Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 434.91 Kb.
|
Физический маятник Физическим маятником называется твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции C.  Уравнение движения такого маятника выглядит: I β = M , или I d2φ / dt2 = – mgℓ Sinφ Если обозначить ω02 = m g ℓ / I то получим точно такое же уравнение, как в случае математического маятника. Период колебания физического маятника T = 2 π / ω0 = 2 π  Затухающие колебания До сих пор мы считали, что колебания происходят без трения, поэтому энергия колебаний не изменяется, колебания продолжаются неограниченно долго. В реальных условиях, конечно, всегда нужно учитывать трение, или сопротивление среды. Из опытов известно, что силы сопротивления среды направлены против скорости движущегося тела и пропорциональны скорости тела. То есть fr = – r v = – r dx / dt где r – коэффициент пропорциональности. Запишем уравнение 2-го закона Ньютона для колеблющегося тела с учётом сил сопротивления: m d2x / dt2 = – k x – r dx / dt Обозначим, как и раньше ω02 = k / m и введём обозначение β = r / 2 m , тогда уравнение примет вид: d2x / dt2 + 2 β dx / dt + ω02 x = 0 Будем решать это уравнение следующим образом: введём новую переменную z , которая определяется так: x = z exp (– β t ) тогда dx / dt = exp(– β t ) dz / dt – β exp(– β t ) z d2x / dt2 = exp(– β t ) d2z/ dt2 – 2 β exp(– β t ) dz / dt +β2 exp(– β t ) z Подставим это в наше уравнение: exp(– β t )(d2z/dt2 – 2β dz/dt + β2 z ) + exp(– β t ) (2 β dz/dt – 2 β2 z ) + + ω02 z exp(– β t ) = 0 отсюда: d2z/ dt2 + (ω02 – β2 ) z = 0 Таким образом, для новой переменной z мы получили уравнение гармонического колебания, решение его мы знаем z = Const Cos ( ω t + α ) где ω =  (мы считаем, что ω02 > β2 ). Значит, окончательно наше решение для переменной х будет: x = a0 exp( – β t ) Cos ( ω t + α ) График этой зависимости имеет вид:  Таким образом, при учёте сопротивления среды мы получили затухающие гармонические колебания, амплитуда колебаний уменьшается со временем, а их частота меньше частоты, которая была бы в отсутствие сопротивления среды. Скорость затухания определяется величиной β, которая называется коэффициентом затухания. Затухающие колебания с течением времени прекращаются и энергия колебательного движения, постепенно уменьшаясь, переходит в тепло. Чтобы сделать реальные колебания системы незатухающими нужно непрерывно подводить к системе добавочную энергию, компенсирующую потери энергии за счёт трения. Например, маятник часов колеблется без затухания за счёт энергии сжатой пружины или подвешенной гири, то есть за счёт изменения потенциальной энергии пружины или гири в поле сил тяжести земли. Вынужденные колебания Итак, для получения незатухающих колебаний необходимо пополнять убыль механической энергии колебаний, то есть необходимо воздействие дополнительной переменной внешней силы, которая подталкивает колеблющееся тело то в одну, то в другую сторону. Такая внешняя сила называется вынуждающей силой, а колебания, возникающие под её влиянием, называются вынужденными колебаниями. Пусть эта сила изменяется со временем по гармоническому закону f = F0 Cos ω t Тогда уравнение движения запишется следующим образом, если мы учтём все силы, действующие на тело: m d2x/dt2 = – k x – r dx/dt + F0 Cos ω t или d2x/dt2 + 2 β dx/dt + ω02 x = f0 Cos ω t где f0 = F0 / m , β = r / 2 m – коэффициент затухания за счёт сопротивления среды, ω0 =  – собственная частота колебаний, то есть частота свободных колебаний в идеализированном случае, когда сил трения нет. Решение этого уравнения приведём без вывода. Графически оно выглядит так: установление установившиеся колебаний колебания В режиме установившихся колебаний решение имеет вид: x =  Cos (ω t – α)То есть колебания происходят с частотой колебаний вынуждающей силы, но отстают по фазе на определённый угол α , причём t g α = 2 β ω / (ω02 – ω2) Амплитуда установившихся колебаний, как мы видим из формулы, зависит от частоты колебаний вынуждающей силы ω . Рассмотрим подробнее эту зависимость.  Построение по вышеприведенной формуле даёт следующую картину, то есть амплитуда имеет максимум при определённой частоте, так называемой резонансной частоте. Таким образом при ω = ωрез колебания становятся наиболее интенсивными и тем больше, чем меньше сопротивление среды, то есть чем меньше β . Найдём величину резонансной частоты ωрез. Максимум амплитуды, значит минимум подкоренного выражения в знаменателе. Значит, производная этого выражения по частоте должна равняться нулю при ω = ωрез. 2 (ω02 – ω2) (– 2 ω) + 8 β2 ω = 0, – ω02 + ω2 + 2 β2 = 0 Значит ω2 = ω02 – 2 β2 , ω =  Это и есть ωрез, то есть ωрез = Если сопротивление среды мало ( β мало), то ωрез ≈ ω0 . Явление резонанса, которое мы рассмотрели, играет большую роль во многих физических процессах. Пример 1-й, который всегда приводят. Воинская часть переходит через мост, солдаты шагают в ногу. Если окажется, что частота шагов совпадёт с резонансной частотой моста, мост может постепенно раскачаться и развалиться. Пример 2-й. Маломощный электромотор, если он плохо уравновешен и бьёт, может в случае резонанса разрушить основание, на котором он укреплён. Пример 3-й. При расчёте корпусов корабля, крыльев самолёта, корпуса автомобиля всегда нужно следить, чтобы частота вращения винта, пропеллера, мотора не совпадала с резонансными частотами этих конструкций. ВОЛНЫ Распространение колебаний Если мы возьмём колеблющееся тело и поместим его в упругую среду, то соседние с телом частицы среды также примут участие в колебательном движении. Эти новые колеблющиеся частицы начнут увлекать следующие прилегающие частицы и так далее. Таким образом, возникнут распространяющиеся в пространстве колебания или волны. Самый удобный пример таких волн это волны, возникающие от камня, брошенного в воду. Подчеркнём следующее: если мы поместим на поверхность воды лёгкий предмет (поплавок), он также примет участие в колебательном движении, но всё время будет оставаться на том же самом расстоянии от источника волн, от брошенного камня. Значит при движении волны движутся в сторону распространения волны не частицы среды, а только сам процесс возникновения колебаний. Это важно не забывать. Волны на воде это поперечные волны. Другой пример поперечных волн – колебания длинного упругого стержня, конец которого отогнули в сторону и отпустили. Если же ударить по торцу упругого стержня молотком, то по нему побежит уже продольная волна, состоящая из сжатых и растянутых участков стержня. Что такое длина волны и скорость волны? Длиной волны называют расстояние между соседними гребнями, или впадинами, или между любыми соседними участками среды, находящимися в одной фазе колебаний. Скорость волны связана с её длиной λ соотношением λ = v T , где Т – период колебаний. Уравнение плоской волны Уравнением волны называется функция ξ = ξ (x,y,z,t) , то есть зависимость смещения колеблющейся точки от её координат в пространстве и времени. Для случая плоской волны, распространяющейся по координате х, предположим, что она возбуждается за счёт плоского источника волн в начале координат (то есть при х = 0). Уравнение волны в плоскости х = 0 очевидно будет ξ (0, t) = a Cos ωt . Теперь что будет в плоскости с координатой х ? Колебания идут вправо со скоростью v , следовательно, они отстанут на время τ = x /v , и уравнение волны в плоскости х примет вид: ξ (х, t) = a Cos ω(t – τ) = a Cos ω(t – x /v) . Это и есть уравнение плоской волны. Запишем теперь ξ (х, t) = a Cos ω(t – x /v) = a Cos (ωt – ω x /v) . Обозначим ω /v = k , где k – так называемое волновое число. Тогда ξ (х, t) = a Cos (ω t – k x) Такой вид записи уравнения волны употребляют довольно часто. Очевидно k =  =  =  Если среда неограниченна, то колебания распространяются во все стороны от источника волн. Уравнение для образующейся в таком случае сферической волны имеет вид: ξ (r, t) =  Cos (ω t – k  ) , где r – расстояние от источника волн. Таким образом, волны ослабевают по мере удаления от источника.Волновое уравнение Покажем, что уравнение плоской волны ξ (х, t) = a Cos (ω t – k x) является решением некоторого дифференциального уравнения (волнового уравнения). Для этого дважды продифференцируем уравнение плоской волны по координате х:  = – a Sin (ω t – k x) ( – k) = k a Sin (ω t – k x)  = k a Cos (ω t – k x) ( – k) = – k2 ξТеперь дважды продифференцируем уравнение плоской волны по времени:  = – a Sin (ω t – k x) ω  = – a ω Cos (ω t – k x) ω = – ω2 ξ Отсюда получаем: = – k2 ξ =  , но  =  . Значит =  . Это и есть так называемое волновое уравнение.Для более общего случая ξ = ξ (x,y,z,t) , когда уравнение плоской волны имеет вид ξ = a Cos (ω t – kx x – ky y – kz z) , волновое уравнение приобретает вид: +  +  = Скорость распространения волн в упругой среде Рассмотрим распространение продольных волн вдоль длинного стержня.  Пусть в начальный момент времени мы ударили по стержню, то есть за время Δt действовала сила F, торец стержня сместится на малую величину Δℓ. Образовавшееся сжатие будет распространяться вдоль стержня со скоростью волны v и за время Δt пройдёт расстояние ℓ , так что v = ℓ /Δt . Мы знаем, что при воздействии силы на какую то массу выполняется соотношение FΔt = Δp , где Δ p = m Δu – приращение импульса этой массы. В нашем случае масса стержня, которая пришла в движение m = ρ S ℓ , а приращение скорости этой массы Δu = Δℓ /Δt . Итак имеем: FΔt = ρ S ℓ Δℓ /Δt . С другой стороны, известен закон Гука, согласно которому при воздействии на твёрдое упругое тело какой то силы изменение длины этого тела равно Δℓ =   ℓ , где S – площадь, на которую действует сила, Е – так называемый модуль упругости, зависящий от свойств материала. Подставим силу из закона Гука в наше уравнение:  Δt = ρ S ℓ Δℓ /Δt . Отсюда получим  = (ℓ /Δt)2 = v2 . Следовательно, скорость распространения волныv =  Например, для стали из этой формулы получается v = 5 км /сек. Рассмотрим теперь распространение волн в жидкости и газе. Рассмотрим аналог упругого стержня – пусть мы имеем длинный цилиндр с газом, закрытый поршнем. Ударяя по поршню, вызываем волну сжатия-разрежения, распространяющуюся вдоль цилиндра с газом. Запишем для газа выражение, аналогичное закону Гука: Δℓ =  ℓ . Здесь K – модуль упругости для газа. Значение K определим следующим образом. Очевидно, что  =  , где V – объём газа, – это Δp (приращение давления). Тогда = –  (минус ввели, так как Δp и ΔV имеют разные знаки). Итак = –   = –  Колебания разрежений и сгущений в волне происходят настолько быстро, что температура не успевает выравниваться, таким образом, не происходит теплообмена с соседними участками газа. Значит давление и объём связаны уравнением Пуассона, (уравнением адиабаты, см. раздел Термодинамика) p Vγ = Const . Дифференцируем уравнение адиабаты Vγ dp + γ V γ – 1 pdV = 0 . Следовательно  = – γ  . Тогда для модуля упругости газа получим K = – V = γ p . И окончательно для скорости волны: v =  Используем теперь уравнение состояния газа pV =  RT . Отсюда ρ =  =  , подставляем в формулу для скорости волны и получаем v =  .Таким образом, скорость распространения колебаний в газе, то есть скорость звуковых волн зависит от температуры и молекулярного веса газа. Из этой формулы для воздуха, например, получается 330 м /сек, для водорода 1260 м /сек. Заметим, что скорость звуковых волн в газе близка к средней скорости хаотического движения молекул в газе vср =  . |
