Решение Уравнение касательной

Скачать 71.1 Kb.

Название	Решение Уравнение касательной
Дата публикации	09.07.2014
Размер	71.1 Kb.
Тип	Решение

100-bal.ru > Философия > Решение

Урок 3

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график некоторой функции y = f(x), непрерывной на интервале (a, b). Пусть точки M₀(x₀, f(x₀)), N(x₀ + ∆x,f(x₀ + ∆x)) − произвольные точки, лежащие на кривой y = f(x) (a < x₀ < b). Прямая M₀N называется секущей. Отношение

равно угловому коэффициенту прямой, проходящей через точки M₀ и N. Пусть Δx → 0, тогда точка N стремится к точке M₀. Если существует производная f ′ (x₀), т.е. существует предел отношения

, то секущая M₀N стремится к прямой, проходящей через точку M₀ с угловым коэффициентом f ′ (x₀). Предельное положение секущей M₀N при стремлении N к M₀ называется касательной к графику функции y = f(x) в точке M₀.

Значение производной функции f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке:

f ′ (x₀) = k = tg .

Тогда

y – f(x₀) = f  (x₀) · (x – x₀) –

уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х₀.

Нормалью к кривой в точке х₀ называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной к кривой в точке х₀.

Тогда

x – x₀ + f  (x₀) · (y – f(x₀)) = 0 –

уравнение нормали к графику функции y = f(x) в точке х₀.

Пример 1.

Написать уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

в точке с абсциссой х₀ = 1.

Решение

Уравнение касательной

y = f(x₀) + f '(x₀)(x – x₀);

уравнение нормали

(x – x₀) + f '(x₀)(y – f(x₀)) = 0.

Найдем значение функции в точке х₀=1:

Найдем производную:

Тогда значение производной в точке х₀ = 1:

Запишем уравнение касательной:

Запишем уравнение нормали:

Итак,

– уравнение касательной;

– уравнение нормали

к графику функции

в точке с абсциссой х₀ = 1.

Пример 2.

Написать уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

в точке с абсциссой х₀ = −1.

Решение

Уравнение касательной

y = f(x₀) + f '(x₀)(x – x₀);

уравнение нормали

(x – x₀) + f '(x₀)(y – f(x₀)) = 0.

Найдем значение функции в точке х₀=−1:

Найдем производную заданной функции как производную частного:

Тогда значение производной в точке х₀ = −1:

.

Запишем уравнение касательной:

Запишем уравнение нормали:

Итак,

– уравнение касательной;

– уравнение нормали

к графику функции

в точке с абсциссой х₀ = −1.

Пример 3.

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

в точке с абсциссой х₀ = −2.

Решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке: x₀ равен значению производной функции f(x) в этой точке x₀:

f ′ (x₀) = k = tg .

Найдем производную заданной функции:

.

Найдем ее значение в точке х₀ = −2:

.

Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику функции

в точке с абсциссой х₀ = −2 равен 0.

Пример 4.

Написать уравнение касательной к графику функции

, параллельной прямой

.

Решение

По условию задачи искомая касательная параллельна прямой

. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту этой прямой. Угловой коэффициент прямой

равен 1. С другой стороны, угловой коэффициент касательной равен значению производной функции

в точке касания. Следовательно,

.

Найдем производную заданной функции:

.

Тогда

Решим квадратное уравнение:

D = 4 + 12=16;

Уравнение касательной

y = f(x₀) + f '(x₀)(x – x₀).

Напишем уравнения касательных в точках

У нас f '(x₀) = 1.

a) При

.

Тогда уравнение касательной в точке

a) При

Тогда уравнение касательной в точке

Итак, уравнения касательных к графику функции

, параллельных прямой

Пример 5.

Прямая y = x + 4 является касательной к графику функции

. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Найдем производную :

.

Значение производной функции f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке:

f ′ (x₀) = k = tg .

Угловой коэффициент прямой, которая является касательной к графику заданной функции, равен 1.

Тогда

;

Корни уравнения: x₀ = 0 и x₀ = −2.

Значение функции в точке x₀ = 0 равно 4, а значение этой функции в точке x₀ = −2 равно 6.

Заметим, что координаты точки (−2; 6) уравнению касательной y = x + 4 не удовлетворяют. А координаты точки (0;4) уравнению касательной удовлетворяют, так как 0+4=4.

Значит, искомая абсцисса точки касания равна 0.

Пример 6.

Напишите уравнения всех касательных к графику функции f(x) = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение

Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) =5 6. Пусть a – абсцисса точки касания. Тогда

.

Найдем производную функции f(x) = – x² – 4x + 2:

Тогда производная функции в точке x₀ = a:

Напишем уравнение касательной в точке x₀ = a: по формуле

y = f(x₀) + f '(x₀)(x – x₀).

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

Решим квадратное уравнение:

D = 36 − 32=4;

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид

y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид

y = 6.

Контрольные вопросы.

1). Какая связь между секущей и касательной к кривой?

2). Почему нельзя говорить, что касательная к кривой − это прямая, имеющая общую точку с кривой?

3). Что называется касательной к графику функции f в точке x₀?

4). Как найти угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x₀?

5). В чем состоит геометрический смысл производной?

6). Каков общий вид уравнения касательной к графику функции, проходящей через точку с абсциссой x₀?

7). Какие данные нужно иметь, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в данной его точке?

8). Сформулируйте алгоритм решения задачи на составление уравнения касательной к графику функции.

9) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции

в точке с абсциссой x₀ =−1.

Ответ: 8

10) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

в точке с абсциссой x₀ =2.

Ответ: 2.
11) Найдите координаты точки, в которой угловой коэффициент касательной к графику функции

равен 2.

Ответ: (3, −2).

12) Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции

наклонена к оси Ох под углом

.

Ответ: 2

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

	Решение задач по теме «Уравнение касательной к графику функции» Решение задач по теме «Применение производной к исследованию функций и построению графиков»		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Находить скорость и ускорение тела в заданный момент времени по уравнению движения тела, уравнение касательной к графику функции
	Урок 7 Уравнение прямой Цели: вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач; развивать логическое...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: ввести понятие касательной, точки касания, рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при...
	Урок по теме «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной» Цель урока: Научить проводить анализ условия задачи, выделять главный вопрос задачи, научить выстраивать шаги решения, конструировать...		Конспект урока Тема урока: «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной» Цель урока: Научить проводить анализ условия задачи, выделять главный вопрос задачи, научить выстраивать шаги решения, конструировать...
	Урок 49 касательная к окружности цели Цели: ввести определение касательной к окружности; рассмотреть свойство касательной и свойство отрезков касательных, проведенных...		Урока: «Уравнение» (урок математики в 5 классе) «уравнение», «корень уравнения», «решить уравнение», повторить название компонентов при сложении и вычитании, подвести учащихся к...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: ввести понятия к касательной к окружности, свойство и признака касательной, ввести понятия касания двух окружностей,...		Тема: Уравнение окружности Вывести уравнение окружности, научить строить окружность по уравнению, научить записывать уравнение окружности
	Учебник «Геометрия 10-11» Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности (п. 90-91, №959, 960, 961, 966)		Урока: провести контроль усвоения знаний по теме «Решение уравнений» Если в уравнении 6х+5=7 слагаемое 5 перенести в правую часть, то получим уравнение
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Понимать, что такое «уравнение», «решить уравнение». Знать способ решения уравнений		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ...		Урок алгебры в 9 классе по теме «Решение систем уравнений второй степени» Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство

Школьные материалы