Презентация и защита готового проекта
Скачать 0.57 Mb.
|
Оптические свойства эллипса Теорема. Касательная к эллипсу в произвольной его точке М0 является биссектрисой внешнего угла М0 треугольника F1M0F2, имеющего своими вершинами фокусы F1 и F2 эллипса и данную точку M0. Доказательство. Рассмотрим уравнение касательной к эллипсу  В  данной на нем точке М0 (х0, у0):Отношение расстояний h1 и h2 от фокусов F1 (-c, 0) и F2 (c, 0) эллипса до касательной в точке M0 (x0, y0) равно отношению модулей результатов подстановки координат фокусов F1 и F2 в левую часть уравнения касательной: h1 : h2 = |– cx0/a2 – 1| : |cx0/a2 – 1| = |1 + ex0/a| : |1 – ex0/a| = = |a + ex0| : |a – ex0| = r1 : r2. Отметим, что результаты подстановок – cx0/a2 – 1 и cx0/a2 – 1 координат фокусов F1 (-c, 0) и F2 (c, 0) в левую часть уравнения касательной – числа одного знака: - cx0/a2 – 1 = - ex0/a – 1 = - (ex0 + a)/a = - r1/a < 0, cx0/a2 – 1 = ex0/a – 1 = - (a – ex0)/a = - r2/a < 0, поэтому оба фокуса F1 и F2 расположены по одну сторону от касательной к эллипсу в произвольной его точке. О   бозначим через Р1 и Р2 основания перпендикуляров, опущенных из фокусов эллипса на касательную к нему, проведенную в точке М0. Тогда ∆ F1P1M0 ~ ∆F2P2M0, так как оба они прямоугольные, и по доказанномупоэтому <F1M0P1 = <F2M0P2, следовательно, <F1M0P1 = <P1М0Q, где Q лежит на продолжении отрезка F2M0 за точку M0. Из этой теоремы непосредственно вытекает способ построения касательной к эллипсу в произвольной его точке. Д  оказанной теореме можно дать следующее физическую интерпретацию: если поместить в один из фокусов эллипса источник света, то лучи после отражения от эллипса соберутся в другом фокусе, так как световой луч отражается от эллипса, как от касательной, проведенной к эллипсу, в точке падения луча. Слово фокус по латыни означает «очаг».Гипербола (9) Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением: С  истема координат, о которой говорится в определении, называется канонической. Из уравнения (9) сразу вытекает, что для всех точек гиперболы |х| ≥ а, т.е. все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы шириной 2а (см рисунок 6.) О  сь абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках (а,0) и (-а,0), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Числа a и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы. В точности также, как и для эллипса, верно следующее Предложение 6. Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы – центром симметрии. Центр симметрии называется центром гиперболы. Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде y = kx, поскольку мы уже знаем, что прямая х=0 не пересекает гиперболу. Абсциссы точек пересечения находятся из уравнения  или, если b2 – a2k2 > 0,  Это позволяет указать координаты двух точек пересечения: (ab/v, abk/v) и (-ab/v, -abk/v), где обозначено v=(b2 – a2k2)1/2. В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении k. Ч  ислитель дроби ab/v постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при k=0. Следовательно, наименьшую абсциссу имеет точка с координатами (а,0). С ростом k знаменатель убывает и абсцисса х растет, стремясь к бесконечности, когда k приближается к числу b/a. Прямая y=bx/a с угловым коэффициентом b/a не пересекает гиперболу (является наклонной асимптотой), и прямые с большими коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным коэффициентом пересекает гиперболу.Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то k будет убывать, пока прямая не займет положения с угловым коэффициентом –b/a. К прямой y=-bx/a относится все, что сказано о y=bx/a: она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от непересекающих. Определение. Прямые с уравнениями y=bx/a и y=-bx/a в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Из приведенных выше рассуждений следует, что гипербола имеет вид, изображенный на рисунке 7. Гипербола состоит из двух отдельных кусков, называемых ее ветвями. Запишем уравнения асимптот в виде bx–ay=0 и bx+ay=0. Расстояния от точки М (х,у) до асимптот равны соответственно (формула нахождения расстояния от точки до прямой):  Если точка М находится на гиперболе, b2x2 – a2y2=a2b2 и  Предложение 8. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю. Д  ействительно, хотя бы одно из расстояний h1 или h2 при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было бы неверно, произведение не было бы постоянным.С гиперболой связаны две замечательные точки, называемые ее фокусами. Введем число c, положив по определению c2 = a2 + b2 (10) и с > 0. Фокусами гиперболы называются точки F1 и F2 с координатами соответственно (с,0) и (-с,0) в канонической системе координат. Отношение ε=с/а, как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы всегда ε>1.  Предложение 9. Расстояния от произвольной точки М (х, у), лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов следующим образом зависит от ее абсциссы х: r1 = |F1M| = |a – εx|, r2 = |F2M| = |a – εx|. (11) Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательством предложения (2). Равенства (11) можно записать подробнее: для x≥a (правой ветви гиперболы) r1 = εx – a, r2 = εx + a; для x≥-a (левой ветви гиперболы) r1 = a – εx, r2 = -εx – a. Мы видим, что для правой ветви гиперболы r2 – r1 = 2a, а для левой r1 – r2 = 2a. В обоих случаях | r1 – r2 | = 2а. (12) Это доказывает необходимость условия в следующем предложении. Предложение 10. Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы. Для доказательства достаточности условия его нужно представить в виде:  ±√ (x – c)2 + y2 = 2a ± √ (x + c)2 + y2 и воспользоваться условием (10). Доказательство для гиперболы аналогично доказательству этого же свойства для эллипса. С гиперболой связаны две прямые линии, называемые ее директрисами. Их уравнения в канонической системе координат: x=a/ε и x=-a/ε. (13) Директрисы гиперболы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директрису и фокус, лежащие по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу. Предложение 11. Для того, чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношения ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету гиперболы ε. Д  окажем это предложение для фокуса F2. Обозначим расстояние от произвольной точки гиперболы М (х, у) до директрисы с уравнением x=-a/ε через d2. Тогда, согласно формуле нахождения расстояния от точки до прямой, имеем:d2 = |x + a/ε| = 1/ε |εx + a|, что только множителем 1/ε отличается от r2 (11). Уравнение касательной к гиперболе выводится так же, как и соответствующее уравнение (8) для эллипса. Оно будет иметь вид:  Оптические свойства гиперболы Теорема. Касательная к гиперболе в произвольной ее точке является биссектрисой внутреннего угла М0 треугольника F1M0F2, имеющего своими вершинами фокусы гиперболы и данную точку М0. Доказательство. Опустим из фокусов F1 и F2 перпендикуляры F1P1 и F2P2 на касательную. Так же как для эллипса доказывается, что  поэтому ∆ F1M0P1 ~ ∆ F2M0P2, и, следовательно, < F1M0P1 = < F2M0P2. Результаты подстановок координат фокусов F1 (-c, 0) и F2 (c, 0) в выражение  - числа разных знаков, откуда следует, что фокусы гиперболы лежат по разные стороны от любой касательной к ней. У  казанное геометрическое свойство позволяет точке построить касательную к гиперболе в произвольной точке М0: точку М0 соединяем с фокусами F1 и F2 гиперболы и угол F1M0F2 делим пополам; биссектриса этого угла и является касательной к гиперболе в точке М0.Доказанной теореме можно дать оптическое истолкование, аналогичное тому, какое было дано для эллипса. Парабола
Опустим из фокуса F перпендикуляр на директрису d и точку пересечения этого перпендикуляра с директрисой параболы обозначим буквой D. Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, поместив начало координат О в середине отрезка FD, принимая за ось Ох прямую DF, с положительным направлением от О к F. Расстояние FD от фокуса F до директрисы d обозначим буквой p (параметр параболы). В выбранной системе координат фокус F имеет координаты (p/2, 0), а уравнение директрисы будет иметь вид: x = - p/2 (1) Пусть М (х, у) – произвольная точка плоскости. Обозначим через r расстояние MF от точки М до фокуса параболы, а через d - расстояние МР от точки М до директрисы этой параболы. Точка М (х, у) лежит на данной параболе тогда и только тогда, когда r = d. Так как  Т  о уравнение параболы имеет видЭто уравнение эквивалентно следующему: (x – p/2)2 + y2 = (x+p/2)2. и y2 = 2xp. (3) ли Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы. 1. Исследование формы параболы Так как ордината у в каноническое уравнение параболы входит во второй степени, то ось Ох является осью симметрии параболы: y2 = 2xp. (1) Точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы. Парабола (1) имеет только одну вершину (0, 0). Из уравнения (1) следует, что х ≥ 0, так как р > 0, а х = у2/2p. Р y = √2xp,  азрешая уравнение y2 = 2pх относительно у и беря для у лишь неотрицательные значения В lim y = +∞. x à +∞ идим, что полуинтервал [0, +∞) у – возрастающая функция х, причем Всякая прямая пересекает параболу не более чем в двух точках (так как прямая определяется уравнением первой степени, а парабола – уравнением второй степени). Д х2 = 2уp, алее, найдем связь уравнения параболы, полученного нами y2 = 2xp с известной записью уравнения параболы y = аx2 . Повернем плоскость чертежа вокруг оси (биссектриси первого координатного угла) на 180°. Тогда ось Ох совпадет с Оу и ось Оу совпадет с Ох. Парабола займет новое положение. Ее новое уравнение получим из старого, переставив в нем у на место х и х на место у. Оно теперь будет  или у = x2/2p. Из этого уравнения, употребляя обозначение а = 1/2p, имеем у = ах2. 2  . Касательная к параболеЕсли парабола задана уравнением у = ах2, а ≠ 0, (1) Т у + у0 = 2ах0х. (2) о уравнение касательной к ней в точке (х0, у0) имеет вид Если парабола задана уравнением y2 = 2xp, (3) Т уу0 = р(х0 + х). о уравнение касательной к ней в точке (х0, у0) имеет вид П  олагая в уравнении (2) х = 0, находим точку В (0, - у0), пересечения касательной к параболе (3) с ее осью симметрии.Отсюда вытекает следующий способ построения касательной к параболе в данной на ней точке М0. Опускаем из точки М0 перпендикуляр М0Р на ось симметрии параболы т откладываем на оси симметрии параболы отрезок ОВ = ОР. Прямая М0В – касательная к параболе в точке М0. |
араболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус, и называемой директрисой.Похожие:
 | Краткий обзор популярных монтажных программ К недостаткам можно отнести то, что она принимает в монтаж далеко не все форматы видео, а при выводе готового продукта использует... | | Загрузка (открытие) готового документа Word. Методы представления (просмотра) Знакомится с ними лучше всего на просмотре готового документа. Мы уже говорили о том, что документ Word при сохранении получает расширение.... |
| Краткое содержание проекта Проект «Ярмарка туристических идей» Организация деятельности обучающихся в ходе проекта предполагает создание ими итогового проекта (презентация, буклет), в котором... | | Курс 1 семестр. Речевые коммуникации Представить профессиональную... Содержание дискурса/ профессиональной речи тему выбрать самостоятельно, например: презентация туристического маршрута, презентация... |
| Методические указания по выполнению дипломного проекта специальность... Написание и защита дипломного проекта является заключительным этапом подготовки студента по специальности «Менеджмент организации».... | | Презентация не должна быть меньше 10 слайдов Первый лист – это титульный лист, на котором обязательно должны быть представлены: название проекта; название выпускающей организации;... |
 | Защита творческого проекта. Цветы вязаные крючком Воспитывать интереса к учению, познавательной потребности, самостоятельности, трудолюбию, взаимопомощи | | Презентация проекта Цели работы творческой группы «Организация проектной деятельности учащихся» на 2013 – 2014 уч г |
| Рабочая программа «Защита в чрезвычайных ситуациях» Профиль: «Инженерная... «Защита в чрезвычайных ситуациях» «Пожарная безопасность» «Инженерная защита окружающей среды». Направление 280700 «Техносферная... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Формы работы учащихся: работа в группе: исследование, составление презентации, защита проекта |
| Презентация лингвострановедческого проекта. Задачи урока Тема: "Die Umweltprobleme im Vergleich in Deutschland und in Russland. Проблемы окружающей среды" | | Программа фио учащегося, преподавателя Хронометраж «Анданте» Презентация исследовательского проекта Можно ли передать настроение, возникающее от прослушивания музыки |
| Темы вашего учебного проекта Русский язык и литература : описательное значение, презентация в виде стихотворений, творческих работ, презентации | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Тема: Защита проекта. Создадим книгу сами. «Малые жанры устного народного творчества» |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Русский язык» Л. Я желтовская (часть1) для уч-ся 2класса; презентация рабочая, презентация-тренажер, презентация-физминутка; проектор,... | | Презентация «Моя родословная», презентация «Моё генеалогическое древо» Какие ещё слова вы видите на доске? («род», «родословная», «генеалогия», «предок», «потомок») (Презентация, слайд №2) |
