Презентация и защита готового проекта
Скачать 0.57 Mb.
|
Классификация линий второго порядка Мы будем рассматривать линии второго порядка на плоскости. Такую линию можно задать уравнением второго порядка общего вида: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, (1) в котором коэффициенты A, B и C не равны нулю одновременно. Мы хотим исследовать, что представляет собой произвольная линия второго порядка. Для этого мы зададимся некоторым уравнением (1), причем не будем относительно него предполагать ничего, кроме того, что А, В и С не равны одновременно нулю. Найдем множество точек, которые удовлетворяют уравнению (1), не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять декартову систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала будем считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе прямоугольной системе общий вид уравнения (1) не изменится. При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол φ старые координаты x, y будут связаны с новыми координатами x’, y’ формулами перехода: x=x’cosφ–y’sinφ, y=x’sinφ+y’cosφ. В новых координатах уравнение (1) примет вид: A(x’cosφ–y’sinφ)2 + 2B(x’cosφ–y’sinφ)(x’sinφ+y’cosφ) + C(x’sinφ+y’cosφ)2 + + 2D(x’cosφ–y’sinφ) + 2E(x’sinφ + y’cosφ) + F=0 Нас будет интересовать член с произведением x’y’ в преобразованном уравнении. Можно легко подсчитать, что коэффициент: B’ = –A sinφ cosφ + B (cos2φ–sin2φ) +C sinφ cosφ. Если В = 0, то поворачивать систему координат не будем. Если же В ≠ 0, то выберем угол φ так, чтобы B’ обратилось в нуль. Это требование приведет к уравнению 2B cos2φ = (A–C) sin2φ для φ. Если А = С, то cos2φ = 0 и можно положить φ = π/4. Если же А ≠ С, то выбираем φ = ½ arctg [2B/(A–C)]. Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол всегда существует. После поворота системы координат на этот угол рассматриваемое уравнение заменится на уравнение: A’x’2 + C’y’2 + 2D’x’+2E’y’+F’=0 (2) Выражения для коэффициентов уравнения (2) через коэффициенты уравнения (1) и угол φ получить нетрудно, но они нам не нужны. Важно только, что за счет поворота системы координат произвольное уравнение второго порядка можно привести к виду (2). Теперь B’ = 0, а остальные коэффициенты мы по-прежнему считаем произвольными. Сформулируем следующее вспомогательное Предложение 1. Если в уравнение (2) входит (с ненулевым коэффициентом) квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты. В самом деле, пусть, например, A’ ≠ 0. Перепишем (2) в виде A’ (x’2 + 2D’x’/A’ + (D’/A’)2 ) + C’y’2 + 2E’y’ + F’ – D’2/A’ =0. Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами x’’ = x’ + D’/A’, y’’ = y’, то уравнение (2) приведется к виду A’x’’2 + C’ y’’2 +2E’y’’ + F’’ = 0. Предложение доказано.
A'x"2 + C' y"2 + F" = 0. (2') Могут быть сделаны следующие предположения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении. 1) Коэффициенты A’ и C’ имеют один и тот же знак. Тогда для знака F’’ имеются три возможности:
где а2 = -F"/A', b2 = -F"/С'. Мы можем считать, что в этом уравнении a≥b. В самом деле, если a<b, то можно сделать дополнительную замену координат: х*= y", y* = x". (4) Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (3) при условии a≥b, называется каноническим уравнением эллипса. При a=b уравнение (3) есть уравнение окружности радиуса a. Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.
Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, которое приводится к каноническому виду (5), называется уравнением мнимого эллипса.
а2x"2 + с2y"2 = 0. (6) Ему удовлетворяет только одна точка х"=0, у"=0. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (6), называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых. Основанием для такого названия служит сходство с приведенным ниже уравнением (8). 2) Предположим, что в уравнении (2') коэффициенты А' и С' имеют разные знаки. Относительно свободного члена возможны два предположения.
где а2 = -F"/A', b2 = F"/С'. Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (7), называется гиперболой, а уравнение (7) – каноническим уравнением гиперболы.
а2x"2 – с2y"2 = 0. (8) его левая часть раскладывается на множители: (ax" – cy")(ax" + cy") и, следовательно, обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из множителей. Поэтому линия с уравнением (8) состоит из двух прямых, которые пересекаются в начале координат. Таким образом, мы имеем пару пересекающихся прямых.
С'у"2 + 2D'х' + F" = 0.
С'у"2 + 2D' (х' - F"/2D') = 0. Теперь очевидно, что, перенеся начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода х* = х' + F"/2D', у* = у', мы приведем уравнение к виду: С' у*2 + D'х* = 0, или у*2 = 2рх*, (9) где р = –D'/C'. Мы можем считать, что p>0, т.к. в противном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс. Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (9) при условии p>0, называется параболой, а уравнение (9) – каноническим уравнением параболы.
С'у"2 + F" = 0. Если знаки С' и F" противоположны, то, разделив на С', мы можем записать: у"2 – а2 ≡ (у' – а)(у' + а) = 0. Обращение в нуль каждого из множителей определяет прямую и вся линия представляет собой пару параллельных прямых. Если знаки С' и F" совпадают, то, разделив на С', мы приводим уравнение к каноническому виду у"2 + а2 = 0. (10) этому уравнению не удовлетворяет ни одна точка. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (10), называется уравнением пары мнимых параллельных прямых. Может случиться, что F"=0. Тогда уравнение линии равносильно у"2 =0. линия второго порядка представляет собой прямую. Левая часть уравнения (1), приводящегося к каноническому виду у"2 =0, представляет собой квадрат линейного многочлена, и поэтому уравнение эквивалентно линейному. Такое уравнение носит название уравнения пары совпавших прямых. Соберем вместе полученные результаты. Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0. Т  1. огда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов: 3  2. . а2х2 + с2у2 = 0, 5  4. . а2х2 – с2у2 = 0, 6. у2 = 2рх, 7. у2 – а2 = 0, 8. у2 + а2 = 0, 9. у2 = 0. В соответствии с этим существует семь классов линий второго порядка: 1) эллипсы, 3) точки (пары мнимых пересекающихся прямых), 4) гиперболы, 5) пары пересекающихся прямых, 6) параболы, 7) пары параллельных прямых, 9) прямые (пары совпавших прямых). Уравнению 2) мнимого эллипса и уравнению 8) пары мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка. Эллипс Э  y2 ллипсом мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением: a2  + b2 (1) x2 а2 + b2 = 1 при условии a≥b. Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической. Из уравнения (1) сразу следует, что для всех точек эллипса | x | ≤ а и | y | ≤ b, т.е. эллипс лежит внутри прямоугольника со сторонами 2a и 2b. Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты (a,0), (-a,0), (0,b) и (0,-b), называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Поскольку в каноническое уравнение (1) входят только квадраты координат, это уравнение обладает следующим свойством: если координаты (х, у) какой-либо точки М ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты (-х, у), (х, -у) и (х, -у) точек М1, М2 и М3.  Отсюда вытекает такое предложение. Предложение 1. Для эллипса оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы – центром симметрии. Центр симметрии называют просто центром эллипса. Внешний вид эллипса (1) проще всего описать, сравнив его с окружностью радиуса а с центром в центре эллипса. Уравнение этой окружности напишем в виде При каждом х таком, что | x | < а, найдутся две точки окружности с ординатами ±а√1 – x2/а2 и две точки эллипса с ординатами ±b√1 – x2/а2. Пусть точке окружности соответствует точка эллипса с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/а. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ордината каждой точки уменьшается в одном и том же отношении b/a.  С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению c2 = a2 – b2 (2) и с≥0. Фокусами называются точки F1 и F2 с координатами соответственно (с,0) и (-с,0) в канонической системе координат. Для окружности с=0 и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью. Отношение ε = с/а называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что всегда ε<1. Предложение 2. Расстояние от произвольной точки М (х,у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х:  Доказательство. Очевидно, что   Подставим сюда выражение y2, найденное из уравнения эллипса. Мы получим  П r1 = √ а2 – 2xc + с2x2/a2  реобразуем подкоренное выражение, учитывая равенство (2): Мы видим, что под корнем стоит квадрат линейного двучлена, т.е. r1 = | a – εx |. Так как ε < 1 и х £ а, имеем a – εx > 0. Мы доказали первое из равенств (4). Второе доказывается аналогично. Предложение 3. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. Необходимость условия очевидна: если мы сложим равенства (4) почленно, то увидим, что: r1 + r2 = 2a. (5) Докажем достаточность. Пусть для точки М (х, у) выполняется условие (5). Тогда:  √ (x – c)2 + y2 = 2а – √ (x + c)2 + y2 . Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены: х с + а2 = а Ö (х + с)2 + у2. (6)Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя равенство (2). Мы придем к равенству, равносильному уравнению эллипса (1). С эллипсом также связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат: х = а/ε и х = – а/ε (7)  Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу. Предложение 4. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса ε. Докажем это предположение для фокуса F2 (-с, 0). Обозначим расстояние от произвольной точки М (х, у) до директрисы с уравнением х = – а/ε через d2. Тогда, (согласно формуле нахождения расстояния от произвольной точки до прямой): d2 = х + а/ε = 1/ε (εx – a), что только множителем 1/ε отличается от выражения (4) для r2. Обратно, пусть для какой-нибудь точки плоскости r2/d2 = ε, т.е.   Учитывая, что ε = с/а, это равенство легко привести к виду (6), из которого, как мы знаем, вытекает уравнение эллипса. Для другого фокуса предложение вытекает из симметрии эллипса относительно оси ординат канонической системы координат. Получим теперь уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Известно, что угловой коэффициент прямой, которая касается графика функции в какой-либо точке (х0, у0), равен производной этой функции в точке х0. Пусть у0≠0. Через точку (х0, у0) на эллипсе проходит график функции f(х), целиком лежащей на эллипсе. (Для у0>0 – это график функции f1(x) = b √ 1 – x2/a2, а для у0<0 – это график функции f1(x) = –b √ 1 – x2/a2. Не уточняя знак у0, обозначим через f(x) подходящую функцию.) Для функции f(x) выполнено тождество =   (f(x))2 b2 + 1 Дифференцируя его по х, находим  Подставляя х = х0, f (x0) = y0 и решая относительно f' (x0), получаем, в силу у0≠0:  Теперь мы можем написать уравнение касательной в точке (х0, у0):  Для упрощения это уравнение можно преобразовать к виду:  (8) При выводе уравнения мы исключили вершины эллипса (а, 0) и (-а, 0), положив у0≠0. Для этих точек уравнение (8) превращается соответственно в уравнения х = а и х = -а, которые определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в вершинах х как функция от у достигает экстремума. |
нак F" совпадает со знаком A' и C'. Тогда, аналогично предыдущему, мы можем привести уравнение к виду 
"=0. в случае необходимости делая замену (4), мы можем считать, что знак F" противоположен знаку А", тогда уравнение приводится к виду: Похожие:
 | Краткий обзор популярных монтажных программ К недостаткам можно отнести то, что она принимает в монтаж далеко не все форматы видео, а при выводе готового продукта использует... | | Загрузка (открытие) готового документа Word. Методы представления (просмотра) Знакомится с ними лучше всего на просмотре готового документа. Мы уже говорили о том, что документ Word при сохранении получает расширение.... |
| Краткое содержание проекта Проект «Ярмарка туристических идей» Организация деятельности обучающихся в ходе проекта предполагает создание ими итогового проекта (презентация, буклет), в котором... | | Курс 1 семестр. Речевые коммуникации Представить профессиональную... Содержание дискурса/ профессиональной речи тему выбрать самостоятельно, например: презентация туристического маршрута, презентация... |
| Методические указания по выполнению дипломного проекта специальность... Написание и защита дипломного проекта является заключительным этапом подготовки студента по специальности «Менеджмент организации».... | | Презентация не должна быть меньше 10 слайдов Первый лист – это титульный лист, на котором обязательно должны быть представлены: название проекта; название выпускающей организации;... |
 | Защита творческого проекта. Цветы вязаные крючком Воспитывать интереса к учению, познавательной потребности, самостоятельности, трудолюбию, взаимопомощи | | Презентация проекта Цели работы творческой группы «Организация проектной деятельности учащихся» на 2013 – 2014 уч г |
| Рабочая программа «Защита в чрезвычайных ситуациях» Профиль: «Инженерная... «Защита в чрезвычайных ситуациях» «Пожарная безопасность» «Инженерная защита окружающей среды». Направление 280700 «Техносферная... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Формы работы учащихся: работа в группе: исследование, составление презентации, защита проекта |
| Презентация лингвострановедческого проекта. Задачи урока Тема: "Die Umweltprobleme im Vergleich in Deutschland und in Russland. Проблемы окружающей среды" | | Программа фио учащегося, преподавателя Хронометраж «Анданте» Презентация исследовательского проекта Можно ли передать настроение, возникающее от прослушивания музыки |
| Темы вашего учебного проекта Русский язык и литература : описательное значение, презентация в виде стихотворений, творческих работ, презентации | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Тема: Защита проекта. Создадим книгу сами. «Малые жанры устного народного творчества» |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Русский язык» Л. Я желтовская (часть1) для уч-ся 2класса; презентация рабочая, презентация-тренажер, презентация-физминутка; проектор,... | | Презентация «Моя родословная», презентация «Моё генеалогическое древо» Какие ещё слова вы видите на доске? («род», «родословная», «генеалогия», «предок», «потомок») (Презентация, слайд №2) |
