Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 434.91 Kb.
|
M = [ r f ] Модуль M = r Sin α = f ℓ ℓ = r Sin α – плечо силы относительно точки О. Крестиком обозначено направление вектора M (за чертёж).  Момент импульса материальной точки Момент импульса относительно точки определяется аналогично моменту силы. ( M = [r f] ) L = [r p] = m [r v] L = r p Sin α = p ℓ (ℓ - плечо) Найдём изменение L во времени d L / d t = d / [r, p] / dt = [d r / d t, p] + [r, d p / d t] но по второму закону Ньютона d p / d t = f следовательно: d L / d t = [r, f] = M Таким образом, это уравнение – аналог 2-го закона Ньютона, но для вращательного движения. d p / d t = f Сила f – момент силы M = [r f] Импульс p – момент импульса L = [r p] Закон сохранения момента импульса Приведём без вывода для замкнутой системы (внешние силы отсутствуют). Момент импульса замкнутой системы материальных точек остаётся постоянным. Основное уравнение динамики вращательного движения Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг оси ОО1.  Каждая элементарная масса движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси ОО1. Напишем 2-й закон Ньютона для тангенциальной составляющей ускорения массы ∆ mi. ∆ mi wti = fti нам уже известно, что wti = β ri Тогда ∆ mi β ri = fti умножим это на ri : ∆ mi β ri 2 = fti ri Такие же равенства можно написать для всех элементов ∆ mi , из которых состоит тело, а затем просуммировать их:  ∆ mi β ri 2 = β∆ mi ri 2 = fti ri Величина fti ri представляет собой сумму моментов сил, действующих на все элементы твёрдого тела, то есть она представляет собой полный момент сил М , действующих на тело, относительно оси ОО1. Величина I = ∆ mi ri 2 называется моментом инерции тела относительно данной оси ОО1 . Таким образом, можем окончательно написать для вращательного движения:I β = M Сравнивая с поступательным движением: m w = f , получим таблицу: m w = f I β = M f – сила M – момент силы m – масса I – момент инерции w – линейное ускорение β – угловое ускорение Момент инерции Для вычисления момента инерции реального тела выразим элементарную массу ∆ mi через плотность вещества ∆ mi = ρi ∆Vi . Тогда I = ρi ri 2 ∆Vi . Обычно ρ = Const , тогда I = ρ ri 2 ∆Vi , или I = ρ  r 2 dV .Пример: I для диска  dV = b 2π r d r I = ρ  b 2π r3 d r = ρ 2π b r3 d r = ρ 2π b R4 / 4 = m R2 / 2 , где m = ρ π b R2 .Вычисления были простыми, так как мы искали момент инерции относительно оси симметрии тела. Задача значительно усложняется, если попытаться найти момент инерции относительно других осей, например ВВ1. Однако Штейнером была выведена теорема, значительно облегчающая расчёты моментов инерции реальных тел. Теорема Штейнера гласит: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. I = I0 + m a2 Для диска в нашем случае получим: IBB1 = I0 + m R2 = 3/2 m R2 Кинетическая энергия при вращении Если тело вращается вокруг оси, то для каждого элемента массы ∆ mi можем написать: vi = ri ω Следовательно, ∆ Ti = ∆ mi vi2 / 2 = ∆ mi ri2 ω2 / 2 И полная кинетическая энергия вращающегося тела равна: T = ∆ mi ri2 ω2 / 2 = I ω2 / 2 Теперь мы легко напишем выражение для кинетической энергии общего случая движения твёрдого тела, которое, как мы знаем, может быть всегда представлено, как сумма поступательного и вращательного движений. T = m vc2 / 2 + Ic ω2 / 2 Значок «с» означает центр инерции. Момент импульса твёрдого тела Рассмотрим вращающееся тело. Для каждого элемента массы ∆ mi можем написать: ∆ Li = ∆ mi vi ri = ∆ mi ri 2 ω  Так как ∆ Li направлен так же, как ω, то: ∆ Li = ∆ mi ri 2 ω Полный момент импульса L = ∆ Li = ∆ mi ri 2 ω = I ω Итак, момент импульса равен произведению момента инерции на угловую скорость. Возьмём производную d L / d t = I d ω / d t = I β но I β = M следовательно: d L / d t = M ( d p / d t = f ) Если результирующий момент всех сил, действующих на тело равен нулю, то вектор момента импульса остаётся постоянным. Это и есть закон сохранения момента импульса. Таким образом: при M = 0 L = I ω = Const Пример: фигурист на льду вращается, расставив руки с определённой угловой скоростью. При опускании рук, приближения их к телу фигуриста, момент инерции уменьшается, следовательно, должна увеличиться угловая скорость. Это и наблюдается на самом деле. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Гармонические колебания Колебательные движения широко распространены в природе и технике. Примеры колебательных движений: качание маятника часов, волны на воде, переменный электрический ток, вся современная радиотехника построена на колебательных движениях, звук и свет также являются колебательными движениями. В зависимости от физической природы колебательного движения мы различаем, например, механические колебания, электро-магнитные колебания, электро-механические колебания и так далее. Мы ограничимся в этой главе рассмотрением только механических колебаний. Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, то есть такие колебания, при которых величины меняются со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний важен потому, что реальные колебательные процессы очень близки по форме к гармоническим колебаниям. В качестве одного из примеров гармонических колебаний рассмотрим движение груза, подвешенного к упругой пружине. Пусть мы имеем пружину длиной ℓ0. Подвесим к ней груз m, пружина растянется на длину ∆ℓ0. Масса m покоится, значит m g = Fупр. Упругая сила пружины, согласно закону, установленному Гуком, Fупр = k ∆ℓ0, где k - коэффициент пропорциональности. Таким образом: m g = k ∆ℓ0.   Р. Гук Выведем теперь систему из равновесия, растянем пружину ещё на длину x. Тогда результирующая сила, действующая на m, равна f = m g – k (∆ℓ0 + x) = – k x . . Знак минус указывает на то, что смещение и сила имеют противоположные направления. Итак f = – k x . Напишем теперь уравнение для последующего движения груза, то есть уравнение 2-го закона Ньютона: m w = – k x или m d2 x / d t2 + k x = 0 Перепишем его так: d2 x / d t2 + k / m = 0 Обозначим k / m = ω02 , тогда d2 x / d t2 + ω02 x = 0. Легко убедиться (подстановкой), что решением этого дифференциального уравнения будет следующая зависимость: x = a Cos ( ω0 t + α ) где a и α – постоянные. Итак, мы получили гармоническое колебание.  Величина a - это максимальное отклонение от положения равновесия, называется амплитудой колебания. Величина T называется периодом колебания. Можно легко показать, что ω0 и T связаны формулой ω0 = 2 π / T. Величина ω0 называется круговой или циклической частотой, величина ν = 1 / T – просто частота колебаний, измеряется в герцах, 1 герц = 1 / сек. Величина ω0 t + α называется фазой колебания, а α – начальной фазой колебания, то есть значение фазы в момент времени t = 0. Таким образом, значение начальной фазы задаётся выбором начала отсчёта. Пусть мы выбрали начало отсчёта такое, что α = 0 тогда x = a Cos ( ω0 t ) Найдём значения скорости и ускорения: v = dx / dt = – a ω0 Sin ω0 t = a Cos (ω0 t + π / 2 ) w = d2x / dt2 = – a ω02 Cos ω0 t = a ω02 Cos (ω0 t + π ) Значит, скорость опережает смещение на угол π / 2, а ускорение на угол π.  В точках, где х = 0, скорость принимает максимальное значение, а значит и кинетическая энергия принимает максимальное значение. Найдём, как меняется кинетическая энергия со временем: Ek = m v2 / 2 = ( m a2 ω02 / 2) Sin2 ω0 t В точках, где скорость равна нулю, максимальна величина х, (х = а), в этих точках максимальная кинетическая энергия полностью переходит в максимальную потенциальную энергию растянутой (или сжатой пружины). Потенциальная энергия создаётся благодаря тому, что совершается работа А. Величину А найдём по формуле A =  ( - f ) d x = k x d x = k x2 / 2Эта работа идёт на создание потенциальной энергии Ep = k x2 / 2 Отсюда Ep изменяется со временем по следующему закону: Ep = ( k a2 / 2 ) Cos2 ω0 t Сложим теперь Ek + Ep = ( m a2 ω02 / 2) Sin2 ω0 t + ( k a2 / 2 ) Cos2 ω0 t = = ( k a2 / 2 ) ( Cos2 ω0 t + Sin2 ω0 t ) = k a2 / 2 ( здесь мы учли, что ω02 = k / m ). Итак, полная энергия системы в любой момент времени одна и та же, как и должно быть по закону сохранения энергии. В соответствии с полученными формулами можно нарисовать зависимость Ek и Ep от смещения груза из положения равновесия.  Итак, колебание сопровождается периодическим переходом кинетической энергии в потенциальную и обратно. Мы здесь предполагаем, конечно, что нет потерь энергии, например на трение, и поэтому полная механическая энергия системы сохраняется. Математический маятник Математический маятник - это маятник, состоящий из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Математическим маятником можно, например, считать небольшой тяжёлый шарик, подвешенный на длинной, тонкой нити (ℓ – длина нити) .  Отклоним такой маятник на угол φ. При этом возникает вращательный момент М = [r f] , равный по модулю mgℓ Sinφ и направленный таким образом, чтобы вернуть маятник в положение равновесия, то есть уменьшить угол φ. Момент М и смещение φ имеют разные направления. Поэтому: M = – mgℓ Sinφ Уравнение, аналогичное 2-му закону Ньютона, для вращательного движения имеет вид: I β = M ( I – момент инерции, β – угловое ускорение, M – момент силы). Следовательно: m ℓ2 ∙ d2φ / dt2 = – mgℓ Sinφ Будем считать, что углы малы, тогда Sin φ ≈ φ ( радиан). Получаем d2φ / dt2 + g φ / ℓ = 0 . Если обозначить ω02 = g / ℓ , то имеем d2φ / dt2 + ω02 φ = 0, то есть дифференциальное уравнение, решение которого мы уже знаем φ = a Cos ( ω0 t + α ) Таким образом, T = 2 π / ω0 = 2 π  . Период колебания маятника не зависит от его массы, а зависит от длины маятника и ускорения свободного падения. |
