2. Модель определения лимитов на основе теории ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна
Многие модели оценки рисков заимствованы из области теории вероятности и теории игр. В данной главе речь пойдет об одном из таких подходов – теории ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна. Данный подход относится к аксиоматическим, т.е. формулируются и предполагаются верными аксиомы, описывающие поведение экономических агентов, из которых затем выводится единственно верная мера риска.
§2.1. Функция полезности. Функция ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна
По определению, функция полезности — это такой способ приписывания каждому возможному потребительскому набору некоего численного значения, при котором более предпочитаемым наборам приписываются большие численные значения, чем менее предпочитаемым.1
Функция полезности должна быть монотонно возрастающей, т.е. проще говоря, чем больше у нас благ, тем больше их полезность; непрерывной и выпуклой, т.е. если функция полезности является дифференцируемой, то её предельная полезность должна убывать.
Инвестор, чьи предпочтения описываются вогнутой функцией полезности, не расположен к риску, т.к. её наклон (или его предельная полезность) по мере увеличения богатства уменьшается. И наоборот, выпуклая функция полезности, чей наклон увеличивается с возрастанием богатства, свидетельствует о расположенности инвестора к риску.2
Приведем примеры некоторых, наиболее часто применяемых на практике в управлении рисками функций полезности. Данные классы функций являются параметрическими и имеют определенные свойства, присущие той или иной группе инвесторов согласно их отношению к риску.
Самый простой вид функции полезности – это линейная функция полезности U(x)=X, соответствующая риск-нейтральному инвестору.
Квадратичная функция полезности, имеющая вид U(x)=ax2+bx+c, описывает поведение инвестора, ориентирующегося при принятии решения на квадратическое отклонение (например, придерживается теории Марковица). Преимущество данного класса заключается в простоте применения, даже несмотря на то, что областью определения квадратичной функции в силу требований к функции полезности является не вся числовая ось.
Экспоненциальная функция полезности U(x)=-e-λx описывает предпочтения инвесторов, для которых сумма допустимых потерь пропорциональна величине их начального капитала.
Логарифмическая и показательная функции полезности определяется через их производные: U’(x)=x-β. Область определения параметра β задает вид функции полезности. В отличие от предыдущего класса функций полезности для инвестора имеет значение не доля от капитала, а величина допустимых потерь в абсолютном выражении. Его склонность к риску гораздо ниже, чем для предыдущей группы инвесторов.
Для применения параметрической функции полезности необходимо выбрать её вид, и исходя из поставленной задачи, оценить параметры функции, т.е. построить функцию полезности для конкретного случая.
Другой вопрос заключается в том, как описать предпочтения экономического агента в явном виде. Долгое время системы предпочтений (функции полезности) рассматривались при помощи их графического представления – «кривых безразличия», введенных английским экономистом Ф. Эджвартом в 1881 г. И данный подход считался предпочтительнее любого численного их рассмотрения ввиду своей простоты и меньшего числа допущений.1 Однако описанная в следующем разделе концепция ожидаемой полезности кардинально изменила представление о рассмотрении предпочтений агентов.
Функция ожидаемой полезности была названа по имени двух ученых, внесших огромный вклад в развитие математической теории игр и адекватного формального аппарата для изучения экономического поведения: одного из главных математиков 20 века Джона фон Неймана и экономиста Принстонского университета Оскара Моргенштерна. Создатели современной теории риска, отталкиваясь в своем основополагающем труде от статьи Даниила Бернулли, строят аксиоматическую теорию поведения потребителя, встретившегося со случайностью. В 1947 году они представили четыре интуитивно понятные аксиомы, при соблюдении которых поведение агента признается рациональным, а его предпочтения могут быть представлены функцией полезности.
Теория фон Неймана–Моргенштерна исходит из того, что у потребителя имеется система предпочтений не только по отношению к вполне определенным наборам благ, но и по отношению к ситуациям, в которых он может получить тот или иной набор благ с определенными вероятностями. Эти ситуации получили название рисковых перспектив, или лотерей. Если присвоить функции полезности каждому исходу лотереи, то выбор лучшей лотереи будет равносилен выбору лотереи с наибольшей ожидаемой полезностью.
Основное положение этой теории состоит в том, что потребитель в состоянии сравнивать по полезности не только определенные наборы благ, но и «лотереи», исходом которых являются наборы благ, получаемые с определенными вероятностями. В этом случае полезность набора благ получает определенную количественную меру. Пусть, например, набор x доставляет некоторому потребителю такое же удовлетворение, как наборы y и z с равными вероятностями. Это означает, что на шкале полезности набор x должен располагаться ровно посередине между наборами y и z — утверждение, лишенное смысла в концепции порядковой полезности, но вполне осмысленное в рамках количественной теории. Количественная шкала полезности индивида допускает произвол только в выборе начала отсчета и единицы.1
Ожидаемая полезность любой лотереи может быть выражена как линейная комбинация полезностей исходов, взвешенных по вероятностям наступления данных событий.2 В общем виде формулу можно записать следующим образом:
U(L) = Еu = ,
где ui – интервальная мера полезности для исходов лотереи.
Центральная идея теоремы заключается в том, что индивид выбирает не максимальный ожидаемый выигрыш, а максимальную ожидаемую полезность. Ожидаемая полезность является разумным подходом к решению нами задачи выбора в условиях неопределенности, т.к. сам способ постановки задачи указывает на то, что фактически будет реализован лишь один из возможных исходов.
Среди сфер приложения теории риска на первом месте стоят финансовые рынки. Их модели (в частности, модели теории портфеля) исходят из предположения, что все участники рынков не склонны к риску, правда, в различной степени. Здесь хочется отметить отличие исходов лотерей, связанных с кредитным и рыночным риском. В отличие от рыночного риска, для которого вероятностное распределение прибылей и убытков обычно является довольно симметричным, для кредитного риска соответствующее распределение характеризуется ярко выраженной левосторонней асимметрией. Подобное явление может быть объяснено тем, что инвестиции, связанные с кредитным риском, можно сравнить с короткой позицией по опциону, по которой в лучшем случае контрагент осуществляет оговоренные платежи, а в худшем случае вся сумма долга не выплачивается.1
Безрисковый, или достоверный эквивалент (certainty equivalent) – это детерминированная случайная величина, математическое ожидание которой равно ожидаемой функции полезности, или денежная сумма, гарантированное получение которой будет равноценно для индивида участию в игре. Если у нас есть портфель, генерирующий доход, являющейся случайной величиной, мы можем рассчитать безрисковый эквивалент формализованной функции полезности и не учитывать природу случайного распределения дохода. Данный вывод является основным результатом концепции фон Неймана-Моргенштерна, активно используемым при управлении рисками.
Если возможно определить функцию полезности, то для того, чтобы оценить риск, необходимо перейти к безрисковому эквиваленту путём взятия обратной функции полезности от ожидаемой полезности и тогда далее можно работать с числовым выражением, посчитанным по следующей формуле:
x=U-1(EU(Y)),
где x – случайная величина дохода,
EU(Y) – ожидаемая полезность.
Важную роль в теории ожидаемой полезности играет понятие неприятия риска. Если некоторая игра является менее (или более) предпочтительной, чем достоверное получение суммы денег, равной ее ожидаемому денежному выигрышу, то такие предпочтения характеризуются неприятием риска (или, соответственно, стремлением к риску). Вогнутая функция полезности характеризует неприятие риска (лотерей), пропорциональное степени вогнутости функции, т.е. для таких предпочтений достоверные эквиваленты будут меньше ожидаемых денежных выигрышей в лотереях.2 Для выпуклой функции полезности (для инвестора-рискофила) выполняется обратное неравенство: безрисковый эквивалент больше, чем математическое ожидание денежного выигрыша. Если экономический агент не приемлет риск, то безрисковый вариант поведения будет для него предпочтительнее богатства, достигаемого с тем же математическим ожиданием, но включающим в себя риск.
Как уже упоминалось ранее, теория ожидаемой полезности нашла широкое применение на финансовом рынке. Ниже будут рассмотрены основные сферы её использования:
Описательная интерпретация, цель которой описать поведение инвесторов на рынке. Но в действительности данный подход лишен практического смысла, т.к. в реальности поведение экономических агентов зависит от большего числа параметров, чем это возможно объяснить с помощью теории ожидаемой полезности, а психологические мотивы в большей степени не поддаются математическому моделированию.
Предсказательная интерпретация, смысл которой предсказать развитие событий в будущем. Однако точность прогноза будет низкой, т.к. модель не может учесть воздействие всех факторов.
Объясняющая интерпретация, используемая экономистами-теоретиками в попытках объяснить прошлое поведение системы.
Нормативная интерпретация, наиболее полезная с практической точки зрения. Модель используется для формирования правил поведения, например, разработки лимитной политики.
Необходимо напомнить, что лимит является «функцией оценки финансового состояния, кредитоспособности контрагента, его чистых активов, вида и срока предполагаемой межбанковской операции, а также собственных возможностей кредитующего банка». Лимит является мерой ограничения кредитного риска, который берет на себя банк в случае проведения той или иной межбанковской операции.1
В разрабатываемой методике лимит будет зависеть от следующих параметров:
Отношение к риску, описывающееся функцией полезности (было подробно рассмотрено в предыдущих параграфах)
Кредитоспособность контрагента.
Величина банка-кредитора.
Величина банка-контрагента.
Срок кредитования
Безусловно, в реальной жизни на размер выдаваемого кредита будет воздействовать большее число факторов, но в целях упрощения модели были выбраны лишь наиболее значимые. Далее мы последовательно рассмотрим каждый фактор и способы его определения.
В качестве показателя, характеризующего масштаб деятельности банка вне зависимости от того, является ли он в данном случае заемщиком или кредитором, традиционно принимают величину капитала банка, т.е. объем его собственных средств. Такой подход связан с тем, что в случае непогашения кредита и начала процедуры банкротства заемщика долг кредитору будет выплачен из суммы активов, оставшихся после выплаты всех обязательств.
В свою очередь, капитал банка-кредитора – это средства его акционеров, чьи интересы сосредоточены вокруг сохранности их капитала, который может сократиться из-за невыплаты по кредиту.
Оценке кредитного риска заёмщика будет посвящен следующий раздел, а влияние срока кредитования на размер максимального предоставленного кредита будет рассмотрено в главе 3 данной работы.
|
