование со стороны высоких частот в сторону низких, поскольку на каждом этапе к полученной текущей сумме добавляются все более низкочастотные компоненты. Суммирование же со стороны ЭМ с последним номером – суммирование со стороны низких частот в сторону высоких, так как в этом случае движение осуществляется в сторону все более ВЧ-составляющих. Свойство ортогональности Свойство ортогональности ЭМ на текущий момент времени не является доказанным теоретически в силу полуэмпирической процедуры получения самих компонент и неодинаковости результатов разложения при использовании различных настроечных параметров алгоритма (метод интерполяции огибающих, использование экстремумов или нулей и др.). Многие широко используемые базисы являются теоретически ортогональными, что облегчает вычисление соответствующих коэффициентов в разложении. Ортогональность компонент ДЭМ может быть проверена численно следующим образом: сначала записывается выражение, определяющее свойство полноты разложения на основе ДЭМ [49]: (2.30)Для проверки ортогональности ЭМ на основе ДЭМ интуитивно понятным способом должен быть определен некоторый показатель ортогональности. Для этого сначала записывается выражение для квадрата сигнала, непосредственно получающееся из предыдущего соотношения:  (2.31)Если разложение является строго ортогональным, то все попарные скалярные произведения различных функций обращаются в ноль. С помощью этого выражения общий показатель ортогональности, или, как он часто называется, интегральный показатель ортогональности  определяется так (результирующий остаток обычно не учитывается при вычислении коэффициента ортогональности, так как он не является ЭМ): (2.32)Очевидно, что чем ближе показатель к нулю, тем точнее выполняется свойство ортогональности. Для практики ортогональность очень важна. Равенство индекса ортогональности нулю свидетельствует, во-первых, об отсутствии рассеяния энергии в процессе процедуры декомпозиции, а во-вторых, об отсутствии взаимной энергии, переносимой двумя функциями. Известно, что скалярное произведение функции с самой собой с физической точки зрения представляет собой энергию, переносимую всеми отсчетами. Аналогично, скалярное произведение двух различных функций – взаимная энергия, переносимая ими обеими. Поэтому, если оно оказывается равным нулю, то это свидетельствует об отсутствии интерференции между ними. Это обстоятельство является особенно важным, если требуется аппроксимировать сигнал либо одной конкретной ЭМ, либо суммой нескольких ЭМ, ведь для этого все ЭМ должны быть независимыми функциями. Уже упомянутые возможные потери, связанные с рассеянием энергии, могут быть оценены по следующему соотношению:  . (2.33)В данном случае при нормировании суммы энергий всех ЭМ к энергии исходного сигнала результирующий остаток не учитывается в выражении, стоящем в знаменателе. Это обстоятельство обусловлено тем, что большая часть потерь как раз содержится в результирующем остатке. Необходимо минимизировать данный показатель, поскольку в противном случае применение алгоритма может оказаться неэффективным. При необходимости более точного выполнения свойства ортогональности компонент может быть применена известная процедура ортогонализации Грамма–Шмидта. Свойства адаптивности и локальности Адаптивность означает, что сама технология адаптирована, т. е. приспособлена к тем данным, с которыми ведется работа, и каждая новая ЭМ конструируется из данных, полученных на предыдущем этапе [50]. Такой подход позволяет учесть локальные особенности сигнала (в этом проявляется свойство локальности разложения) и его индивидуальную и специфическую внутреннюю структуру. Такого преимущества лишен как тригонометрический базис, так и вейвлет-базис, который, несмотря на имеющуюся возможность хорошей частотно-временной локализации, не всегда дает достоверные результаты при обработке конкретного сигнала. |
Похожие:
 | Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы | | Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы |
| Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы | | Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы |
| Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы |  | Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы |
| Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы | | Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы |
| Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы | | Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы |
| Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы | | Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
| Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
| Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой... «Разработка новых методов индивидуальной коррекции сводно-радикального статуса при бактериальных инфекциях» |
