Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 434.91 Kb.
|
Работа и энергия. В окружающей нас обстановке мы имеем дело с телами, взаимодействующими друг с другом теми или иными силами. Перемещения тел практически осуществляются лишь под влиянием сил. Поэтому необходимо было дать характеристику того действия сил, которое вызывает перемещение тел. Такой характеристикой является физическая величина, называемая работой. Работой называется скалярная величина равная произведению проекции силы на направление перемещения и пути, проходимого точкой приложения силы. A = fs s = f s Cos При = / 2 A = 0 (!) Понятие работы в механике отличается от обыденного представления о работе. Человек стоит и держит груз, а работа его равна нулю согласно приведенной формуле, но мы то знаем, что человек при этом выполняет работу. Как объяснить этот парадокс? Для того, чтобы понять, в чём тут дело, рассмотрим некоторые примеры применения приведенной формулы. 1) Тело лежит на шероховатой поверхности и вдоль поверхности приложена сила f. Сила f совершает положительную работу ( = 0). Но к телу приложена также сила трения fтр , = 0 и fтр совершает отрицательную работу. 2) Тело брошено вверх, сила тяжести тянет вниз, = 180. Работа сил тяжести отрицательна. 3) Тело падает вниз под действием силы тяжести, = 0 . Работа силы тяжести положительна. 4) Тело под влиянием центростремительной силы равномерно движется по окружности, = 90 . Работа равна нулю. Ну и, наконец, наш пример с человеком, который держит груз. Нет никакого перемещения и поэтому работа должна быть равна нулю. В чём тут дело? Ответ: если бы вместо человека был стол, то все было бы в соответствии с формулой, работа равна нулю. У человека же непрерывно работают мышцы, при этом происходят перемещения груза, на что и затрачивается работа. Любопытно, что у некоторых видов моллюсков происходит в такой ситуации застывание мускулов (они как бы защёлкиваются), и никакой работы не выполняется (не будет перемещений). Если величина fs меняется во время движения, то работа вычисляется уже известным нам приёмом: ∆A ≈ fs ∆s A = ∑ ∆Ai ≈ ∑ fsi ∆si . При устремлении всех ∆si к нулю получим: A =  =  Под интегралом, таким образом, мы имеем скалярное произведение векторов f и ds. (Напомним, что скалярное произведение векторов A и B определяется формулой A B = A B Cos α , где α – угол между векторами).Имея в виду, что ds = v dt , можно записать A =  f v dt .Мощность Из практики очевидно, что из двух механизмов, совершающих работу, ценнее тот, который тратит на это меньше времени. Поэтому используется ещё одна величина – мощность W, равная отношению работы к промежутку времени, за который она совершается. W = lim (∆A / ∆t) = dA / dt так как dA = f ds то W = f (ds / dt) = f v Потенциальное поле сил. Силы консервативные и неконсервативные. Если на тело, находящееся в какой-то точке пространства, действуют силы, меняющиеся от точки к точке пространства, то говорят, что тело находится и поле сил. Пример такого поля сил – гравитационное поле земли. Подчеркнём одну особенность полей типа гравитационного поля: эти поля потенциальны. Что это значит? Это означает, что работа, совершаемая силами над телом, находящимся в потенциальном поле, не зависит от выбора пути движения тела, а определяется только начальным и конечным положениями тела в пространстве. Такие силы принято называть консервативными. Из прошлой лекции мы знаем, что A =  Тогда для консервативных сил A = A12 (независимо от пути).  Отсюда следует, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути будет равна нулю. Для неконсервативных сил это не будет выполняться. Силы трения, например, являются неконсервативными. Для сил трения A = fтр v t = – fтр v t (так как сила fтр всегда направлена против направления движения. Поэтому работа сил трения всё время остаётся отрицательной и на замкнутом пути отлична от нуля. Напротив, силы тяжести являются консервативными.  Напишем выражение для работы силы тяжести при перемещении из точки 1 в точку 2. A = =  P Cos α ds = P dh = P (h1 – h2) = m g (h1 – h2) Это выражение не зависит от пути. (Мы имеем в виду, что A B = AB B = A BA ) Кинетическая энергия Энергией называется способность тела или системы тел совершать работу. Кинетической энергией называют энергию, связанную с движением тела с определённой скоростью. Потенциальная энергия – это энергия, обусловленная нахождением тела в потенциальном поле сил. Найдём выражение для кинетической энергии.  Пусть двигающееся со скоростью v тело 1 с массой m действует на тело 2 с силой f . Тогда оно совершит работу dA = f ds = f v dt По определению d A = – d T1 (тело 1 совершило работу за счёт уменьшения своей кинетической энергии T1). По 3-му закону Ньютона f´ = – f , тогда: dv/dt = f´/m = – f/m (ускорение, испытываемое 1-м телом) Отсюда m dv = – f dt умножая на v , получим: m v dv = – f v dt Тогда изменение кинетической энергии: dT = – dA = – f v dt = m v dv Но v dv = v dv (Cos 0 = 1) поэтому dT = m v dv = d (m v2 / 2) Отсюда следует формула для кинетической энергии тела: T = m v2 / 2 Итак, тело 1 совершило работу dA за счёт уменьшения на dT его кинетической энергии T = m v2 / 2 . Потенциальная энергия Потенциальная энергия зависит от положения тела, находящегося в потенциальном поле сил. Определим её, как некоторую функцию U (r) положения тела в потенциальном поле, которая обладает свойством, определяющимся формулой: U1 = U0 + A10 , где 0 – некоторая исходная точка, A10 – работа сил поля над телом при его перемещении 1 → 0 . Аналогично U2 = U0 + A20 . Тогда U1 – U2 = A10 – A20 = A10 + A02 Но по определению поля сил A10 + A02 = A12 (не зависит от пути !) Окончательно получим: U1 – U2 = A12 , то есть работа 1 → 2 равна убыли потенциальной энергии. Закон сохранения энергии Рассмотрим пример для поля сил тяжести и покажем, что выполняется закон сохранения энергии. (T = m v2 /2 U = mgh T + U = Const). Итак m v2 /2 + mgh = Const . Покажем, что это верно. Возьмём производную по времени. dT /dt =   =  m 2 v  = m v Но по второму закону Ньютона m = f . Тогда dT /dt = f v = – mg v = – mg dh /dt . dT /dt = –  = – dU /dtОтсюда и получаем: T + U = Const Рассмотрим более общий случай произвольного поля сил. Рассмотрим траекторию тела, движущегося в потенциальном поле сил, и разложим действующую на тело силу F на две составляющие: тангенциальную Ft и нормальную Fn . Тогда элементарная работа силы Ft на пути ds: dA = Ft ds . По второму закону Ньютона Ft = m wt = m dv/dt . Тогда dA = m (dv/dt) ds = m v dv = m d(v2) / 2 = d ( T ) То есть работа сил идёт на увеличение кинетической энергии. Если считать, что сила F – результат помещения тела в потенциальное поле, то, как мы видели dA = – dU . Из двух последних выражений получим: dT + dU = d (T + U) = 0 . Следовательно: E = T + U = Const Полученная формула является математическим выражением закона сохранения энергии в механике. Таким образом, при движении тела происходит непрерывное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остаётся неизменной. Приведём без вывода закон сохранения энергии для системы многих тел. E =  mi vi2 / 2 +  Uik = ConstПолная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной. Заметим, что если присутствуют неконсервативные силы (трение), то полная механическая энергия убывает, превращаясь при трении в тепло. Но и тогда сохраняется сумма всех видов энергии. Связь между потенциальной энергией и силой Для установления этой связи найдём элементарную работу, производимую силами поля при перемещении тела ∆s . ∆A = fs ∆s ∆A = – ∆U (так как образуется из запаса U) следовательно, fs = – ∆U / ∆s , осуществляя предельный переход, получим fs = – ∂U / ∂s – частная производная. Это справедливо и для осей координат x, y, z : fx = – ∂U / ∂x fy = – ∂U / ∂y fz = – ∂U / ∂z Из математики известно, что такими свойствами обладает градиент скалярной величины. Итак: F = – grad U Пример, поле сил тяжести: U = m g z + const fz = – ∂U / ∂ z = – mg (направлена вниз !). Условие равновесия механической системы Под равновесием механической системы понимают условия, когда силы, действующие на тела системы, равны нулю. Для примера рассмотрим случай, когда взаимное расположение тел определено только одной координатой ( x ), тогда для того, чтобы выполнялось fx = 0 нужно выполнение ∂U / ∂x = 0 . Рассмотрим конкретно удобный пример шарика, скользящего без трения по проволоке (изогнутая проволока по сути изображает вид потенциальной энергии шарика в поле тяжести):  Видно, что условие ∂U / ∂x = 0 выполняется в двух точках A и B. Точка A - устойчивое равновесие, точка B неустойчива. Итак, характер движения системы с полной энергией E = T + U легко определить, зная вид функции U(x) (потенциальный барьер, потенциальная яма). Как видно из рисунка для любого x можно определить значение кинетической энергии. Неинерциальные системы отсчёта Силы инерции Ранее мы говорили, что законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчёта, то есть в таких системах, которые движутся по отношению друг к другу без ускорения. Однако, на практике чаще всего встречаются именно неинерциальные системы. Рассмотрим, как надо изменить 2-й закон Ньютона, чтобы он выполнялся также в неинерциальной системе. Простой пример – движется вагон, на полу лежит шар, трения нет. Вагон движется с ускорением (a) . 1) С точки зрения наблюдателя на улице шар остаётся на месте, а вагон уходит от него с ускорением (а) , на шар не действуют никакие силы. 2) С точки зрения наблюдателя, находящегося в вагоне, шар начинает двигаться с ускорением ( – а) по отношению к вагону, то есть на него, вроде бы, действует сила ( – m a ) . Вот эта фиктивная сила, появляющаяся только в неинерциальной системе отсчёта, и называется инерциальной силой. Следовательно, для правильного описания движения в неинерциальной системе отсчёта в уравнение движения тела нужно добавить силу инерции: m w’ = f + fин Центробежная сила инерции Рассмотрим пример – шарик на спице прикреплён к пружине, которая также навита свободно на спицу. При вращении спицы шарик растянет пружину и удерживается ею на каком то значении радиуса R . Нормальное ускорение wn = ω2 R . Следовательно, сила натяжения пружины f = m ω2 R . Во вращающейся системе координат, связанной со спицей, шарик покоится, значит ∑ f = 0 и fin = – f = – m ω2 R  Механика твёрдого тела. Движение твёрдого тела. Движение твёрдого тела определяется приложенными к нему внешними силами. Характерными видами движения твёрдого тела являются поступательное и вращательное движения. Можно показать, что к ним сводится любое сложное движение тела. Движение центра инерции твёрдого тела Центром инерции тела называется следующая величина: rc =  ∆ mi ri / m Центр инерции тела движется так, как двигалась бы точка с массой, равной массе тела, под действием суммы всех приложенных к телу сил. Пример: в воздухе взрывается снаряд, в точку падения приходит центр инерции ворвавшегося снаряда.  Вращение тела. Момент силы. При рассмотрении вращения твёрдого тела понятие о силах заменяется понятием о моментах сил, а понятие о массе – понятием о моменте инерции. В качестве введения в это новый круг вопросов рассмотрим простой пример – движение материальной точки по окружности.  Пусть действует касательная сила f , тогда f = m wt , но wt = βr где β – угловое ускорение. Тогда f = mr β . Умножим это уравнение на r . Получим f r = m r2 β . Обозначим f r = M и mr2 = I . Тогда, сравнивая M = I β и f = m wt , видим, что во вращательном движении аналогом силы является величина f r = = M, называемая моментом силы, а аналогом массы – величина mr2 = I, называемая моментом инерции. Более общее выражение для момента силы: |
