Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 434.91 Kb.
|
Кинематика вращательного движения Для установления основных закономерностей вращательного движения рассмотрим простейший случай вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Абсолютно твёрдым телом называется тело, расстояние между двумя любыми точками которого во время движения остаётся неизменным. При вращении абсолютно твёрдого тела все его точки движутся по окружностям, а радиус-вектор каждой точки поворачивается за время ∆t на один и тот же угол ∆φ. Поворот тела на угол φ можно задать в виде вектора, направление которого условились определять по правилу правого винта (или буравчика). Длина такого вектора равна φ.  Векторы такого типа называются аксиальными. До сих пор мы рассматривали полярные векторы – радиус-вектор, скорость, ускорение. Рассматриваемые в этом параграфе векторы угла поворота, угловой скорости и углового ускорения – аксиальные векторы. Рассмотрим теперь угловую скорость и угловое ускорение. Угловой скоростью называется векторная величина, определяемая формулой:  Вектор ω направлен так же, как вектор ∆φ. Равномерное вращение – это вращение с постоянной угловой скоростью, при этом выполняется соотношение φ = ωt. Время полного оборота тела вокруг оси называется периодом обращения T . Так как при полном обороте угол поворота равен 2π, получаем: ω = 2π / Т. Число оборотов в единицу времени ν = 1/ Т = ω / 2π и отсюда: ω = 2π ν.Понятия ν, Т и ω можно распространить и для неравномерного вращения, понимая под ν, Т и ω их мгновенные значения для каждого момента времени. Такое неравномерное вращение должно характеризоваться ещё одной величиной – вектором углового ускорения   Этот вектор аксиален, его направление совпадает с направлением ω, если ω увеличивается со временем и противоположно направлению ω, если ω уменьшается. Свяжем теперь угловую скорость и угловое ускорение с линейной скоростью и линейным ускорением. Для любой точки вращающегося тела справедливо соотношение ∆s = r ∆φ  Для линейной скорости имеем:  Итак, чем больше r , тем больше v. Линейное ускорение складывается, как мы знаем, из нормального и тангенциального ускорений.   Вектор полного ускорения: w = wn + wτ и его величина:  . При равномерном вращении твёрдого тела: β = 0 ω = Const φ = φ0 + ωt. При равноускоренном вращении: β = Const ω = ω0 + βt φ = φ0 + ω0 t + βt2/2. И в заключение этого параграфа рассмотрим связь между векторами v, ω и r.  Из этого рисунка, вспоминая определение векторного произведения, получим: v = [ ω, r ] . ДИНАМИКА Динамика материальной точки (Законы Ньютона) До сих пор мы рассматривали лишь перемещение тел в зависимости от времени, не интересуясь причинами, вызывающими эти перемещения, то есть, не интересуясь силами, действующими на тела. Сейчас мы переходим к изучению раздела механики, который называется динамикой. Динамика изучает движение тел совместно с причинами, вызывающими это движение. В основе так называемой классической механики лежат три закона динамики, созданные Ньютоном в 17 веке. Нужно помнить, что механика Ньютона появилась в результате опровержения господствовавшей ранее в течение почти двух тысячелетий механики Аристотеля, оказавшейся совершенно неверной. До начала 20 века механика Ньютона казалась незыблемой, поскольку поразительно верно объяснила наблюдаемые движения планет и все физические явления, наблюдаемые в человеческой земной практике. Однако в начале 20 века произошла очередная ломка понятий физики – выяснилось, что механика Ньютона не может объяснить ряд опытных явлений, наблюдающихся при скоростях движений, близких к скорости света и массах, сравнимых с массами атомов. Поэтому были созданы новые разделы механики: релятивистская механика (или механика больших скоростей) и квантовая механика (механика малых масс). Важно подчеркнуть, что механика Ньютона по-прежнему остаётся справедливой в условиях обычных скоростей и обычных масс, а формулы релятивистской и квантовой механик автоматически преобразуются при таком переходе в формулы механики Ньютона. А вот с механикой Аристотеля этого не происходит – она просто неверна. 1-й закон Ньютона Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Или: скорость тела остаётся постоянной (в частности равна нулю), пока воздействие со стороны других тел не изменит её. Здесь тело рассматривается как материальная точка без учёта вращения. Подчеркнём: 1-й закон Ньютона совершенно не является очевидным. Во времена до Ньютона все считали, что воздействие нужно не для изменения скорости, а для поддержания её неизменной. При этом люди опирались на простые опытные данные – лошадь непрерывно тянет телегу, движущуюся с постоянной скоростью. И потребовались большие усилия видных учёных, чтобы понять самим и переубедить людей, что на самом деле воздействие лошади на телегу точно уравновешивается воздействием трения, и только поэтому система лошадь – телега подчиняется 1-му закону Ньютона, то есть движется с постоянной скоростью. Трудность понимания 1-го закона Ньютона заключается, таким образом, в том, что в реальной жизни нельзя найти условия, когда отсутствуют воздействия тел друг на друга. Наиболее приближается к случаю отсутствия воздействия скольжение камня по гладкому льду, но и он будет постепенно тормозиться за счет трения и для того, чтобы скорость оставалась постоянной, необходимо точно компенсировать силу трения силой тяги. Ещё один хороший пример это движение тел в невесомости внутри космического корабля, в этом случае на движение парящих тел влияют только очень слабые силы трения о воздух внутри корабля. Ещё лучше будут условия вне корабля, в космическом пространстве, там трение вообще отсутствует. Из опыта следует, что 1-й закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчёта. Например, он выполняется в неподвижно стоящем вагоне поезда и в равномерно и прямолинейно движущемся вагоне, но если вагон ускоряется, тормозится или поворачивает, 1-й закон Ньютона нарушается. Системы отсчёта, в которых выполняется 1-й закон Ньютона, называются инерциальными. Любая система отсчёта, движущаяся прямолинейно и равномерно по отношению к инерциальной системе отсчёта, в свою очередь будет инерциальной. Система отсчёта, связанная с земной поверхностью, и гелиоцентрическая система отсчёта (связанная с Солнцем) могут в обычной практике считаться почти инерциальными, поскольку ускорения, с которыми движутся земная поверхность и Солнце, невелики. 2-й закон Ньютона Во втором законе Ньютона фигурируют две новые физические величины: сила и масса. Сила характеризует воздействие тел друг на друга, масса характеризует отзывчивость тела на воздействия. 2-й закон в формулировке, данной самим Ньютоном, гласит: Изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит в том направлении, в котором действует сила. Это означает, что тело изменяет свою скорость или, что то же самое, приобретает ускорение под воздействием действующей на него силы. В общем случае силу F мы определяем как физическую величину, характеризующую действие, оказываемое одним телом на другое. Эта векторная величина определяется численным значением направлением в пространстве и точкой приложения. Опыт показывает, что под действием одной и той же силы различные тела испытывают неодинаковые ускорения. Мы говорим, что различна инерция этих тел. Массой как раз и называется физическая величина, характеризующая инертность тела. Из практики следуют два вывода: w ~ F при m = Const и w ~ 1/m при F = Const. Отсюда следует: w = k F/m, где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения. 2-й закон Ньютона в его современной формулировке гласит: Ускорение всякого тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела. 3-й закон Ньютона Как показывает опыт, силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, оказываются всегда равными по величине и противоположными по направлению. В современной формулировке 3-й закон Ньютона можно записать так: Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия, силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, всегда равны по величине и противоположны по направлению. f12 = – f21 Нужно всегда, однако, помнить, что силы действия и силы противодействия приложены к разным телам. Поэтому, когда человек идёт по земле, он отталкивает Землю назад с силой, равной силе, с которой Земля толкает его вперёд. Ускорения же, приобретаемые человеком и Землёй обратно пропорциональны их массам, поэтому Землю можно считать практически неподвижной. Принцип относительности Галилея Основное уравнение механики w = k F/m содержит только ускорение, скорость в него не входит. Но ускорение тела во всех инерциальных системах одно и то же. Это понятно, так как  , где v´ и v – скорости в одной и в другой инерциальных системах отсчёта ( v´ = v – v0 ). Так как ускорение не меняется, то и силы не меняются при переходе от одной инерциальной системы к другой. Итак, мы можем сказать, что уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой. Практически это проявляется в том, например, что, находясь внутри равномерно и прямолинейно двигающегося вагона, мы можем производить любые механические опыты и не обнаружить никакого отклонения от того случая, когда вагон неподвижен. Всё это впервые было доказано Галилеем.Принцип относительности Галилея и заключается в том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчёта протекают одинаковым образом и нельзя опытами установить прямолинейное и равномерное движение системы. Масса и вес В поле сил тяжести земли все тела падают с одинаковым ускорением g. По второму закону Ньютона это значит, что на тела действует сила тяжести или вес P = m g. Подчеркнём разницу между массой и весом. Из этого уравнения следует, что на Луне или на Марсе вес тела будет отличаться от веса тела на земле, а масса его везде будет одинакова. Обычно вес тела компенсируется силой реакции неподвижной опоры (или подвеса). Если же опора или подвес движутся с вертикальным ускорением по отношению к поверхности земли, то уравнение движения будет иметь вид: P + fr = m w. Так как fr = – f, то f = P – m w = m ( g – w ). Таким образом, сила, действующая на опору, меньше его веса (или больше) в зависимости от направления ускорения опоры. Силы трения Учёт сил трения очень важен для правильного применения 2-го закона Ньютона. Силы трения направлены тангенциально к соприкасающимся плоскостям тел и зависят от их относительных скоростей. Для ускорения тела с учётом трения напишем: w = ( F + Fтр) · k/m Отсюда следует, что для того чтобы в реальных условиях тело двигалось прямолинейно и равномерно (w = 0) должно выполняться равенство F + Fтр = 0 , то есть должна быть приложена внешняя сила, уравновешивающая силу трения. Силы, действующие при криволинейном движении Сила, действующая на тело при его криволинейном движении, может быть разложена на нормальную составляющую fn = m v2/R – эта сила называется центростремительной, и тангенциальную составляющую ft = m wt. При равномерном движении по окружности wt = 0 и ft = 0. Импульс Импульс – фундаментальное понятие физики. Импульс – это произведение массы тела на его скорость. p = m v Обратясь к 2-му закону Ньютона m dv / dt = f и учитывая, что m = Const , получим: dp/dt = f производная импульса материальной точки по времени равна результирующему действию всех сил. (Это уравнение является более общим, чем уравнение 2-го закона Ньютона, так как оно справедливо и в случае релятивистской механики, где m не является константой). Закон сохранения импульса Сейчас мы установим закон сохранения импульса, пользуясь 3-м законом Ньютона. Для этого рассмотрим систему N материальных точек, между которыми действуют внутренние силы и на которые могут также действовать внешние силы. Система называется замкнутой, если внешние силы отсутствуют. Импульс нашей системы – векторная величина, определяемая формулой:  Назовём центром инерции системы точку, положение которой определяется радиус-вектором:rc = mi ri / mi тогда vc = drc / dt = mi vi / m отсюда: p = m vc , таким образом, импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость её центра инерции. Возьмём случай системы из трёх точек, тогда: dp1 / dt = f12 + f13 + F1 здесь f – внутренние силы, dp2 / dt = f 21+ f23 + F2 F – внешние силы dp3 / dt = f31 + f32 + F3 Сложим эти уравнения, с учётом 3-го закона Ньютона получим: d ( p1 + p2 + p3) / dt = d p / dt = F1 + F2 + F3 Этот результат можно обобщить и на N точек:  Складывая i = 1,2,3.......N , получим:  Если  = 0 то отсюда следует: импульс замкнутой системы остаётся постоянным (p = Const). Таким образом:Центр инерции замкнутой системы либо неподвижен, либо движется прямолинейно и равномерно. Теорема о сохранении импульса более фундаментальна, чем 3-й закон Ньютона, из которого она следует. С точки зрения современной физики закон сохранения импульса непосредственно связан с однородностью пространства, то есть с тем, что его свойства не меняются при переходе от точки к точке. Закон сохранения импульса очень важен и удобен, так как позволяет решать многие задачи, даже не зная подробностей движений тел в системе и характер сил, взаимодействующих между телами. |
