Вопросы к экзамену 1 курс 2 семестр
Определение и свойства неопределенного интеграла.
Интегрирование заменой переменной.
Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование иррациональностей. Подстановки Эйлера.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интеграл от дифференциального бинома.
Интегрирование по частям некоторых трансцендентных функций.
Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях.
Определение интеграла по Риману.
Ограниченность интегрируемой функции.
Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интеграл Дарбу.
Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
Свойства определенного интеграла. ( . Интегрируемость функции на части отрезка.  ).
Свойства определенного интеграла. (Интегрируемость суммы. Вынесение постоянной за знак интеграла. Интегрируемость произведения, частного. Интеграл от неотрицательной функции.).
Теорема о среднем значении для определенного интеграла.
Интегрируемость кусочно-непрерывных функций.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной функции.
Формула Ньютона–Лейбница.
Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирования по частям.
Вторая теорема о среднем значении для определенного интеграла.
Вычисление площадей.
Объем тел вращения.
Вычисление длины кривой.
Площадь поверхности вращения.
Работа силы.
Вычисление статистических моментов и центра тяжести кривой.
Определение несобственных интегралов и их свойства.
Признаки сравнения. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
Исследование сходимости несобственных интегралов. Признак Дирихле.
Вопросы к экзамену 2 курс 3 семестр
Числовые ряды. Необходимое условие сходимости рядов.
Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов.
Критерий Коши сходимости числового ряда.
Необходимое и достаточное условие сходимости неотрицательного числового ряда.
Признак сравнения.
Признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами.
Признак Коши для рядов с неотрицательными членами.
Интегральный признак для рядов с неотрицательными членами.
Теорема Лейбница.
Абсолютно сходящиеся ряды.
Сумма и произведение абсолютно сходящихся рядов.
Теорема Римана. Условно сходящиеся ряды.
Равномерная сходимость функциональных последовательностей.
Критерий Коши равномерной сходимости последовательностей.
Свойство равномерно сходящихся последовательностей.
Равномерно сходящиеся функциональные ряды.
Равномерно сходящиеся ряды. Сумма равномерно сходящегося ряда.
Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов.
Почленное дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
Радиус сходимости, круг сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
Разложение функции в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора.
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Множества на плоскости и в пространстве
Предел и непрерывность функций многих переменных
Непрерывность функций
Непрерывность композиций непрерывных функций
Теоремы о функциях, непрерывных на множествах
Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности. Теорема Кантора
Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных
Дифференцируемость сложной функции
Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов
Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала
Производная по направлению
Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков
Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных
Формула конечных приращений для функций многих переменных. Необходимые условия экстремума
Достаточные условия строгого экстремума.
Понятие объема в n-мерном пространстве. Измеримые множества.
Определение кратного интеграла.
Существование кратного интеграла.
Свойства кратного интеграла
Сведение двойного интеграла к повторному.
Замена переменных в кратном интеграле.
Криволинейные интегралы первого рода.
Криволинейные интегралы второго рода.
Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Вопросы к экзамену 2 курс 4 семестр
Интеграл от дифференциальной формы.
Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности
Масса материальной поверхности.
Площадь поверхности как интеграл от формы.
Форма объема.
Выражение формы объема в декартовых координатах.
Интегралы первого и второго рода
Формула Грина
Формула Остроградского–Гаусса
Формула Стокса
Общая формула Стокса.
Скалярные и векторные поля.
Векторные поля и формы в R3.
Дифференциальные операторы.
Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа.
Интегральные формулы теории поля.
Классические интегральные формулы в векторных обозначениях.
Физическая интерпретация основных дифференциальных операторов.
Потенциал векторного поля.
Необходимое условие потенциальности.
Критерий потенциальности векторного поля.
Топологическая структура и потенциал.
Векторный потенциал.
Точные и замкнутые формы.
Уравнение теплопроводности.
Уравнение неразрывности.
Основные уравнения динамики сплошной среды.
Волновое уравнение
Б.3.8 Алгебра и теория чисел. Числовые системы
Контрольная работа №1. Комплексные числа
Вариант 0
Найти действительную и мнимую части комплексного числа  .
Найти модуль и главное значение аргумента ( ) комплексного числа  .
Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости  .
Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству  .
Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ???; ?])  .
Доказать тождество:  .
Контрольная работа №2. Матрицы и определители. Решение систем.
Вариант 0
1. Найдите общее решение и два частных для системы уравнений 
2. Найдите базис системы векторов, и выразить все вектора системы через этот базис
 (1,-1,2,3),  (1,-1,1,-2),  (3,7,8,-11),  (2,3,4,-5),  (5,10,13,15).
3. Даны матрицы  , . Решите уравнения: а) ,
б)  .
4. Вычислите определитель  .
5. Найдите, при каких значениях параметра  система уравнений 
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию  .
6. Решить систему методом Крамера: 
Контрольная работа № 3. Алгебра многочленов.
Вариант 0
1. Найдите (f,g ) и его линейное представление, если f = x4 + 2x3 – x2 – 4x – 2,
g = x4 + x3 –x2 –2x –2.
2. Разложить полином по степеням х – 2 и найти значения его производных при
х = 2: f = x5 – 4x3 + 6x2 – 8x + 10.
3. Построить полином f ? R [x] наименьшей степени, имеющий двойной корень 1, простые корни 2, 3, 1 + i.
4. Выразить через ЭСП полином f = x2y +xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2.
5. Составить ряд Штурма и отделить корни полинома f = x3 –3x – 1.
6. Решите уравнения а) x3 – 6x + 4 = 0; b) x4 – 2x3 + 4x2 – 2x + 3 = 0.
7. Найти сумму чисел, обратных комплексным корням полинома 3x3 + 2x2 –1.
Контрольная работа № 4. Симметрические многочлены.
Вариант 0
1. Найти нормированный многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющим простой корень 1- i , двукратный корень 2 + i.
2. Привести уравнение к «неполному» кубическому, исследовать и решить:
х3 + 9х2 + 18х + 28 = 0.
3. Описать группу S3 и все ее подгруппы.
4.Отделить действительные корни многочлена f(x) = x4 –x3 –x2 -x + 1.
5. Выразить многочлен через элементарные симметрические многочлены
f =  .
6. Решить систему уравнений:
 
Контрольная работа № 5. Теория чисел
Вариант 0
Найдите остаток от деления 317259 на 15.
Сократите дробь двумя способами:  .
Решите сравнения: а)  ; б)  ;
в)  ; г)  ;
д)  .
4. Найдите длину периода бесконечной десятичной дроби, полученной из обыкновенной  .
5. Выведите признак делимости на 4.
6. Решите уравнение  .
Контрольная работа № 6. Евклидовы и унитарные пространства
Вариант 0
Найти размерности и базисы линейных подпространств, натянутых на системы векторов:  ,  ,  ,  .
Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств  и  , если  ,  ,  ,  ,  ,  .
Найти базис ортогонального дополнения  подпространства  , натянутого на векторы  ,  ,  , заданные координатами в ортонормированном базисе:  ,  ,  .
Найти ортогональную проекцию  и ортогональную составляющую  вектора  на линейное подпространство  , если  ,  ,  ,  .
Считая векторы заданными координатами в ортонормированном базисе, проверить, что следующие системы векторов ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов пространства:  ,  .
Контрольная работа №7 . Линейные операторы
Вариант 0
Оператор  переводит вектор  в вектор  . Является ли оператор линейным, если  ?
Линейный оператор в базисе  имеет матрицу  . Найти матрицу этого оператора в базисе  , если  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .
Для матрицы непосредственным вычислением определителя найти ее характеристический многочлен и вычислить его корни, если  .
Найти собственные значения и собственные векторы для матриц  и  .
Контрольная работа №8 . Группы, кольца, поля
Вариант 0
Выясните, образуют ли группу степени данного действительного числа а, а?0, а??1 с целыми показателями относительно умножения.
Дано: группы <С*, +>=  и *, +>=  и отображение ?  в  , согласно которому ? z? С* , ?(z)=2. Выясните является ли отображение ? гомоморфизмом .
Покажите, что множество чисел вида a + b +c , где a, b, c?Z образует кольцо.
Будет ли множество чисел, заданных в п.3 полем ? Докажите.
Примерная тематика курсовых работ
Симметрические и антисимметрические многочлены второй и третьей степени.
Пифагоровы Симметрические и антисимметрические треугольники.
Линейные диофантовые уравнения.
Решение нелинейных диофантовых уравнений.
Булева алгебра.
Группа кодирования.
Числа Фибоначчи.
Алгоритм гаусса и некоторые его применения.
Нормальная форма Жордана.
Простые числа (нерешенные задачи).
Теорема Силова и ее применение в теории конечных групп.
Аксиоматики, отличные от Гильбертовой, в математической логике, на примере исчисления высказываний.
Элементы алгебры тензоров.
Действие групп на множествах.
Матрицы специального вида.
Функции от матриц.
Принцип Дирихле.
Многочлены над конечными полями.
Уравнение Маркова.
Некоторые способы разложения матриц и их применение.
Приведение матриц к канонической жордановой форме.
Суммы степеней натуральных чисел.
Метод бесконечного спуска.
Бинарные отношения.
Избранные задачи на делимость.
Коммутант и центр группы.
Аксиоматическое построение теории определителей.
Классические группы малых размерностей SU(2),SO(3), кватернион.
Поле разложения многочлена.
Прикладные вопросы теории симметрических многочленов.
Конечные абелевы группы.
Полные абелевы группы.
Группы подстановок.
Факториальные кольца.
Нильпотентные группы без кручения.
Конечные нильпотентные группы.
Примерный перечень вопросов к экзаменам
1 семестр
Множество. Способы задания множеств. Подмножества. Равные множества. Отношение между множествами.
Операции над множествами. Объединение, пересечение, разность множеств. Дополнение. Свойства операций.
Число элементов объединения множеств.
Прямое произведение множеств. Правило произведения. Факториал.
Подмножества конечного множества. Основное свойство сочетаний.
Доказательство формулы Бином Ньютона. Основные свойства коэффициентов бинома Ньютона.
Понятие бинарного отношения. Способы задания бинарных отношений. Область определения, область значений. Равные бинарные отношения. Инверсия.
Виды бинарных отношений: симметричные, рефлексивные, транзитивные, связанные. Их графики.
Операции над бинарными отношениями. Свойства.
Отношение порядка. Виды отношений порядка.
Отношение эквивалентности.
Классы эквивалентности. Свойства классов эквивалентности.
Разбиение множества на классы. Фактор-множество.
Арифметический вектор. Операции над ними. Свойства операций.
Понятие матрицы. Действия с матрицами.
Системы линейных уравнений. Решение системы. Различные формы записи системы линейных уравнений. Совместные, несовместные системы.
Равносильные СЛУ. Элементарные преобразования.
Решение СЛУ методом Гаусса.
Однородные СЛУ. Множество решений однородной системы ЛУ. Связь с системой ЛУ.
Линейно зависимая и линейно независимая система векторов. Свойства.
Базис конечной системы векторов. Нахождение базиса, (все методы).
Эквивалентные системы векторов. Ранг системы векторов.
Ранг матрицы. Равенство столбцевого и строчечного рангов матрицы.
Фундаментальный набор решений СЛУ (однородных).
Условие совместности СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли.
Подстановки. Умножение подстановок. Свойства умножения.
Запись подстановки в виде цикла. Теорема о четности подстановки. Свойства знаки подстановки.
Определители второго порядка.
Определители второго порядка.
Определители третьего порядка.
Определитель n-го порядка. Свойства 1-3.
Определитель n-го порядка. Свойства 4-6.
Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.
Обратная матрица. Критерий обратимости. Матричное решение уравнений.
Нахождение обратной матрицы с помощью определителя.
Метод Крамера.
2 семестр
Делимость в произвольном кольце. Обратимые, ассоциированные элементы кольца элементы кольца. Область целостности, отношение делимости в ОЦ.
Простые и составные элементы ОЦ К. Разложение элементов в ОЦ К на простые множители.
Простое трансцендентное расширение ОЦК. Степень полинома. Деление полинома на двучлен (x-c). Теорема Безу. Схема Горнера.
Теорема о наибольшем числе корней полинома над ОЦК.
Функциональное и алгебраическое равенство полиномов.
Теорема о делении полиномов с остатков. Единственность представления
Делимость полиномов, свойства с доказательство.
Наибольший общий делитель полиномов и его представление. НОК.
Неприводимые полиномы над полем Р. Свойства.
Теорема о разложении унитарного полинома в произведение неприводимых полиномов.
Формальное производное и разложение по степеням двучлена.
Неприводимые кратные множители полинома отделение кратных множителей.
Полиномы над полем комплексных чисел, формулы Виета.
Сопряженность полиномов над полем действительных чисел, приводимость полиномов.
Методы решений уравнений 3-ей и 4-ой степени. Исследование корней кубического уравнения над R.
Неприводимость полинома над полем Q. Критерий Эйзенштейна.
Разложение корней полинома над полем Q.
Полиномы системы Штурма. Свойство.
Теорема Штурма.
Результат и дискриминант полиномов.
Кольцо полиномов от переменных. Лексика графический порядок. Лемма о произвольных полиномов.
Симметрические полиномы. Лемма 1,2.
Основная теорема о симметрических полиномах.
Многочлены над полем рациональных чисел.
Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Критерий неприводимости Эйзенштейна.
3 семестр
1. Отношение делимости и его свойства.
2. Деление с остатком.
3. НОД. Алгоритм Евклида.
4. НОД. Свойства НОД.
5. НОК. Свойства НОК.
6. Простые и составные числа. Свойства простых чисел.
7. Основная теорема арифметики.
8. Цепные дроби. Представление чисел цепными дробями.
9. Подходящие дроби. Свойства.
10. Систематические числа. Представление числа в систематическом виде.
11. Систематические числа. Перевод из одной системы в другую.
12. Систематические числа. Операции над систематическими числами.
13. Сравнения и их основные свойства.
14. Классы вычетов по модулю. Полная и приведенная системы вычетов.
15. Функция Эйлера. Определение. Вычисление функции Эйлера. Свойства.
16. Теоремы Эйлера и Ферма. Применение их к нахождению остатков от деления целых чисел.
17. Сравнения с неизвестной величиной. Теоремы о равносильности.
18. Сравнения высших степеней.
19. Сравнения первой степени. Условие существования единственного решения. Способы решения
20. Сравнения первой степени. Условие существования множества решений.
21. Сравнения первой степени. Условие отсутствия решения. Способы решения
22. Сравнения первой степени. Способы решения.
23. Первообразные корни. Свойства
24. Индексы. Основные свойства.
25. Определение длины периода десятичной дроби.
26. Индексы. Применение индексов к решению сравнений.
4 семестр
Понятие поля и векторного пространства. Примеры векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.
Изоморфизм векторного пространства.
Понятие подпространства векторного пространства. Критерий подпространства.
Подпространство решений СЛОУ. Фундаментальное решение.
Понятие линейного многообразия. Линейное многообразие решений СЛУ.
Понятие линейной оболочки. Докажите: линейная оболочка есть подпространство, его базис и размерность. Задание СЛОУ.
Пересечение подпространств, базис и размерность.
Сумма подпространств, базис и размерность.
Теорема Грассмана.
Прямая сумма подпространств.
Координаты вектора в различных базисах. Матрица перехода.
Понятие скалярного произведения векторов, примеры. Евклидовы пространства.
Вычисление угла между векторами.
Ортогональная система векторов, ее линейная независимость.
Матрица и определитель Грамма.
Задание скалярного произведения в координатах.
Процесс ортогонализации.
Ортогональное дополнение подпространства.
Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора.
Угол между вектором и подпространством.
Расстояние от вектора до подпространства.
Объем к-мерного параллелепипеда.
Понятие линейного оператора, примеры, задание матрицей.
Действия над линейными операторами.
Образ и ядро линейного оператора, их базис и размерность.
Собственные значения и собственные вектора линейного оператора, их свойства, способы нахождения.
Линейный оператор с простым спектром. Условие, при котором матрица оператора подобна диагональной.
5 семестр
Понятие бинарной алгебраической операции. Свойства.
Группы. Примеры. Подгруппы. Простейшие свойства групп. Признак подгруппы. Порядок группы.
Подгруппы и моноиды. Обобщенный закон ассоциативности. Различные определения групп.
Подгруппы. Система образующих групп.
Циклические группы и их подгруппы.
Гомоморфизм и изоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Графы групп.
Разложение группы на подгруппы. Теорема Лагранжа, следствия. Описание конечных групп небольшого порядка.
ПСК групп G по подгруппе Н. (ЛСК). Нормальный делитель. Признак нормальной подгруппы.
Нормальный делитель группы. Фактор-группа. Естественный гомоморфизм. Теорема о гомоморфизме групп.
Кольцо. Основные свойства. Подкольцо. Характеристика кольца.
Гомоморфизмы колец.
Идеалы и операции над ними. Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор-кольцо.
Делимость идеалов. НОД и НОК идеалов. Их существование.
Поле частных ОЦ.
Главные идеалы. Кольца главных идеалов. Свойства. Факториальность колец главных идеалов. Евклидовы кольца.
Поля. Свойства поля.
9 семестр
Аксиоматический метод. Аксиоматическая теория
Аксиоматическая теория натуральных чисел.
Свойства натуральных чисел
Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел
Независимость аксиомы индукции в аксиоматической системе натуральных чисел.
Аксиоматическая теория целых чисел.
Свойства целых чисел
Аксиоматическая теория рациональных чисел.
Свойства рациональных чисел.
Последовательности в нормированных полях.
Аксиоматическая теория действительных чисел.
Действительное число как предел последовательности рациональных чисел, существование корня натуральной степени из положительного действительного числа
Аксиоматическая теория комплексных чисел.
Свойства комплексных чисел.
Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел.
Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел.
Гиперкомплексные числа. Теорема Фробениуса.
Примерный перечень вопросов к ГЭК
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы, фактор-множество.
Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.
Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел.
Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Примеры полей. упорядоченное поле. Система действительных чисел.
Поле комплексных чисел. Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис ранг конечной системы векторов.
Следствие системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Изоморфизмы векторных пространств.
Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.
Основные свойства сравнений. Полная и приведенная система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной переменной.
Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины периода десятичной дроби.
Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей, его единственность.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней полинома с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных числе полиномы.
Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Линейные операторы. Определение и задание линейного оператора. Матрица линейного оператора. Образ, ранг, ядро и дефект линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства скалярного произведения. Ортогональные векторы, процесс ортогонализации. Евклидово векторное пространство. Основные задачи: нахождение ортогонального дополнения к пространству, ортогональной проекции одного вектора на другой, угла между векторами.
Б.3.9. Геометрия
|
