Кангина Н.Н.,
ассистент кафедры математики
Астраханский государственный университет
г. Астрахань, РФ
Лепёхин О.А.
доцент кафедры мировой экономики и финансов
Астраханский государственный университет
г. Астрахань, РФ
КОПУЛЯРНЫЕ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ И ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
Введение
Современная портфельная теория основывается на статье Г. Марковица “Portfolio Selection”, которая была опубликована в 1952г. в Journal of Finance. Тридцать восемь лет спустя он разделил нобелевскую премию с Мертоном Миллером и Вильямом Шарпом за создание новой для теории финансовых рынков концепции формирования портфеля. Она оказала влияние на формирование долгосрочных стратегий управления портфелей институциональными инвесторами и на развитие теории управления финансовыми рисками. Однако реализация положений портфельной теории на практике выявила несостоятельность её отдельных допущений.
Ключевое допущение портфельной теории – распределение доходностей активов по нормальному закону распределения. При переходе от рассмотрения доходностей отдельных активов к рассмотрению доходности портфеля в целом, исходное допущение обеспечивает подчинение функции распределения доходности портфеля многомерному нормальному распределению.
Однако прикладной статистический анализ исторических рядов доходностей различных классов активов показал, что часто они не описываются нормальным законом распределения. С другой стороны, для распределений, отличных от нормального, структура зависимости может быть полностью описана с помощью функции, получившей название «копула».
В рамках настоящей работы освещаются вопросы практического приложения копул для оценивания структуры инвестиционного портфеля на примере индексов России, Франции, США и Гонконга.
Первичная обработка данных
В данной работе использованы ежедневные значения биржевых индексов четырех стран: Франции, Гонконга, России (ММВБ), США (S&P 500). Эти четыре страны принадлежат к различным часовым поясам и различным типам экономики, поэтому их биржевые индексы в достаточной мере представляют многообразие мирового рынка ценных бумаг и могут быть использованы для эффективной диверсификации портфеля ценных бумаг. Нами выбран период относительной стабильности международного фондового рынка: с 01.01.2009 по 31.12.2011. Пропуски в данных заполнялись предыдущим наблюдением. Далее использовались так называемые логарифмические доходности, определяемые формулой  , где Pt – котировка индекса в момент времени t. Переход к логарифмическим доходностям позволяет исключить тренд из временных рядов индексов. Для рядов доходности строилась модель авторегрессии первого порядка AR(1), а также модель условной гетероскедастичности GARCH(1,1). Обе эти модели оценивались одновременно. Полученные ряды остатков нормировались:  , где et – остатки авторегрессионной модели, ht – условные дисперсии, рассчитанные на базе модели GARCH(1,1). Полученные преобразованием фондовых индексов ряды z, являются по своей природе «белым шумом», необъяснённой частью динамики относительного изменения фондовых индексов.
Оценка параметров копулярных моделей
Оценка параметров копулярных моделей производилась в два этапа:
На первом этапе оценивались частные распределения полученных рядов z. В последнее время было замечено, что нормальное распределение не вполне подходит для моделирования финансовых случайных величин, поскольку распределения этих величин имеют «более тяжелые хвосты», а также некоторое смещение. Поэтому в данной работе использовалось асимметричное распределение Стьюдента, плотность которого задается формулой, представленной в работе Анэ [1, p. 898].
На втором этапе оценивались параметры копулы. В статье [2, p. 323] было показано, что наиболее подходящей копулой для моделирования зависимостей между биржевыми индексами является копула Франка.
Оценки параметров копулярных моделей были получены с использованием алгоритма Метрополиса-Гастингса, реализованного в среде R.
Построенные модели зависимостей использовались для количественной оценки рисков различных комбинаций индексов. Формируя портфель ценных бумаг, особенно важно избежать возможности одновременного резкого падения курсов всех ценных бумаг портфеля. В качестве критерия наступления кризисного события было принято получение отрицательной дневной доходности фондового индекса, превышающей 7%. Чтобы определить набор индексов с минимальным риском, вычислялись вероятности одновременного падения доходностей ниже этой отметки. Такие вероятности были вычислены на основе функции совместного распределения, которая задаётся копулой Фрэнка с частными асимметричными распределениями Стьюдента. Сначала была найдена пара индексов с минимальной вероятностью одновременного падения доходностей (пара Франция – Гонконг). Далее выясняли, какой индекс можно добавить к этой паре, минимизируя риск, а также какова вероятность одновременного падения всех четырех индексов. Копулярная модель подтвердила преимущества диверсификации: добавление очередного индекса снижает вероятность одновременного падения всех составляющих портфеля примерно в тысячу раз. В дальнейшем работа проводилась с портфелем, включающим все четыре индекса.
Построение оптимального портфеля на основе копул
Следующим этапом стало создание выборки из совместного распределения рядов z, заданного копулой Франка и одномерными асимметричными распределениями Стьюдента. Для такого моделирования использовался алгоритм Метрополиса-Гастингса. Далее восстанавливались ряды ежедневных доходностей путем обратного пересчёта с использованием модели AR(1)-ARCH(1,1). Это позволило получить новые смоделированные ряды доходностей.
Для моделирования множества доступных портфелей была создана выборка, содержащая 100000 наборов весов. Для этого на каждом шаге извлекались 4 случайных числа из равномерного распределения и делились на их сумму. После этого были построены 100000 выборок ежедневных доходностей портфеля с соответствующим набором весов. По этим выборкам были построены следующие ряды: AV – ожидаемых доходностей портфеля; SD – стандартных отклонений доходности; PC – вероятности критического падения ежедневной доходности.
 
Рис. Диаграммы рассеяния для рядов AV и SD, AV и PC.
На рисунке представлена диаграмма рассеяния для рядов AV и SD. На ней хорошо виден фронт эффективных портфелей. Максимальная доходность портфеля составила 0.001149876. Она достигается для набора весов (0.01455803, 0.00797892, 0.09082971, 0.88663334). Минимальный риск составил 0.01160336. Он достигается для набора весов (0.10381946, 0.55874779, 0.03799405, 0.29943869).
В качестве критического значения ожидаемой ежедневной доходности рассматривалось значение -0.0011059, что соответствует падению доходности на 25% за год. Диаграмма рассеяния для рядов AV и PC демонстрирует, что чем выше ожидаемая доходность, тем меньше вероятность разорения. Минимальная вероятность разорения 0.402875. Она достигается для набора весов (0.057156405, 0.001155714, 0.001889318, 0.939798563). Такой набор тоже почти очевиден. Портфель почти целиком состоит из американского индекса, имеющего максимальную доходность среди 4 данных индексов.
Заключение
В целом стоит отметить, что использование копул является сравнительно новым направлением развития теории инвестиционного портфеля. В рамках данной работы рассмотрены отдельные практические аспекты применения копул для формирования структуры инвестиционного портфеля.
Литература
T. Ane, L. Ureche-Rangau and C. Labidi-Makni. Time-varying conditional dependence in Chinese stock markets // Applied Financial Econimics. – 2008. - №18. – pp. 895-916.
Vadim A. Gordeev, Alexander G. Knyazev and Arkady E. Shemyakin. Selection of copula model for inter-market dependence// Model Assisted Statistics and Applications. – 2012. – Vol. 7. – pp. 315-325.
|
